PanaMaths
[1 - 2]Février 2005
Déterminer :
( )
lim 4,21
xx→−∞
− xe et
xlim
→+∞( − 4,21 xex)
Analyse
L’une des deux limites est simple. L’autre, moins évidente, requiert un changement de variable pour pouvoir se ramener à une limite connue.
Résolution
On a : lim
x x
→+∞ = +∞ et lim x
x e
→+∞ = +∞. On en déduit donc : lim x
x xe
→+∞ = +∞ et xlim→+∞
(
−4, 21xex)
= −∞.( )
lim 4, 21 x
x xe
→+∞ − = −∞
La limite en −∞ est moins immédiate puisque l’on a : lim
x x
→−∞ = −∞ et lim x 0
x e +
→−∞ = . On a donc affaire à une forme indéterminée du type « 0× ∞ ».
Puisque l’on travaille au voisinage de −∞, on peut poser X = −x. On a alors :
( ) ( ( ) ) ( )
lim 4, 21 x lim 4, 21 X lim 4, 21 X lim 4, 21 X
x X X X
xe X e Xe X
e
− −
→−∞ →+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞
− = − − = = ⎜⎝ ⎟⎠
Or, on a le résultat classique : lim X 0
X
X e
+
→+∞ = . Il vient donc : lim 4, 21 X 0
X
X e
+
→+∞
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
( )
lim 4, 21 x 0
x xe +
→−∞ − =
PanaMaths
[2 - 2]Février 2005
Résultat final
( )
lim 4, 21 x 0
x xe +
→−∞ − = et xlim→+∞
