Changement de variable.

Texte intégral

(1)Mathématiques - ECS1. 17 Compléments d’intégration. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles. c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année..

(2) 2. 17.1. Objectifs. Changement de variable.. Les changements de variable non affines devront être indiqués aux candidats. Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision a0 = a < a1 < · · · < an = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai , ai+1 [ admettent un prolongement continu à l’intervalle fermé [ai , ai+1 ]. On exclut toute étude approfondie des fonctions continues par morceaux.. Fonction continue par morceaux.. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance. Cas d’une fonction continue, positive sur [a, b] et d’intégrale nulle. Sommes de Riemann à pas constant.. 17.2 17.2.1. Si f est continue Z sur [a, b] Zet a ≤ b, b. b. f (t)dt ≤ a. f(t)dt. a. La convergence des sommes de Riemann ne sera démontrée que dans le cas d’une fonction de classe C 1 . Interprétation de l’intégrale en termes d’aire.. Changement de variable dans une intégrale Le théorème de changement de variable. Z 1√ 1 − x2 dx. On souhaite calculer la valeur de l’intégrale 0 √ La fonction x 7→ 1 − x2 est continue sur [0, 1] donc l’intégrale est bien définie. Cette √ intégrale est l’aire sous la courbeZde la fonction x ∈ [0, 1] 7→ 1 − x2 donc celle d’un quart 1 √ π 1 − x2 dx = . de disque de rayon 1, on a donc 4 0 y →. j. →. 0. i. x. On souhaite retrouver cette valeur par le calcul. Théorème . Soient I, J deux intervalles de R, f : J −→ R une fonction continue, ϕ : I −→ J une fonction de classe C 1 et a, b deux réels de I. On a alors Z ϕ(b) Z b f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt ϕ(a). a.

(3) 17.2. Changement de variable dans une intégrale. . 3. 1 √ Application au calcul de l’intégrale 1 − x2 dx 0 π Soit ϕ : 0, −→ [0, 1], t 7→ sin t, : ϕ est de classe C 1 . D’après le théorème, ci2 dessus,. Z. Z ϕ( π ) √ √ 2 1 − x2 dx = 1 − x2 dx ϕ(0) 0 Z π p 2 = 1 − sin2 t cos tdt 0 Z π 2 = | cos t| cos tdt Z0 π π 2 = cos2 tdt car cos est positive sur 0, 2 Z0 π 2 1 + cos 2t = dt 2 0 π = 4 Z ϕ(b) Remarque 1. En pratique, dans l’intégrale f (x)dx, on pose x = ϕ(t) et on n’oublie Z. 1. ϕ(a). pas de vérifier que ϕ est de classe C 1 sur l’intervalle considéré, puis on remplace x dans l’intégrale par ϕ(t) et dxZpar "ϕ0 (t)dt" et on n’oublie pas de changer les bornes de l’intégrale. 1 √ 1 − x2 dx. Reprenons le calcul de 0. En pratique, on écrira : la relation x = sin t définit un changement de variable de classe C 1 π de 0, vers [0, 1] donc 2 Z 1√ Z π p 2 1 − x2 dx = 1 − sin2 t cos tdt (x=sin t). 0. 0. puis on termine le calcul comme plus haut. Remarque 2. Le changement de variable ϕ doit seulement être de classe C 1 . Aucune propriété de monotonie n’est imposée. Z π 4 ln(1 + tan t) Exemple 1. Calculons l’intégrale dt. cos2 t 0 1 d = (1 + tan t), on pense à utiliser le changement de variable En remarquant que dt cos2 t x = 1 + tan t. π La relation x = 1 + tan t définit un changement de variable de classe C 1 sur 0, . Pour ce 4 1 dt donc changement de variable, on a dx = cos2 t Z π Z 2 4 ln(1 + tan t) dt = ln xdx cos2 t 0 1 = [x ln x − x]21 = 2 ln 2 − 1 √. Z Exemple 2. Calculons l’intégrale. t2 3. 0. sin u.. 3 2. (1 − t2 ) 2. dt grâce au changement de variable t =.

(4) 4. π La relation t = sin u définit un changement de variable de classe C 1 sur 0, . Pour ce 3 changement de variable, on a dt = cos udu donc √ 3 2. Z 0. t2 (1 − t2 ). 3 2. dt =. Z. =. Z. π 3. 0. sin2 u. (cos u)du 3 (1 − sin2 u) 2 sin2 u cos u du | cos3 u| 2 sin u du cos2 u. π 3. Z0 π 3. =. Z0 π 3. =. tan2 udu. Z0 π 3. =. (1 + tan u)du − π π = [tan u]03 − 3 π √ =− + 3 3 0. Z Exercice 1. Calculer 1. 5. Z. 2. π 3. 1du 0. √ x−1 dx (faire le changement de variable x = 1 + t2 ) x. Z Exercice 2. Calculer les intégrales : 0. π 4. ln(1 + tan t) dt, cos2 t. Z 0. π 2. sin3 t dt 1 + cos2 t. Exercice 3. Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Z 1 f (x) Calculer l’intégrale I = dx. 0 f (x) + f (1 − x). Exercice 4. Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Z Z π π π Montrer que f (sin x)dx. x f (sin x)dx = 2 0 0. 17.2.2. Changement de variable bijectif. Application au calcul de primitives.. Corollaire 1. Dans le cas où avec les hypothèses du théorème précédent, l’application ϕ est bijective alors pour tout α, β dans J, on a Z β Z ϕ−1 (β) f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt α. ϕ−1 (α).

(5) 17.3. Sommes de Riemann. . 5. Théorème . Soit J un intervalle de R non vide non réduit à un point et f : J −→ R une fonction continue, ϕ : I −→ J est une bijection de classe C 1 . Si G est une primitive de ϕ0 × ( f ◦ ϕ) alors G ◦ ϕ−1 est une primitive de f. Application au calcul de primitives. Z Notation. Si f est une fonction continue sur un intervalle J, on notera. f (x)dx la valeur. en x de l’une quelconque non précisée des primitives de f . 1 où la fonction ch est définie On considère la fonction f : R −→ R définie par f (x) = ch x x −x e +e sur R par ch x = . 2 La fonction ϕ :]0, +∞[−→ R définie par ϕ(t) = ln t est un changement de variable bijectif de classe C 1 dont la réciproque est la fonction exp : x ∈ R 7→ e x . On a f ◦ ϕ(t)ϕ0 (t) =. 2 1 t+ t. ×. 1 2 = . t 1 + t2. 2 Une primitive sur R de t 7→ est G : t ∈ R 7→ 2 Arctan t de sorte que G ◦ ϕ−1 est la 1x + t2 fonction x ∈ R 7→ 2 Arctan (e ). Une primitive recherchée de f est donc x ∈ R 7→ 2 Arctan (e x ). En pratique, on procède ainsi : la relation x = ln t définit un changement de variable bijectif de classe C 1 sur ]0, +∞[.. Z. 2 dx = x e + e−x. Z. 2 1 × dt = 1 t t+ t. Z t2. 2 dt = 2 Arctan t +1. puis on revient à la variable x, par le changement de variable réciproque t = e x :. Z. 2 dx = 2 Arctan e x e x + e−x. ce qui donne une primitive de x 7→. ex. 2 + e−x. Exercice 5. Calculer une primitive de x ∈ R 7→. 17.3. Sommes de Riemann Subdivision d’un segment.. 1 . 3 + 2x2.

(6) 6. Définition 1. On appelle subdivision du segment [a, b] toute suite finie σ = (c j )0≤ j≤n de points de [a, b] telle que a = c0 < c1 < . . . < cn−1 < cn = b. Le pas de la subdivision σ est le réel δ = max |c j+1 − c j |. C’est l’écart le plus grand 0≤ j≤n−1. entre deux points consécutifs de la subdivision. La subdivision σ = (c j )0≤ j≤n est dite régulière s’il existe n ∈ N∗ tel que pour tout b−a j ∈ ~0, n, c j = a + j . n (Les points de la subdivision sont régulièrrements espacés.). Par exemple, la figure ci-dessous représente une subdivision de [0, 1] de pas δ = 0.25 :. c5 = 0.9. c4 = 0.65. c3 = 0.5. c2 = 0.4. c1 = 0.2. 0 = c0. c6 = 1. R. La figure suivante, quant à elle, représente une subdivision régulière de [0, 1] de pas 1 δ= : 8. c3 =. c4 =. c5 =. c6 =. 2 8. 3 8. 1 2. 5 8. 6 8. 7 8. c2 =. 1 8. c7 =. c1 =. 0 = c0. Sommes de Riemann. Soit f : [a, b] → R une fonction continue et n ∈ N∗ .. Définition 2. La somme n−1. Sn =. b−aX b−a f a+k n k=0 n. est appelée une somme de Riemann à gauche de f .. !. c8 = 1. R.

(7) 17.3. Sommes de Riemann. . 7. y. →. j →. 0. x. i. Somme de Riemann à gauche. Définition 3. La somme n. b−a b−aX f a+k Sn = n k=1 n. !. est appelée une somme de Riemann à droite de f .. y. →. j →. 0. x. i. Somme de Riemann à droite. Théorème . Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors Z b n−1 b−aX b−a lim f (a + k )= f (t)dt n→∞ n k=0 n a De même n. b−aX b−a f (a + k )= n→∞ n k=1 n. Z. lim. b. f (t)dt a. Le théorème signifie que les sommes de Riemann d’une fonction continue f approchent l’intégrale de cette fonction lorsque le pas de la subdivision tend vers 0..

(8) 8. Preuve. Supposons f de classe C 1 sur un intervalle [α, β]. On a alors pour tout x ∈ [α, β] Z x f (x) = f (a) + f 0 (t)dt a. de sorte que | f (x) − f (α)| ≤ |x − α|M où M = max | f 0 (t)| puis t∈[α,β]. β. Z. e=. Z. α β. ≤ α. ≤M. f (x)dx − f (α)(β − α). | f (x) − f (α)|dx. (β − α)2 2. Considérons une fonction f de classe C 1 sur l’intervalle [a, b]. On va subdiviser l’intervalle [a, b] en intervalles de longueurs suffisamment petites, et on utilise la formule du rectangle sur chacun de ces « petits intervalles. » Soit n ∈ N∗ . b−a : on a donc a0 = a < a1 < . . . < an = b et Pour tout k ∈ ~0, n, posons ak = a + k n [a, b] = [a0 , a1 ] ∪ . . . ∪ [an−1 , an ]. La formule du rectangle appliquée à chacun des intervalle [ak , ak+1 ], 0 ≤ k ≤ n − 1 donne Z ak+1 b−a f (ak ) + ek , f (t)dt = n ak M(b − a)2 où M = max | f 0 (t)|. La relation de Chasles donne alors t∈[a,b] 2n2 Z n−1 X ak+1 f (x)dx = f (t)dt. avec |ek | ≤ b. Z a. k=0. =. ak n−1 X. b−a n. f (ak ) +. k=0. n−1 X. ek ,. k=0. et n−1 X. ek ≤ n ×. k=0. M(b − a)2 M(b − a)2 ≤ 2n 2n2. La formule du rectangle avec ξZ = a conduit à la méthode des rectangles à gauche qui b consiste à approcher l’intégrale f (x)dx par la somme a n−1. b−a b−aX f a+k n k=0 n. !. (b − a)2 max | f 0 (t)|. En choisissant l’approximation par 2n t∈[a,b] l’aire du rectangle de hauteur f (b) construit sur l’intervalle Z [a, b], on obtient la méthode des. et l’erreur commise est au plus. b. rectangles à droite qui consiste à approcher l’intégrale. f (x)dx par la somme a. ! n b−aX b−a f a+k . n k=1 n Des calculs identiques montrent que l’erreur commise est au plus. (b − a)2 max | f 0 (t)|. 2n t∈[a,b].

(9) 17.3. Sommes de Riemann. . 9. n. Exemple 3. Pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on pose sn =. 1X kπ sin( ). n k=1 n. On reconnaît une somme de Riemman associée à la fonction x 7→ sin(πx) sur l’intervalleZ[0, 1]. Cette fonction est continue sur cet intervalle donc la suite (sn )n≥2 converge 1. vers. sin(πt)dt (à calculer). 0. Exemple 4. Pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on pose sn =. n−1 1 X√ 2 n − k2 . n2 k=0. On ne reconnaît pas immédiatement une somme de Riemman mais une transformation peut en faire apparaitre une. Pour tout n ≥ 2 n−1 1 X√ 2 sn = 2 n n k=0. r. n−1. 1X k 1 − ( )2 = n n k=0. r. k 1 − ( )2 n √ qui est une somme de Riemann associée à la fonction x 7→ 1 − x2 sur l’intervalle [0, 1]. Z 1√ 1 − t2 dt Cette fonction est continue sur cet intervalle donc la suite (sn )n≥2 converge vers 0. (à calculer).. q 1 n (2n)! n! . n Là, il ne s’agit plus d’ une somme de Riemman mais encore une fois, une transformation peut en faire apparaitre une. Exemple 5. Pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on pose xn =. Comme pour tout n ≥ 2, xn > 0, on peut composer avec le logarithme 2n. Y 1 ln xn = − ln n + (ln( k)) n k=n+1 n Y 1 = − ln n + (ln( n + k)) n k=1 n 1X = − ln n + ln(n + k) n k=1 n 1X = (ln(n + k) − ln n) n k=1 n 1X k = ln(1 + ) n k=1 n qui est une somme de Riemann associée à la fonction x 7→ ln(1 + x) sur l’intervalle [0, 1]. Z 1 Cette fonction est continue sur cet intervalle donc la suite (ln(xn ))n≥2 converge vers ln(1+ 0 R1 t)dt (à calculer) donc la suite (xn )n≥2 converge vers exp( 0 ln(1 + t)dt) Intégrale et aire Proposition 2. Soit f une fonction continue et positive sur [a, b] et C sa courbe dans un repère orthonormal. L’aire µ(∆) Z de la région ∆ comprise entre l’axe des abscisses et la courbe C est donnée b. par µ(∆) =. f (t)dt a.

(10) 10. y. ∆. →. j →. 0. x. ai. b n o ∆ = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f (x). 17.4. Intégrale d’une fonction continue par morceaux. Définition 4. Une fonction f : [a, b] → R est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision σ = (c j )0≤ j≤n telle que pour tout j ∈ ~0, n − 1, • f est continue sur ]c j , c j+1 [ et • f possède une limite à droite en c j et une limite à gauche en c j+1 . Une telle subdivision est dite adaptée à la fonction f .. y →. j →. 0. i. x. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] est noté Cm ([a, b]). Théorème et définition . Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] et σ = (c j )0≤ j≤n une subdivision adaptée à la fonction f . Sur chaque intervalle [c j , c j+1 ], la fonction f peut se prolonger par continuité. On note f j la fonction définie sur [c j , c j+1 ] ainsi obtenue. n−1 Z c j+1 X Le nombre f j (t)dt ne dépend pas de la subdivision adaptée (c j )0≤ j≤n choisie. j=0. cj.

(11) 17.4. Intégrale d’une fonction continue par morceaux. . 11. Cette Z b valeur commune s’appelle intégrale de f sur le segment [a, b] et est notée f (t)dt.. a. Remarque 3. Deux fonctions continues par morceaux qui diffèrent en un nombre fini de points ont la même intégrale. Par exemple, les deux fonctions représentées ci-dessous ont même intégrale. y y →. →. j. j →. 0. x. i. 0. →. x. i. Linéarité de l’intégrale Proposition 4. Si f, g : [a, b] → R sont deux fonctions continues par morceaux et λ ∈ R alors Z b Z b Z b (λ f (t) + g(t))dt = λ f (t)dt + g(t)dt a. a. L’application f ∈ Cm ([a, b]) 7→. Z. a. b. f (t)dt est une forme linéaire sur l’espace vectoriel a. des fonctions continues par morceaux.. Remarque 4. Conséquence : deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] qui ne diffèrent qu’en un nombre fini de points ont la même intégrale. Additivité par rapport au segment d’intégration Proposition 5. Soit f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux et c ∈]a, b[. Les fonctions f|[a,c] et f|[c,b] sont continues par morceaux sur [a, c] et [c, b], et Z b Z c Z b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt a. a. c. Cette propriété se généralise à un nombre fini de points. Intégrale et ordre Proposition 6 (Positivité de l’intégrale). Si f : [a, b] → R est une fonction Z b continue par morceaux positive (sauf peut être en un nombre fini de points) alors f (t)dt ≥ 0 a.

(12) 12. Corollaire 7. Soient f, g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b]. Z b Z b Si f ≤ g alors f (t)dt ≤ g(t)dt. a. a. Proposition 8 (Inégalité triangulaire). Si f : [a, b] → R est une fonction continue par Z Z b. b. f (t)dt ≤. morceaux alors. | f (t)|dt a. a. Corollaire 9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue par moceaux et bornée. En notant M = sup f (x) et m = inf f (x), on a : x∈[a,b]. x∈[a,b]. Z m(b − a) ≤. b. f (t)dt ≤ M(b − a) a. Stricte positivité de l’intégrale 10. Si f : [a, b] → R est une fonction continue et positive telle que RProposition b f (t)dt = 0 alors f est nulle sur [a, b]. a. La propriété précédente s’emploie fréquemment par contraposée, pour justifier qu’une intégrale est strictement Z positive : si f est continue, positive sur [a, b] et si f n’est pas la b. fonction nulle alors. f (t)dt > 0.. a. Exercice Z b 6. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a < b. On suppose que f (x)dx = 0 est nulle. a. Montrer que f s’annule au moins une fois sur [a, b]. Z En déduire que si f est continue sur [0, 1] et vérifie au moint un point fixe sur [0, 1].. 17.5. 0. 1. f (x)dx =. 1 alors f possède 2. Exercices. Changement de variable Exercice 7. Soit f une fonction continue sur [−a, a] où a > 0. Montrer que Z a Z a (a) f (t)dt = ( f (t) + f (−t))dt. −a. 0.

(13) 17.5. Z (b) En déduire que si f est paire alors Z a f (t)dt = 0.. a. f (t)dt = 2. −a. Exercices.. . 13. a. Z. f (t)dt. et si f est impaire alors 0. −a. Z Exercice 8. Montrer, par un changement de variable, que. π 2. cos tdt =. 0. 2. Z. 1+. Exercice 9. Calculer 1 2. 5. Z. 2 √ 2. ! 1 arctan xdx x2. x−1 dx (faire le changement de variable x = 1 + t2 ) x. 1. Exercice 11. Calculer. sin2 tdt. 0. √. Exercice 10. Calculer. Z. π 2. Z. 2. √ t. 1 t2. dt −1. ( faire le changement de variable u =. 1 ) t. Exercice 12. Soient a, b, α, β des réels avec a < b, α < β et f : [a, b] −→ [α, β] bijective, de classe C 1 et croissante. Calculer Z b Z β f (t)dt + f −1 (t)dt a. α. en fonction de a, b, f (a), f (b).. Exercice 13. Déterminer a, b, c réels tels que pour tout t ∈ R\{−1}, 1 a bt + c + . = 1 + t3 1 + t t2 − t + 1 1 En déduire une primitive de t 7→ sur ] − ∞, −1[ et sur ] − 1, +∞[ 1 + t3. Exercice 14. Déterminer une primitive pour les fonctions suivantes : √ 1 x 7→ , x 7→ 1 − e−2x 2 a2 cos2 x + b2 sin x où a, b sont des réels tels que ab , 0..

(14) 14. . e2x ( faire le changement de Exercice 15. Déterminer une primitive sur R de x 7→ √ 1 + ex √ variable t = 1 + e x ).. Exercice 16. Déterminer une primitive sur R de x 7→ de variable t = tan x).. 1 ( faire le changement 1 + sin2 x. Exercice 17. Pour tout λ ∈ R, on pose Z 1 sin λ F(λ) = dx 2 −1 x − 2x cos λ + 1 (1) On suppose que λ est un multiple entier de π. Que vaut F(λ) ? (2) Désormais, on suppose que λ n’est pas un multiple entier de π. (a) A l’aide du changement de variable x = (sin λ)t + cos λ, déterminer une primitive de la fonction x 7−→ x2 −2x 1cos λ+1 . (b) En déduire l’expression de F(λ) en fonction de λ et de la fonction Arctan. (c) On pose s = tan λ2 . Exprimer. 1−cos λ sin λ. et. −1−cos λ sin λ. en fonction de s.. (d) Représenter la fonction F sur l’intervalle [−π, π].. Sommes de Riemann. Exercice 18. Calculer les limites des suites suivantes : n n−1 X X kp 1 (a) un = n , n ≥ 1, (d) x = n k 2 + n2 n p+1 k=1 k=0 n !1 X n Y kπ k2 n (e) yn = k2 sin , n ≥ 1, (b) vn = 1+ 2 , n n k=1 k=1 n. 1 X 1 (c) wn = √ , n≥1 √ √ n k=1 k + n − k. Exercice 19. Calcul de l’intégrale de Poisson par les sommes de Riemann. Soit x ∈ R tel que |x| , 1. A l’aide des sommes de Riemann, calculer l’intégrale Z 2π I(x) = ln(1 − 2x cos θ + x2 )dθ. 0.

(15) 17.5. Exercices.. . 15. Exercice 20. Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 1]. Déterminer la limite de la suite ! ! n−1 1X k k+1 définie par un = f f n k=0 n n. Etude de suites définies par une intégrale.. Exercice 21. Etudier la convergence des suites définies par les formules suivantes : Z 1 Z n 1 n un = x ln(1 + x)dx, vn = dx 1 + enx 0 0. Exercice 22. Pour tout nombre entier non nul n, on pose : In =. Z. 1. 0. xn dx 1 + xn. (1) A l’aide d’un encadrement convenable de In , déterminer la limite de la suite (In ). Z 1 1 dx = 1. (2) Montrer que lim n→+∞ 0 1 + xn (3) Pour tout nombre entier naturel non nul n, on pose : Jn = nIn . Z 1 (a) Montrer que : Jn = ln 2 − ln(1 + xn )dx. 0. (b) Montrer que, pour tout nombre réel positif t : 0 ≤ ln(1 + t) ≤ t. En déduire la limite de la suite (Jn ).. Exercice 23. On pose In =. π 2. Z. rang n).. cosn (x) dx si n ∈ N ( In s’appelle intégrale de Wallis de. 0. (a) Montrer que la suite (In )n est positive et décroissante. n+1 (b) Montrer que In+2 = In et expliciter In en discutant suivant la parité de n. n+2 (c) En déduire, pour tout p ∈ N, les valeurs de I2p et I2p+1 .. Exercice 24. Soit f : [0, 1] −→ R une fonction continue et un =. Z. (a) Montrer que lim un = 0. (b) On suppose que f est de classe C 1 sur [0, 1]. Etudier lim nun .. Positivité et stricte positivité de l’intégrale.. 1. tn f (t)dt. 0.

(16) 16. Exercice 25 (Inégalité de Cauchy-Schwarz, version intégrale.). Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b]. Montrer que ! 12 Z b ! 12 Z b Z b f (x)2 dx g(x)2 dx f (x)g(x)dx ≤ a. a. a. Exercice 26. Soit f : [a, b] −→ R une fonction de classe C 1 telle que f (a) = 0. (a) Montrer, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz : Z ∀x ∈ [a, b],. b. f 0 (t)2 dt.. f (x)2 ≤ (x − a) a. (b) En déduire l’inégalité : Z. b. (b − a)2 f (x) dx ≤ 2. Z. a. b. f 0 (x)2 dx.. 2. a. Exercice 27. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a < b. On suppose que Z pour toute fonction continue g sur [a, b] vérifiant g(a) = g(b) = 0, l’intégrale b. f (x)g(x)dx est nulle. Montrer que f est nulle. a. Exercice 28. Soit f une fonction continue sur R. Pour tout x , 0, on pose Z 1 x g(x) = f (t)dt x 0 Montrer que g se prolonge par continuité en 0. On suppose f périodique, montrer que g a une limite en +∞..

(17) 17.6. 17.6. Indications pour les exercices. 17.7. Correction des exercices. Indications pour les exercices. . 17.

(18)