CHANGEMENT DE VARIABLE

(1)

cours 3

CHANGEMENT DE

VARIABLE

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

✓ ^Primitive

(4)

✓ ^Primitive

✓ Intégrale indéfinie

(5)

✓ ^Primitive

(6)

✓ ^Primitive

(7)

✓ ^Primitive

(8)

✓ ^Primitive

(9)

✓ ^Primitive

(10)

✓ ^Primitive

(11)

✓ ^Primitive

(12)

✓ ^Primitive

(13)

✓ ^Primitive

(14)

(15)

(16)

Aujourd’hui, nous allons voir

(17)

✓ La différentielle.

(18)

✓ Comment on peut utiliser la dérivée d’une composition pour intégrer.

(19)

✓ Comment on peut utiliser la dérivée d’une composition pour intégrer.

✓ Le changement de variable.

(20)

(21)

Ça, c’est une fonction

(22)

dont la dérivée est cette fonction

(23)

On peut donc réécrire la dernière égalité comme

(24)

(25)

(26)

(27)

Il n’existe pas de règle pour trouver l’intégrale d’une composition.

(28)

(29)

Par contre, on sait que la règle de dérivation suivante est valide.

(30)

(31)

Donc on a aussi

(32)

Donc on a aussi

(33)

Donc on a aussi

(34)

Donc on a aussi

(35)

Malheureusement, lorsqu’on a une intégrale à calculer, cette forme n’est pas toujours explicité

Donc on a aussi

(36)

Exemple:

(37)

Exemple:

(38)

Exemple:

(39)

Exemple:

(40)

Exemple:

(41)

Exemple:

(42)

Exemple:

(43)

Exemple:

(44)

Exemple:

(45)

Exemple:

(46)

Exemple:

(47)

Exemple:

(48)

Exemple:

C’est exactement l’idée que nous venons d’exploiter ici qui est à la base du changement de variable.

(49)

Différentielle

(50)

Différentielle

(51)

Différentielle

(52)

Différentielle

(53)

Différentielle

(54)

Différentielle

(55)

Différentielle

(56)

Différentielle

(57)

Différentielle

(58)

Différentielle

(59)

Différentielle

(60)

Différentielle

(61)

Différentielle

(62)

Différentielle

(63)

Différentielle

(64)

Différentielle

(65)

Différentielle

(66)

Exemple:

(67)

Exemple:

(68)

Exemple:

(69)

Exemple:

(70)

Exemple:

(71)

Exemple:

(72)

Exemple:

(73)

Exemple:

D’un point de vue calculatoire, la différentielle n’apporte rien de nouveau.

(74)

Exemple:

(75)

Exemple:

(76)

Exemple:

Mais elle va apporté beaucoup d’un point de vue conceptuelle.

(77)

Essayons maintenant de comprendre l’intégrale de la dérivée d’une composition en terme de différentielle.

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

Ce qu’il y a à côté du symbole d’intégrale est en soit une différentielle.

(86)

Si on mélange ça avec l’intégrale

(87)

(88)

(89)

(90)

Si on pose

(91)

Si on pose

(92)

Si on pose notre changement de variable

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(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

On obtient une intégrale ordinaire avec notre nouvelle variable.

(102)

Exemple:

(103)

Exemple:

(104)

Exemple:

(105)

Exemple:

(106)

Exemple:

(107)

Exemple:

(108)

Exemple:

(109)

Exemple:

(110)

Exemple:

(111)

Exemple:

(112)

Exemple:

(113)

Exemple:

(114)

Exemple:

(115)

Exemple:

(116)

Exemple:

(117)

Exemple:

(118)

Exemple:

(119)

Exemple:

(120)

Exemple:

(121)

Exemple:

Il n’y a pas de 3!

(122)

Exemple:

(123)

Exemple:

(124)

Exemple:

(125)

Exemple:

(126)

Exemple:

(127)

Exemple:

(128)

Exemple:

(129)

Exemple:

(130)

( Prise 2 )

Exemple:

(131)

( Prise 2 )

Exemple:

(132)

( Prise 2 )

Exemple:

(133)

( Prise 2 )

Exemple:

(134)

( Prise 2 )

Exemple:

(135)

( Prise 2 )

Exemple:

(136)

( Prise 2 )

Exemple:

(137)

Exemple:

(138)

Exemple:

(139)

Exemple:

(140)

Exemple:

(141)

Exemple:

(142)

Exemple:

(143)

Exemple:

(144)

Exemple:

(145)

Exemple:

(146)

Exemple:

(147)

Pour qu’un changement de variable fonctionne, il faut qu’il ne reste qu’une variable.

(148)

Exemple:

(149)

Exemple:

(150)

Exemple:

(151)

Exemple:

(152)

Exemple:

(153)

Exemple:

(154)

Ici le changement de variable ne fonctionne pas

Exemple:

(155)

Comment faire pour bien choisir son changement de variable?

(156)

Idéalement on aimerait trouver une expression et sa dérivée.

(157)

Les changements de variable de la forme

(158)

(159)

(160)

lorsqu’ils sont possible, sont souvent un bon début car ils ne font que rajouter une constante.

(161)

Mais parfois, il faut juste essayer quelque chose.

lorsqu’ils sont possible, sont souvent un bon début car ils ne font que rajouter une constante.

(162)

Exemple:

(163)

Exemple:

(164)

Exemple:

(165)

Exemple:

(166)

Exemple:

(167)

Hum... le changement de variable ne semble pas marcher!

Exemple:

(168)

Exemple:

Parfois, il est utile de jouer avec le changement de variable.

(169)

Exemple:

(170)

Exemple:

(171)

Exemple:

(172)

Exemple:

(173)

Exemple:

(174)

Exemple:

(175)

Exemple:

(176)

Exemple:

(177)

Devoir 18

p.254 Ex. 8.5