Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales
Int´egration et Probabilit´es 2010-2011
Travaux dirig´ es, feuille 7 : Fubini, changement de variable
Fubini
Exercice 1 : graphe d’une fonction
Soient (E,A, µ) un espace mesur´e σ-fini et f :E →R une fonction mesurable.
1) Montrer que l’application g:E×R→R2 d´efinie par (x, t)7→g(x, t) = (f(x), t) estA ⊗ B(R)-mesurable.
En d´eduire que le sous-ensemble suivant de E×R, appel´e graphe def, est mesurable:
G(f) ={(x, t)∈E×R|f(x) =t}.
2) Soit (x, t)∈E×R. V´erifier que 1G(f)(x, t) =1{f(x)}(t) et en d´eduire la valeur de µ⊗λ(G(f)).
3) En r´eciproque `a la question 1), montrer que si f est positive et que le sous-ensemble de E×R d´efini par Hyp(f) = {(x, t) ∈ E×R|0 ≤ t < f(x)}, appel´e hypographe de f, est dans A ⊗ B(R), alors f est A-mesurable.
Indication: Montrer que Hyp(f)t={x∈E|(x, t)∈Hyp(f)} est mesurable.
Exercice 2 : int´egration par parties
Soient µ1 etµ2 des mesures finies sur (R,B(R)) de densit´ef etg par rapport `a la mesure de Lebesgue. On note F(x) =µ1(]− ∞, x]), G(x) =µ2(]− ∞, x]).
Soient ∆1 = {(x, y)|a≤ y < x≤ b}, et ∆2 = {(x, y)|a≤ x ≤y ≤b}. En consid´erant de deux mani`eres diff´erentes la quantit´e (µ1⊗µ2)(∆1∪∆2), ´etablir la formule “d’int´egration par parties” :
F(b)G(b)−F(a)G(a) = Z
[a,b]
F(x)g(x)dλ(x) + Z
[a,b]
G(x)f(x)dλ(x)
Exercice 3
1) Pour x∈R, calculer R
R dλ(y) x2+y2.
2) Soitf :R→Rune fonction telle que la fonctionx7→ f(x)x soit int´egrable. Montrer que pour touty∈R∗, la fonction x7→ xf2(x)+y2 est int´egrable.
3) Pour y∈R∗, posonsg(y) =R
R f(x)
x2+y2 dλ(x) et g(0) = 0. Montrer que g est int´egrable et que Z
R
g(y)dλ(y) =π Z
R
f(x)
|x| dλ(x).
Exercice 4
1) Montrer que la fonction f : [0,1]×R+→Rd´efinie par f(x, y) =e−ycos(xy) estλ2-int´egrable.
2) Montrer que, pour tout x∈[0,1],R
[0,+∞[e−ycos(xy)dλ(y) = x21+1. 3) Calculer R
]0,+∞[e−ysinyy dλ(y).
Exercice 5
Soient a, b tels que −1 < a < b. Montrer que la fonction f(x, y) = yx est int´egrable dans le rectangle a≤x≤b, 0≤y≤1. Calculer l’int´egraleR
]0,1[
yb−ya lny dλ(y).
Exercice 6
Soit f :]0,∞[→Ctelle que x7→ 1+xf(x)2 soitλ−int´egrable.
1) Montrer que la fonction g:]0,∞[→C, g(u) =R
]0,∞[f(x) exp(−ux)dλ(x) est continue.
2) Pour 0< a < b, on poseIa,b=R
[a,b]g(u) sinu dλ(u). Montrer que Ia,b=
Z
]0,∞[
f(x) Z
[a,b]
sinuexp(−ux)dλ(u)dλ(x).
3) Montrer que lim
a→0,b→∞Ia,b= Z
]0,∞[
f(x)
1 +x2dλ(x).
Exercice 7
Soit E = [0,1]×[0,1] muni de la tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue.
1) Soit f :E→Rd´efinie par f(x, y) =
( x2−y2
(x2+y2)2) si (x, y)6= (0,0) ;
0 sinon.
Calculer R
[0,1]
R
[0,1]f(x, y)dλ(x)
dλ(y), puisR
[0,1]
R
[0,1]f(x, y)dλ(y) dλ(x).
Indication : remarquer que ∂x∂
−x x2+y2
= (xx22+y−y22)2. 2) Mˆeme question avec g:E →Rd´efinie par: g(x, y) =
x−12−3
si 0< y <
x−12 ;
0 sinon.
3) On munit maintenant un des intervalles [0,1] de la mesureµde comptage. Soith(x, y) =
1 si x=y; 0 sinon.
Calculer R
[0,1]
R
[0,1]h dλ
dµ, etR
[0,1]
R
[0,1]h dµ
dλ.
4) Montrer que f, g, hsont mesurables, et expliquer pourquoi le th´eor`eme de Fubini ne s’applique pas dans les trois cas pr´ec´edents.
Exercice 8
Soient (Ω,T, µ) un espace mesur´eσ−fini etf : Ω→R+ une fonction mesurable. On rappelle que le graphe et l’hypographe def (voir d´efinitions dans l’exercice 1) sontT ⊗ B(R)-mesurables. Montrer que, pourp >0,
on a Z
Ω
fpdµ=p Z
[0,∞[
yp−1µ({x∈Ω|0≤y≤f(x)}dλ(y).
Exercice 9
Soit µ une mesure sur (R,B(R)) telle que µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ R. Pour tout x ∈ R, on pose G(x) =µ([0, x]) si x≥0, etG(x) =−µ(]x,0[) six <0.
1) Montrer que la fonction G:R→Rest mesurable.
2) Soit ϕ:R → R une fonction de classe C1 telle que l’ensemble {x ∈ R :ϕ(x) 6= 0} soit born´e. Montrer que la fonction x ∈R7→ G(x)ϕ0(x) est int´egrable surR par rapport `a la mesure de Lebesgue λ1, et queϕ est µ-int´egrable sur R.
3) En utilisant le Th´eor`eme de Fubini, montrer que Z
R
Gϕ0dλ1=− Z
R
ϕ dµ .
On suppose dans la suite que µ=gλ1 pour une fonctiong:R→R+ continue.
4) Montrer que l’on a bien µ(K)<+∞ pour tout compactK ⊂R.
5) Montrer que Gest de classeC1 sur R, et calculerG0.
6) Montrer la formule obtenue `a la question 3) sans utiliser le Th´eor`eme de Fubini.
Changement de variable
Exercice 10
Calculer l’int´egraleR
D(y−x)dλ(x, y) o`u D={(x, y)|1< xy <4,0<2x < y, x+y <8}.
Indication : poser u=√
xy, v= x+y2 et utiliser Fubini.
Exercice 11
On pose Ω ={(x, y)∈R2 |x >0, y >0,1< x2+ 4y2<4}, G={(x, y)∈Ω| y < x}, Ω0 ={(x, y)∈R2 |1< x <4, y >0}etG0 ={(x, y)∈Ω0 |y <1}.
1) Trouver un C1-diff´eomorphismeT : Ω→Ω0 tel queT(G) =G0. 2) Soit f : R2 → R, f(x, y) =
( x2−4y2
4x2 six6= 0
0 sinon . Montrer que f est bor´elienne int´egrable sur G et calculer son int´egrale.
Indication : utiliser la question 1).
Exercice 12
Soient f, g les fonctions d´efinies par : f(x) = 1
π√
1−x21|x|<1 et g(x) =xexp(−x2
2 )1x>0. Soit I(a) =R
P(a)f(x)g(y)dλ(x, y) o`uP(a) ={(x, y)∈R2|xy ≤a}. Montrer que I(a) = 1
√2π Z
]−∞,a[
e−t2/2dλ(t).
Indication : poser (u, v) = (xy, y) puis z=√
v2−u2.
Exercice 13 : volume de la boule unit´e dans Rd
Soient un entier n≥1 et ωn le volume de la boule euclidienne unit´e Bnde Rn d´efinie par Bn=
(x1, x2, . . . , xn)∈Rn, x21+· · ·+x2n≤1 . 1) Calculer ω1 etω2.
2) Montrer que λn(Bn) =λn(
◦
Bn).
3) Soit n≥3. En remarquant que
(x21+· · ·+x2n≤1)⇐⇒(x21+x22 ≤1 et x23+· · ·+x2n≤1−x21−x22), et en utilisant Fubini, montrer que
ωn= Z
B2
(1−x21−x22)(n−2)/2dλ2(x1, x2)
ωn−2.
4) Utiliser les coordonn´ees polaires pour ´etablir queωn= 2π n ωn−2. 5) En d´eduire que la suitean= πn2
Γ(n2 + 1) v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence que la suite (ωn), o`u Γ est la fonction Gamma d´ej`a ´etudi´ee . On rappelle que Γ(s+ 1) =sΓ(s) pour tout s >0.
6) Conclure. On rappelle que Γ(1/2) =√
π, Γ(1) = 1.
Exercice 14
Pour α≥0, on pose
I(α) = Z
[1,+∞[×R
1
x2y2+x2+αdλ(x, y). 1) Montrer que I(α) est bien d´efinie.
2) Montrer que I(α) est finie.
3) Montrer que I :R+→Ret de classeC1.
4) Calculer I(α) `a l’aide du changement de variables x=√
t2−α,y= tu
√
t2−α. Exercice 15
Soit m ∈N∗. On note h., .i le produit scalaire usuel sur Rm. SoitA une matrice r´eelle m×m, sym´etrique et d´efinie positive (i.e. hAx, xi>0 pour tout x6= 0).
1) Montrer que la fonction x7→e−αkxk2 est int´egrable sur Rm pour α >0. En utilisant ce r´esultat montrer que la fonction f d´efinie parf(x) = exp(−hAx, xi) est dans L1(Rm).
2) Montrer que
Z
Rm
exp(−hAx, xi)dλ(x) =πm/2(detA)−1/2.
Indication : on pourra utiliser une base de vecteurs propres de A pour faire un changement de variables; on rappelle que R
Re−t2dt=π1/2.
3) Soit F la fonction deR dansC d´efinie parF(t) =R
Reitxe−x2dλ(x). Montrer que F est de classe C1 sur R et qu’elle v´erifie 2F0(t) +tF(t) = 0.En d´eduireF.
4) Pour z∈Rm, calculerI(z) =R
Rmexp(ihz, xi − hAx, xi)dλ(x).
Exercice 16
Soit f :]0,∞[→Rd´efinie par f(t) =R
]0,∞[e−t(x−1)2dλ(x).
1) On pose In=R
R2e−n(x2+y2−1)2dλ(x, y), (n∈N∗). Calculer In au moyen de f, puis calculer limn→∞In. 2) Soithune fonction continue born´ee surR2. Calculer limn→∞
√nR
R2h(x, y) exp(−n(x2+y2−1)2)dλ(x, y).
Exercice 17
Soient P ={(x, y, z)∈R3 |x= 0, y ≥0}et Aun bor´elien de P. On note ˜A le sous-ensemble deR3 image de A par la sym´etrie de r´evolution d’axeOz.
1) Montrer que ˜Aest bor´elien.
Indication : d´ecrire A˜ pourA={(x, y, z)∈R3 |x= 0,0≤y < a, b < z < c} o`ua, b, c sont des r´eels fix´es.
2) Montrer que λ( ˜A) = 2πR
Ay dλ(y, z).
3)Calculer le volume du tore ˜Aassoci´e `aA={(0, y, z)|(y−a)2+z2≤r2}o`u a > r >0.
Espaces Lp, convolution, transform´ee de Fourier
Exercice 18 : convolution
Soient f et g deux fonctions de R dans R. Pour x ∈ R, si y 7→ f(y)g(x−y) est int´egrable, on d´efinit le produit de convolution de f etg en x, not´e (f∗g)(x), par
(f∗g)(x) = Z
R
f(y)g(x−y)dλ(y).
Nous avons d´ej`a vu dans l’exercice 4 du TD 6 quef∗gest bien d´efini surRsif ∈Lp(R) etg∈Lq(R) avec p etq exposants conjugu´es.
1) V´erifier que sif ∗g est bien d´efini, on a f∗g=g∗f.
2) On suppose f ∈ L1(R), g ∈Lp(R), (1≤p < ∞). Montrer que f ∗g est d´efini presque partout, et que f ∗g∈Lp(R). Majorerkf∗gkp en fonction de kfk1 etkgkp. Mˆemes questions si p= +∞
Indication : on pensera `a appliquer l’in´egalit´e de H¨older pour la mesure de densit´e|f|.
3) On supposef etgdansL1(R). On notefb(respectivementbg) la tranform´e de Fourier def (respectivement de g), d´efinie par
∀x∈R, fb(x) = Z
R
f(t)e−itxdλ(t). Montrer que f[∗g=fb×bg.
Exercice 19 : suite r´egularisante
Soient K etf deux fonctions d´efinies sur Rint´egrables. On suppose que K ≥0 et que R
RK(u)dλ(u) = 1, et on pose pour tout n ∈N∗, Kn :x 7→ nK(nx). On consid`ere le produit de convolution de Kn et de f, d´efini surR par
(Kn∗f)(u) = Z
R
Kn(u−y)f(y)dλ(y) = Z
R
nK(n(u−y))f(y)dλ(y).
Le but de cet exercice est de montrer que Kn∗f converge vers f dans L1(R,B(R), λ) quand n tend vers l’infini. Nous montrerons ´egalement que si K est r´egulier, Kn∗f l’est aussi.
1) Montrer que Kn∗f est d´efinie λ-pp, et int´egrable.
2) Montrer que kKn ∗f −fk1 = R
RK(t) × kf−t/n−fk1dλ(t), o`u pour tout u ∈ R, fu est d´efini par fu(x) =f(x+u).
3) Montrer que
∀ε >0, ∃a >0, ∀n >0, Z
]−∞,−a[∪]a,+∞[
K(t)× kf−t/n−fk1dλ(t)≤ε .
4) Nous avons montr´e dans l’exercice 5 du TD 6 que
u→0limkfu−fk1= 0.
Soit ε >0, et le aassoci´e `aεdans la question 3). En utilisant le r´esultat de l’exercice 5 du TD 6, montrer que
∃n0 ∈N∗, ∀n≥n0, Z
[−a,a]
K(t)× kf−t/n−fk1dλ(t)≤ε . 5) En d´eduire que lim
n→∞kKn∗f−fk1 = 0.
6) Soit φune fonction C∞ `a support compact. Montrer queφ∗f est bien d´efini surR, est dans L1, et est C∞. En d´eduire que les fonction C∞ int´egrables sont denses dansL1.
Indication : On pourra utiliser la fonction φ d´efinie sur Rpar φ(x) =1]−1,1[(x) exp
− 1 1−x2
.
Exercice 20 : inversion de la transform´ee de Fourier On pose K(x) = 2π1
sin(x/2) x/2
2
= 2π1 R+1
−1(1− |t|)eixtdt, pour tout x ∈ R, et Kn(x) = nK(nx), pour tout n > 0. On admettra que R
RK dλ= 1. Ainsi la convolution par Kn a les propri´et´es consid´er´ees dans l’exercice pr´ec´edent. On sait donc que pourf ∈L1(R), on a limn→∞kf −Kn∗fk1 = 0.
1) Pour f, h∈L1(R) telles queh(x) =R
RH(t)eixtdλ(t) avec H ∈L1(R), montrer que (f∗h)(x) =
Z
H(t)fb(t)eixtdλ(t), o`u l’on af(t) =b R
Rf(x)e−itxdλ(x).
2) Montrer que
n→+∞lim
"
x7→ 1 2π
Z
[−n,n]
1−|t|
n
fb(t)eitxdλ(t)
!#
=f dans L1 .
3) Montrer que si f ∈L1 etfb∈L1, on a 2π1 b
fb= ˇf λ-pp, o`u ˇf(t) =f(−t).
Exercice 21
Soient f ∈L2(R, λ), k∈L2(R2, λ2).
1) Montrer queKf(x) =R
Rf(y)k(x, y)dλ(y) est d´efini pourλ-presque toutx∈R, que l’on aKf ∈L2(R, λ) et kKfk2≤ kkk2kfk2.
2) Soit g∈L2(R2, λ2). Montrer que h(x, y) =R
Rk(x, z)g(z, y)dλ(z) est d´efini pourλ2-presque tout (x, y), que l’on a h∈L2(R2, λ2) et que khk2 ≤ kkk2kgk2.
Exercice 22
Cet exercice utilise l’inversion de la transform´ee de Fourier, prouv´ee dans l’exercice 20.
Soit f(x) = (1− |x|)1[−1,1](x),x∈R.
1) a) Montrer par un calcul direct que ˆf(t) = 21−cos(t)t2 .
b) Calculer la transform´ee de Fourier de la fonction 1[−a,a](x) avec a >0. Retrouver l’expression de ˆf en remarquant que f =1[−1/2,1/2]∗1[−1/2,1/2].
2) En d´eduire que
(1− |x|)1[−1,1](x) = 1 π
Z
R
e−itx1−cos(t) t2 dλ(t).
Exercice 23
Pour σ ∈]0,1], on posefσ(t) = Z
[0,1]
1 σ√
2πe−
(t−x)2
2σ2 dλ(x). On rappelle que Z
R
√1 2πe−u
2
2 dλ(u) = 1.
1) Montrer que fσ estC∞ pour toutσ∈]0,1].
Indication : une m´ethode simple et rapide utilise le changement de variable u= (t−x)/σ.
2) On fixe p∈[1,+∞[. En faisant le mˆeme changement de variable, montrer que : Z
R
fσ−1[0,1]
pdλ≤ Z
R2
√1 2πe−u
2 2
1[σu,σu+1](t)−1[0,1](t)
p dλ(u, t).
3) En d´eduire que 1[0,1] est limite dansLp d’une suite de fonctionsC∞. Exercice 24
Cet exercice utilise l’inversion de la transform´ee de Fourier, prouv´ee dans l’exercice 20.
Soit a > 0 et b > 0. On consid`ere les fonctions fa(t) = e−at1]0,+∞[(t), ga(t) = fa(t) +fa(−t), ha(t) = fa(t)−fa(−t).
1) Donner les graphes et les trnasform´ees de Fourier transform´ees de Fourier defa(t),ga(t) et ha(t).
2) En d´eduire les transform´ees de Fourier de t7→ 1+t12 ett7→ 2−2t+t1 2.
3) Montrer que si f ∈L1 est C1 et si f0 ∈L1 alors fb0(t) =itfˆ(t). En d´eduire la transform´ee de Fourier de t7→ (1+tt2)2.
4) En d´eduire la valeur des int´egrales Z
R+
cos(ωx)
1 +x2 dλ(x), Z
R+
xsin(ωx)
(1 +x2)2 dλ(x). 5) Calculer 1
a2+t2 ∗ 1 b2+t2.
