Travaux dirig´ es, feuille 2 : tribus, mesures, fonctions mesurables

Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales

Int´egration et Probabilit´es 2010-2011

Travaux dirig´ es, feuille 2 : tribus, mesures, fonctions mesurables

Pr´eambule (sommation de r´eels positifs, d´enombrabilit´e)

Exercice 1 G´en´eralit´es :

On veut d´efinir la ”taille” d’un ensembleE, qu’on appelle son cardinal et qu’on note Card(E). SiE est constitu´e de n´el´ements distincts, pour unn∈N, on note naturellement Card(E) =n. On veut ´etendre la notion de cardinal `a des ensembles infinis, en les comparant `a des ensembles de r´ef´erence (N,R, ...).

SoientE etF deux ensembles. On dit que Card(E) = Card(F) si et seulement si il existe une bijection de E dansF. On dit que Card(E)≤Card(F) si et seulement si il existe une injection deE dansF. On dit que Card(E)<Card(F) si et seulement si Card(E)≤Card(F) et Card(E)6= Card(F)

1) Soient E, F, G des ensembles. V´erifier que

• Card(E) = Card(F) et Card(F) = Card(G) implique Card(E) = Card(G),

• Card(E) = Card(E⁰), Card(F) = Card(F⁰) et Card(E)≤Card(F) implique Card(E⁰)≤Card(F⁰).

2) Soient E, F, G des ensembles. Montrer que

• Card(E)≤Card(F) et Card(F)≤Card(G) implique Card(E)≤Card(G),

• Card(E)≤Card(F) et Card(F)≤Card(E) implique Card(E) = Card(F)

(on admettra pour cela le Th´eor`eme de Cantor-Bernstein : S’il existe une injection entre A et B et une injection entre B et A, alors il existe une bijection entre B et A). La relation ”≤” est en fait une relation d’ordre sur les cardinaux.

3) On suppose E non vide. Montrer que Card(E)≤Card(F) si et seulement si il existe une surjection de F surE. On admettra que si (Bi)i∈I est un ensemble de parties non vides et deux `a deux disjointes deF, il existe F⁰ ⊂F qui contient un et un seul ´el´ement de chaqueB_i (ceci repose sur l’axiome du choix).

Cardinal de N : Un ensemble est dit d´enombrable s’il a le mˆeme cardinal que N, not´e Card(N) =ℵ₀. On dit qu’il est au plus d´enombrable si son cardinal est inf´erieur ou ´egal `a ℵ₀.

4) Montrer que siEest un ensemble infini alorsEcontient un ensemble d´enombrable (toujours en admettant l’axiome du choix : si F est un ensemble non vide, on peut choisir un point dans F). En d´eduire que ℵ₀ ≤Card(E) (en d’autres termes, “ℵ₀est le plus petit cardinal non fini” : un ensemble au plus d´enombrable est donc soit fini, soit d´enombrable).

5) Comparer les cardinaux de N, de l’ensemble des nombres pairs, de celui des nombres impairs, de Z. 6) Montrer que Card(N×N) =ℵ₀. En d´eduire que si A1, ...An sont des ensembles d´enombrables (resp. au plus d´enombrables),n∈N^∗, alors Card(A1× · · · ×An) =ℵ₀ (resp. ≤ ℵ₀).

7) Montrer que Card(Q) =ℵ₀.

8) Montrer que toute union au plus d´enombrable d’ensembles au plus d´enombrables est au plus d´enombrable.

Cardinal de R :

9) Montrer que pour tout ensemble E, Card(E)<Card(P(E)) (on raisonnera par l’absurde en supposant connue une bijection f de E dansP(E) et on montrera que la partie

B ={x∈E :x /∈f(x)}

ne peut pas poss`eder d’ant´ec´edent).

10) En d´eduire que Card(P(N))>ℵ₀.

11) Pour un entier naturel N ∈ N^∗, on consid`ere un ensemble E `a N ´el´ements. Exhiber une bijection naturelle entre P(E) et {0,1}^N (cela revient `a fabriquer une fonction `a valeurs dans {0,1} `a partir d’un ensemble et inversement). En d´eduire Card(P(E)).

12) De mˆeme, exhiber une bijection naturelle entre P(N) et {0,1}^N, et en d´eduire que Card(P(N)) = Card({0,1}^N).

13) Nous allons montrer que Card({0,1}^N) = Card([0,1]).

a) On consid`ere la fonction φ: [0,1]→ {0,1}<sup>N</sup>, o`u φ(x) = (φ_n(x), n≥0) est d´efini par r´ecurrence : φ₀(x) =bxc et φ_n+1(x) =





2ⁿ⁺¹



x−

n

X

p=0

φ_p(x)2^−p











,

Montrer que φest injective. Indication : on pourra montrer que x=P

p≥0φ_p(x)2^−p. b) On consid`ere la fonction ψ: {0,2}^N → [0,1] d´efinie par ψ((sn)n≥0) = P

n≥0sn3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾. Montrer que ψ est injective. Remarque : l’image de ψ est l’ensemble triadique de Cantor, que nous allons revoir.

c) Conclure.

14) Montrer que Card([0,1]) = Card(R). En d´eduire que le cardinal de R est strictement plus grand que celui deN. On le note habituellement Card(R) =c. C’est le cardinal (ou puissance) du continu.

Exercice 2 1) Calculer

X

(p,q)∈N², p,q≥2

1

p^q et X

(p,q)∈N², p,q≥1

1 p^q .

2) Pour un nombre r´eel x >0, calculer

X

λ∈Q^∗+

x^λ.

3) Soit (xi)i∈I ⊂ R+ une famille sommable, c’est `a dire telle que X

i∈I

xi < +∞. Montrer que l’ensemble i∈I : xi6= 0 est au plus d´enombrable.

Exercice 3

1) L’ensemble des suites `a valeurs dansZest-il d´enombrable ?

(Rappel: Il n’existe pas d’application surjective d’un ensembleE dans l’ensemble de ses parties P(E) car pour une telle application f la partie B={x∈E;x6∈f(x)} n’a pas d’ant´ec´edent. )

2) Soit p un entier naturel non nul.

a) L’ensemble des suites `a valeurs enti`eres d´efinies par une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre p `a coefficients entiers fix´ee est-il d´enombrable ? (Rappel: Une telle relation correspond `a d´efinir un+p = apun+p−1+· · ·+a2un+1+a1un+a0, pour des coefficients entiers ai)

b) L’ensemble des suites `a valeurs enti`eres pouvant ˆetre d´efinies par une relation de r´ecurrence lin´eaire `a coefficients entiers est-il d´enombrable ?

Exercice 4

SoientSl’ensemble des suites de 0 et de 1 etϕ: [0,1[→ S, ϕ(x) =sd´efinie par : s₁ = 0 six∈[0,1/2[, s₁= 1 sinon puis,s₁, . . . s_p ´etant d´efinis, on posea_p=Pp

1s_k2^−ket on d´efinits_p+1 = 0 six−a_p<2^−p−1, s_p+1 = 1, sinon.

1) Montrer que ϕ(x) = (s_k)⇒x=P

ks_k2^−k.

2) Montrer que s_k est nul `a partir d’un certain rang ssi il existeM, p∈Ntels que x= <sup>M</sup><sub>2</sub>p. 3) Montrer que si sappartient `a l’image de ϕ,sn’est pas stationnaire en 1.

4) Montrer que, si sn’est pas stationnaire en 1, alors on as=ϕ(x) o`ux=P sk2^−k.

En r´esum´e, ϕest une bijection de [0,1[ sur l’ensemble des suites de 0 et de 1 qui ne sont pas stationnaires en 1.

Tribus

Exercice 5

Soit E un ensemble. Trouver toutes les tribus surE ayant 0, 1, 2,. . ., 8 ´el´ements.

Exercice 6

Soit E un ensemble non fini et non d´enombrable. SoitT l’ensemble des parties A ∈ P(E) telles queA ou A^csoit au plus d´enombrable.

1) Montrer que T est une tribu sur E.

2) Monter que T est engendr´ee par l’ensemble des singletons deE.

Exercice 7

Soient A₁ etA₂ deux tribus sur un ensemble E. Montrer que la tribu engendr´ee par A₁∪ A₂={A|A∈ A₁ ou A∈ A₂}

co¨ıncide avec la tribu engendr´ee par{A₁∩A2|A₁ ∈ A₁, A2 ∈ A₂}ou encore par{A₁∪A2|A₁ ∈ A₁, A2∈ A₂}.

Exercice 8

Montrer que la tribu B(R) des bor´eliens de Rpeut ˆetre engendr´ee par l’une des classes suivantes:

C₁={]a, b[, a, b∈Q} C₂ ={]− ∞, a], a∈Q} C₃={]− ∞, a[, a∈Q} C₄ ={]a,+∞[, a∈Q} C₅={[a,+∞[, a∈Q} C₆ ={]− ∞, a], a∈R\Q}.

Exercice 9

On d´efinit sur N, pour chaque n ≥ 0, la tribu F_n = σ({0},{1}, ...{n}). Montrer que la suite de tribus (F_n, n∈N) est croissante, mais que∪_n∈NF_nn’est pas une tribu. Indication : on pourra d´ecrire pr´ecis´ement F

Exercice 10

Soit B la tribu bor´elienne deR, etf une application bor´elienne.

1) D´ecrire f⁻¹(B) dans le cas f = 1_A o`u A∈ B.

2) a) Montrer que l’ensemble S des bor´eliens de Rsym´etriques par rapport `a 0 est une tribu.

b) On suppose que f est paire. Montrer quef⁻¹(B)⊂ S.

c) Montrer que cette inclusion peut ˆetre stricte. (On pourra consid´erer la fonction cosinus).

d) Montrer que si f =|x|, alorsf⁻¹(B) =S.

e) En d´eduire que S est engendr´ee par les intervalles [−b, b]_b∈R+. Mesures

Exercice 11

Soient (X,T) un espace mesurable et µ:T →R+ une mesure.

1) Soient A, B∈ T. Montrer que

a) µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B) ; b) siA⊂B alorsµ(A)≤µ(B) .

2) Soit (A_n)n∈N⊂ T. Montrer que a) µ [

n∈N

An

!

≤X

n∈N

µ(An) ;

b) siAn⊂An+1 pour toutn∈N, alorsµ [

n∈N

An

!

= lim

n→+∞µ(An) ; c) siAn+1⊂An pour toutn∈Netµ(A0)<+∞, alorsµ \

n∈N

An

!

= lim

n→+∞µ(An) .

d) l’´egalit´e c) n’est pas toujours v´erifi´ee sans l’hypoth`ese µ(A₀)<+∞. On pourra consid´erer pour cela la mesure de Lebesgue sur R, et les ensembles An= [n,∞[,(n∈N).

Exercice 12

Soient (X,T, µ) un espace mesur´e et (A_n)n∈N⊂ T tels que X

n∈N

µ(A_n)<+∞.

1) Montrer que µ





\

n∈N

[

p≥n

A_p



= 0 . 2) Montrer que T

n∈N

S

p≥nAp est l’ensemble desx∈X qui appartiennent `a une infinit´e deAn. On appelle cet ensemble lim supA_n. Montrer que son compl´ementaire, S

n∈N

T

p≥nA^c_p, est l’ensemble des x ∈ X qui appartiennent `a tous lesA^c_n sauf un nombre fini. On appelle cet ensemble lim infA^c_n.

3) Soit f_n et g_n deux suites de fonctions mesurables de (Ω,A, µ) dans (R,B(R)) telles que f_n =g_n µ-pp, cad que pour tout n il existe A_n ∈ A tel que µ(A^c_n) = 0 et pour tout x ∈ A_n, f_n(x) = g_n(x). A-t-on supfn= supgn µ-pp ?

Exercice 13 : ensemble de Cantor

Soit (an) une suite d´ecroissante convergeant versα≥0, telle quea0 ∈]0,1[.

On d´efinit une suite de ferm´esCn⊂[0,1] comme suit :

C₀ est obtenu en enlevant au milieu de [0,1] un intervalle ouvert de longueur 1−a₀

Cn est obtenu en enlevant au milieu de chaque segment composant Cn−1 un intervalle ouvert de longueur 2⁻ⁿ(an−1−an).

1) Montrer que C=def ∩C_n est mesurable. Quelle est sa mesure?

2) Montrer que C est compact, totalement discontinu (i.e. les composantes connexes de C sont des points) et sans point isol´e. On dit queC est parfait

3) On pose an= (2/3)ⁿ⁺¹ pour toutn∈N.

a) Dessiner C. C’est l’ensemble triadique de Cantor. Que vautλ(C)?

b) Montrer que la fonction φ:{0,2}^N→C d´efinie par φ((sn, n∈N)) =X

n≥0

sn3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ est bijective. On pourra pour cela montrer que

Cn= [

a0,...,an∈{0,2}

" _n X

k=0

a_k3^−(k+1),

n

X

k=0

a_k3^−(k+1)+ 3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

# .

En d´eduire que C n’est pas d´enombrable.

Exercice 14

On consid`ere l’intervalle [0,1] muni de la tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue λ.

1) Montrer que pour tout >0, il existe un ouvert O dense dans [0,1] tel queλ(O)< .

2) En d´eduire que pour tout >0, il existe un ferm´e d’int´erieur videF tel que λ(F)>1−. Existe-t-il un ferm´e d’int´erieur vide de mesure de Lebesgue 1?

Exercice 15

Soientλ1la mesure de Lebesgue surR, et (Ij)j∈June famille d’intervalles ouverts deRtelle queP

j∈Jλ1(Ij)<

b−apour deux nombresa < b. Montrer que [a, b]6⊂S

j∈JIj. Exercice 16

Soit E un ensemble. On d´efinitµ:P(E)→R+ par µ(A) = sup

Card(B) : B ∈ P(E), B ⊂A etB fini . 1) Montrer que µest une mesure (elle est appel´ee mesure de comptage).

2) Montrer que la mesure de comptage µest finie si et seulement siE est fini.

3) On suppose E non fini. On dit queµest σ–finie s’il existe une suite croissante de parties mesurablesE_n telles que E =∪n∈NE_n etµ(E_n)<∞, pour toutn. Montrer que la mesure de comptage µest σ–finie si et seulement si E est d´enombrable.

Exercice 17

Calculer la mesure de Lebesgue de l’ensemble [

n∈N

1

n+ 2, 1 n+ 1

.

Exercice 18

Soit µ une mesure sur (R,B(R)) telle que µ soit finie sur les compacts, c’est-`a-dire que µ(K) <+∞ pour tout compact K ⊂R. On dit quea∈R est un atome pourµsiµ({a})>0. On dit queµ est diffuse si elle ne charge aucun singleton, c’est-`a-dire que µ({a}) = 0 pour touta∈R.

1) Montrer que la mesure de Lebesgue λ1 est diffuse.

2) Montrer queµposs`ede au plus un nombre d´enombrable d’atomes. (on comptera le nombre d’atomes tels que µ({a})≥1/n, pour toutn∈N).

On dit que la mesure µ est purement atomique si elle s’´ecrit sous la forme m = X

n∈N

αnδxn pour des suites (α_n)⊂R+ et (x_n)⊂R.

3) Montrer que µ peut s’´ecrire, de mani`ere unique comme somme d’une mesure diffuse µ_d et d’une mesure purement atomique µ_a.

4) On consid`ere la fonction G:R→Rd´efinie par G(x) =

(−µ(]x,0[) si x <0, µ([0, x]) si x≥0. Montrer que µest diffuse si et seulement siGest continue.

Mesurabilit´e

Exercice 19

Soit X un ensemble. On munit Rde la tribu Bor´elienne B(R).

1) D´eterminer toutes les fonctions mesurablesf :X→RlorsqueX est muni de la tribu T ={∅, X}.

2) D´eterminer toutes les fonctions mesurablesf :X→RlorsqueX est muni de la tribu T =P(X).

3) On suppose que (X, d) est un espace m´etrique et on noteB(X) sa tribu Bor´elienne. SoitT la plus petite tribu surX telle que toute fonction continuef :X→Rsoit mesurable, c’est `a dire queT est l’intersection de toutes les tribus ayant cette propri´et´e. Montrer queT =B(X).

Exercice 20

1) Montrer que toute fonction d´efinie sur R, continue sauf en un nombre d´enombrable de points est bor´elienne.

2) a) Montrer que la fonction indicatrice de Qest bor´elienne.

b) Montrer que la fonction f : R → R

x 7→

₁

q six= ^p_q, p∧q = 1,(p, q)∈Z×N^∗ 0 sinon

est bor´elienne.

3) a) Montrer que toute fonction croissante sur Rest bor´elienne.

b) Montrer qu’une fonction croissante sur une partie bor´elienne de Ret nulle ailleurs est bor´elienne.

Exercice 21

Soit f :R→Rune fonction continue `a droite. En consid´erant les fonctions fp :x7→X

k∈Z

f

k+ 1 2^p

1[₂^kp,^k+1₂p [(x), montrer que f est bor´elienne.

Exercice 22

Soit (f_t)t∈R un ensemble de fonctions de R dans R tel que les fonctions f_t soient bor´eliennes et que, pour tout x∈R, la fonctiont7→ft(x) soit continue `a droite.

Montrer que, pour tout a ∈R, on a {x ∈ R|sup

t∈R

f_t(x) > a} = [

t∈Q

{x ∈ R|f_t(x) > a} et en d´eduire que la fonction sup_t∈Rft est bor´elienne.

Exercice 23

Soit A la tribu engendr´ee par les singletons dans Ret soitf :R→R+ une fonction (A,B(R+)) mesurable.

On note m la mesure d´efinie sur (R,A) par m(A) = 0 si Aest d´enombrable et m(A) = 1 sinon.

1) D´ecrire A. V´erifier que m est bien une mesure.

2) Montrer que f est m-presque sˆurement constante, c.a.d. qu’il existe A ∈ A tel que m(A^c) = 0 et pour tout x, y∈A,f(x) =f(y). (Indication : poser α= sup{a∈R|m({x|f(x)≤a}) = 0}).