Universit´e Paris Dauphine Ann´ee 2012-2013 D´epartement MIDO
L3 - Statistique Math´ematique
Feuille de Travaux Dirig´ es 5 Intervalles de confiance
Exercice 1 On consid`ere le mod`ele de densit´e
f(x, θ) = p
2/πθexp
−x2 2θ
1x>0.
o`uθ > 0 est un param`etre inconnu.
1. D´eterminer la loi de probabilit´e de la v.a.X/√
θ. En d´eduire que Qn(θ) =nMn2/θ, Mn2 ´etant le moment empirique d’ordre 2, est une fonction pivotale pour θ dont on pr´ecisera la loi.
2. D´eterminer deux r´eels a et b tels que IC1 = [Mn2/a, Mn2/b] soit un intervalle de confiance de taille 1−α pourθ (pour un 0< α <1 donn´e).
3. En utilisant la loi limite du moment d’ordre 2 Mn2, chercher deux r´eels a1 etb1 tels que IC2 = [Mn2/a1, Mn2/b1] soit un intervalle de confiance de taille asymptotique 1−α pourθ.
4. Montrer que les deux intervalles obtenues IC1 etIC2 co¨ıncident asymptotiquement.
Exercice 2 Soit le mod`ele gaussien (N(µ, σ2),R×R∗+) et soit 0< α <1 fix´e.
1. Construire un intervalle de confiance pour µde niveau 1−α avecσ2 connu.
2. Construire un intervalle de confiance pour µde niveau 1−α avecσ2 inconnu.
3. Construire un intervalle de confiance pour σ2 de niveau 1−α avec µconnu.
4. Construire un intervalle de confiance pour σ2 de niveau 1−α avec µinconnu.
5. Construire une r´egion de confiance pour (µ, σ2) de niveau 1−α sous forme d’un rectangle `a partir des questions pr´ec´edentes.
Exercice 3 Soit N le nombre d’habitants dans un pays. Il s’agit de faire un sondage de la popularit´e µ du candidat A face au candidat B qui se pr´esentent tous deux `a la pr´esidentielle. On interroge un ´echantillon de n habitants avec n << N et on note Xi la r´eponse du i-`eme habitant, Xi ∈ {0; 1} avec Xi = 1 ssi la r´eponse est ”je pr´ef`ere le candidat A au candidat B”. On note toutes les r´ealisations xj pour j ∈ {1, . . . , N}.
1. D´eterminer µ en fonction des r´ealisations xj. 2. Proposer un mod`ele param´etrique de ce sondage.
3. D´eterminer un estimateur sans biais de variance minimale pour µ.
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4. En utilisant la fonction pivotale de Wald, d´eterminer un intervalle de confiance asymptotique (lorsque n, N(n) → ∞ avec N(n)>> n et µ fix´e) pour µde niveau de confiance 95%.
5. Soit 0 < q <1 fix´e. R´esoudre en θ l’´equation n(Xn−θ)2 =qθ(1−θ).
6. D´eterminer un nouvel intervalle de confiance de niveau asymptotique 95%.
7. Application num´erique : α= 5%, N = 60000000,n = 1000 et Xn= 45%.
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