Exercice 1 - changement de variable

(1)

Exercice 1 - changement de variable

Calculer les intégrales, ou déterminer les primitives demandées, à l’aide du changement de variable indi- qué.

a. ⁸

3

d avec 1

1

I x u x

= x = +

∫

+

x = u² – 1 ; différentielle : dx = 2u.du ^I ₂³¹^.^{2 d}^{u u}^. ^{2 d}₂³ ^u ²

[ ]

^u₂³ ^{2 3 2}

( )

²

=

∫

u =

∫

= = − =

b. ¹ ² sin

0 1 .d avec

I =

∫

−x x x= t

différentielle : dx/dt = cos(t), donc dx sera remplacé par cos(t).dt bornes : t = arcsin(x). Si x varie de 0 à 1, alors t varie de 0 à π/2

expression : t = arcsin(x) est un arc de cosinus positif, donc ¹^{− = −}^x² ¹ ^sin²

( )

^t ⁼^cos

( )

^t

( )

^cos

( )

^sin

( )

^/

cos . .

2 2

0 0

0

1 2 2 2 0 0 0

d d

2 2 4 2 4 2 4 4

t t t

I t t t

π π +  π π    π

= = = +  = + − +  =

   

 

∫ ∫

c. ^{F x}

( )

^sin_cos^x âvec û â ^b^cos^x

a b x

= = +

∫

+

différentielle : du = -b.sin(x).dx ^{F x}

( )

^{1 d}û ^{1 d}û ^lnû ^K ¹^lnâ ^b^.cos

( )

^x ^K

u b b u b b

= ⋅ = − = − + = − + +

∫

−

∫

d. ^{F x}

( )

⁼

∫

^sin

( )

²^x ^cos³

( )

²^x ^.^d^x ^avec ^u⁼^cos

( )

²^x

différentielle : du = -2.sin(2x).dx

( )

³_._d ⁴ ^cos⁴

( )

²

2 8 8

u u x

F x = −

∫

u= − + = −K +K

e. ³ .

3 2

1 d avec 3

I 9 x x u

− x

= =

∫

+

différentielle : dx = 3.du ¹1 2^. ^arctan

( )

¹1

(

^arctan

( )

^arctan

( ) )

1 1 1 1 1

d 1 1

3 1 3 3 3 4 4 6

I u u

u ⁻

−

π  π π

=

∫

+ =   = − − =  − − =

f. ³ .

0 1 d avec 1

I=

∫

x +x x u= +x différentielle : x = u² – 1, donc dx = 2u.du

( )

^{. .} ^.

( )

^. ⁵ ³ ²

2 2 2 4 2

1 1

1

32 8 1 1 116

1 2 d 2 d 2 2

5 3 5 3 5 3 15

u u

I u u u u u u u      

= − = − =  −  =  − − −  =

   

 

 

∫ ∫

g. ^I⁼

∫

₀⁴^π^sin³

( )

²^x ^.^d^x en écrivant sin²(2x) = 1 – cos²(2x), puis u = cos(2x) On peut écrire : I 0⁴^sin²

( ) ( )

2x ^.sin 2x^.dx 0⁴

(

1 ^cos²

( )

2x

)

^.sin

^{( )}

2x^.dx

π π

=

∫

=

∫

−

On effectue le changement de variable suivant : u = cos(2x), donc du = -2sin(2x).dx.

( )

^. ^.

( )

^. ³ ⁰

0 2 0 2

1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 d 1 d 1

2 2 2 3 2 3 3

I u   u u u u u   

= − −  = − =  −  = − −  =

      

∫ ∫

h.

( )

² ^.^d ^avec ² ¹

2 1

F x x x u x

= x = +

∫

+

(2)

différentielle : .

2

2 1

2 1 d d

2

u = x+ ⇔ =x u − ⇒ x=u u

( ) (

^u²₄ ¹

)

²^{. .}^d ¹₄

(

² ¹

)

²^.^d ¹₄

(

⁴ ² ² ^{1 d}

)

^. ₂₀û⁵ û₆³ ₄û

F x u u u u u u u C

u

=

∫

− =

∫

− =

∫

− + = − + +

soit :

( ) (

² ¹

)

⁵

(

² ¹

)

³ ² ¹

20 6 4

x x x

F x = + − + + + +K

i.

( )

^.

3

2

2 3 d avec 1

1

F x x x u x

x

= = +

∫

+

différentielle : du = 2x.dx

( ) ( )

( ) ( ) ( )

. .

2

2 2

3 2 3 2 2 2 2

1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 d 2 4 4 1 2 1 4 1

u u x

F x u K K K

u u u u u x x x

−   +

= =  −  = − + + = − + = − +

+

  + +

∫ ∫

j.

( )

^.

3

2

2 2 d avec

1

F x x x u x

x

= =

∫

+

( ) ( )

.

2

d

2 1

F x u u

u

=

∫

+ . Décomposons la fraction :

( )

²

( )

²

1 1

1 1 1

u

u = u− u

+ + + . On obtient :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

ln ln ²

2 2

1 1

d d 1 1

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

u x

u u

F x K K

u u u x

+ +

= − = + + = + +

+ + + +

∫ ∫

On aurait également pu poser : v= +x² 1⇒dv=2 dx x. . Ainsi, on aurait obtenu :

( ) ( )

^. _. ^ln

( )

2 2

1 d 1 1 1 1

2 2 d 2 2

v v v

F x v K

v v v v

−  

= =  −  = + +

 

∫ ∫

, même résultat.

k.

( ) ( )

cos . cos

sin

4

d avec

F x x x u x

=

∫

x =

différentielle : du = -sin(x).dx ,

sin sin sin² cos² ²

d d d d d

d 1 1

u x u u u

x= − x x= − x = − x = − u

− −

Notre primitive s’écrit alors :

( )

⁴2^.d 2 ⁴ ^.d

1 1

u u

F x u u

u u

= − =

− −

∫ ∫

^.

En effectuant en premier lieu la division polynomiale, puis la décomposition de la fraction rationnelle restante on obtient :

( ) ( )

4 2 2

1 1

1 1 2 1 2 1

u u

u = + + u − u

− − +

et

( ) ( ) ( ) ( )

( )

cos cos

ln ln cos ln

cos

3 1 1 3 1 1

1 1

3 2 2 3 2 1

x x

F x u u u u K x K

x

= + + − − + + = + + − +

+ .

l.

( )

4 2 ^.d avec ²

2

F x x x u x

x x

= =

∫

− −

( )

2 ^.

1 1

2 2d

F x u

u u

=

∫

− − . Décomposons la fraction : au dénominateur, nous avons un polynôme que nous pouvons factoriser (ses racines sont –1 et 2) : u² – u – 2 = (u + 1)(u – 2).

Ainsi nous décomposons la fraction rationnelle :

( ) ( )

2

1 1 1

2 3 2 3 1

u u = u − u

− − − +

(3)

( )

^. ^ln ^ln ^ln ²2

1 1 1 1 d 1 d 1 1 1 2

d 2 1

6 2 1 6 2 6 1 6 6 6 1

u u x

F x u u u K K

u u u u x

−

 

=  −  = − = − − + + = +

− + − + +

 

∫ ∫ ∫

m. ^{F x}

( )

⁼

∫

^a²^cos²

( )

^x^dx⁺^b²^sin²

( )

^x avec factorisation par cos²(x) puis u = tan(x) tan

cos² d dx

u x u

= ⇒ = x^{, d’où :}

( )

² ²^tan²

( )

^.^cos²

( )

² ² ² ² ² ²

2

1 d d 1 d

1

x u u

F x a b x x a b u a b

a u

= = =

+ + +

∫ ∫ ∫

^.

On effectue un deuxième changement de variable : b d bd

v u v u

a a

= ⇒ = .

( )

2 ^. 2 2 ^arctan

( )

^arctan ^arctan ^tan

( )

1 d 1 d 1 1 1

1 1

a v v b b

F x v K u K x K

a b v ab v ab ab a ab a

   

= = = + =  + =  +

+ +    

∫ ∫

n.

( )

₂ ¹ ^.^d

2

F x x x

x x

= +

∫

+

Nous avons deux possibilités : une rapide, une plus longue !

La « Rapide » de tête ! : on remarque que le numérateur est égal à la dérivée de l’expression sous la racine divisée par deux, soit :

( ) ( )

( )

^.^d

2

F x u x x

u x

=

∫

′ . On reconnaît donc immédiatement :

( ) ( )

² ²

F x = u x + =K x + x+K

La « plus longue » mais plus sûre ! : On effectue un changement de variable comme suit :

( )

^.

( )

^.

( )

^.

2 d

2 d 2 2 d 2 1 d 1 d

2

u=x + x⇒ u= x+ x= x+ x⇔ x+ x= u d’où :

( )

^d ² ²

2

F x u u K x x K

=

∫

u = + = + +

o. .

3

0

1 d

x x

+x

∫

à l'aide du changement de variable u= 1+x

d 1 1 .

d 2 d

d 2 1 2

u x u u

x = x = u ⇔ =

+ . De plus, x=u²−1.

. . .

3 2 2 3 2

0 1 1

1 8 1 8

d 2 d 2 2 2 1

3 3 3 3

1

x u u

x u u u

x u

   

−    

= =  −  =  −  − − =

+      

∫ ∫

p. ³ ¹²

12 2

d 5 4

t t t

−

∫

+ + , en posant le changement de variable 1 X = +t 2.

* d d 1

X

t = , donc dX =dtdX = dt ; *

2

2 2

5 5 1 1

4 t t 4 X 2 X 2 X 1

+ + = + − + −  = +

 

* Les bornes 1/2 et √3 – 1/2 pour t deviennent dans cet ordre les bornes 1 et √3 pour X.

Ainsi, l’intégrale à calculer s’écrit : X X +

∫

1³ 2

d

1, intégrale de la fonction dérivée de la fonction arctan- gente. Cette intégrale vaut donc : ^arctan

( )

³ ⁻^arctan

^{( )}

¹ ^{= − =}^{π π}₃ ₄ ₁₂^π ^.

(4)

Exercice 2 -

On recherche ici la position du centre de gravité d’un demi-disque de rayon R. La figure ci-contre positionne ce demi-disque dans un repère or- thonormé du plan.

1) a. Justifier que, dans ce repère, l’équation du demi-cercle bordant ce demi-disque est ^{f x}

( )

⁼ ^R²⁻^x² ^.

Il est clair que si x et y désignent les coordonnées d’un point du demi-

cercle, le théorème de Pythagore affirme que x² + y² = R². Et comme y est positif, on a bien

( )

² ²

f x = =y R −x .

b. Par intégration de la fonction f, vérifier que l’aire A du demi-disque vaut 1 ²

2πR . On effectuera dans l’intégrale le changement de variable x = R.cost.

( )

. cos . sin . cos .sin . sin .

cos sin

.

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

d d 1 d d

1 2 2

2 d 2 4 2

R

A R x x R R t R t t R t t t R t t

t t t

R t R R

π π

− π

π π

= − = − − = − =

−    π

= =  −  =   

∫ ∫ ∫ ∫

∫

2) L’ordonnée du centre de gravité du demi-disque est donnée par la formule :

( )

^.

2

G

1 d

2

R

f x x

y A

= −

∫

. Ob- tenir ainsi une expression de y_G en fonction de R puis positionner approximativement le centre de gravité sur la figure proposée au-dessus.

( )

^.

( )

^. ² ³ ³ ³

2 2 2

G 2 2 2

2 2

1 1

d d

3 3 3

2 2 4

3 0,42 2

R R R

x R R

f x x R x x R x

y R R

R

A R R

− − −

     

− − −

−      

     

= = = = = ≈

π π π π

∫ ∫

Exercice 3 -

On se propose de rechercher l’aire et le volume d’un « ballon de rugby ». Pour construire cette forme, en trois dimensions, on définit d’abord une ellipse d’équation 4x²+9y² =36 dans un plan (xOy) – voir figure – puis on met cette ellipse en rotation autour de l’axe (Ox).

On remarque d’une part que sur cette ellipse ² 4 ²

4 9

y = − x , et

d’autre part que les sections de ce ballon de rugby orthogonales à l’axe (Ox) sont des cercles (un exemple en pointillés).

1) Déterminer par un calcul d’intégrale le volume intérieur de ce ballon de rugby.

L’aire d’une section (en pointillés sur la figure) vaut πy², soit 4 ² 4 9x

 

π − 

 .

Par une variation infinitésimale dx, la section engendre le volume élémentaire dV = 4 ² 4 9x

 

π − 

 .dx.

(5)

Le volume total est donc : V = ³₃ ² ^. ³ ³

( ( ) ( ) )

3

4 4

4 d 4 12 4 12 4 16

9x x x 27x

− −

   

π −  = π −  = π − − − + = π

∫

^.

2) déterminer par un calcul d’intégrale l’aire de ce ballon de rugby, en posant dans votre intégrale le changement de variable suivant : x = 3cost.

Le périmètre d’une section (en pointillés sur la figure) vaut 2πy, soit

2

4 2

2 4 4 1

9 9

x x

π − = π − . Par une variation infinitésimale dx, la circonférence engendre l’aire élémentaire dA =

2

4 1

9 π −x .dx.

L’aire totale est donc :

( )

( ) ( )

( )

. cos . sin sin cos

sin

3 2 0 2 2

3 0 0

2 0

1 2

A 4 1 d 4 1 3 .d 12 .d 12 .d

9 2

6 2 6 0 0 0 6

2

x t

x t t t t t t

t t

π π

− π

π

= π − = π − − = π = π −

 

= π −  = π π − − − = π

∫ ∫ ∫ ∫

.

Exercice 4 -

On considère un cylindre droit à bases circulaires, de rayon R et de hauteur L, « couché », c’est à dire dont les bases sont dans des plans verticaux (voir figure).

Une base circulaire est munie d’un axe (Oy) vertical, dirigé vers le bas et dont l’origine est le centre du cercle. Le point le plus bas du cercle a ainsi une cote égale à R, et le point le plus haut une cote égale à –R.

A l’intérieur de ce cylindre se trouve une certaine quantité d’eau, dont la surface est reprérée par la cote h sur l’axe (Oy).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Expression du volume d’eau en fonction de h a. On envisage de partager ce volume d’eau en

sections rectangulaires horizontales, de cote y, de largeur 2r (voir figure, en pointillés), de longueur L et d’épaisseur infinitésimale dy.

Ecrire le volume élémentaire dV d’une telle section, en fonction de L, R et y.

Le théorème de Pythagore montre que

r² = R² - y² et ainsi . .

2

2 2

d 2 d 2 1 y2 d

V L R y y LR y

= − = −R .

b. Une intégrale de ce volume élémentaire permettra d’exprimer le volume total d’eau. Montrer que cette intégrale peut s’écrire sous la forme .

2

1 2 d

R h

V C y y

=

∫

−R où C est un facteur constant à ex- pliciter.

Ce volume élémentaire est à sommer (intégrer) pour y allant de h à R :

. .

2

2 2

2 d 2 1 2 d

R R

h h

V L R y y LR y y

=

∫

− =

∫

− R

c. En utilisant le changement de variable y = R.sin(u), calculer cette intégrale.

* Bornes : pour y = R, u = arcsin(1) = π/2 et pour y = h, u = arcsin(h/R)

(6)

* Fonction : 1 y²2 1 ^sin²

( )

^cos

( )

u u

−R = − = (vu le domaine global de y : [-R ; R],

u = arcsin(y/R) varie entre arcsin(-1) et arcsin(1), donc entre –π/2 et π/2, de cosinus positif).

* Différentielle : _d^d^y ^R^cos

( )

^u ^d^y ^R^cos

( )

^u ^.^d^u

u = ⇔ =

Ainsi, l’intégrale devient, sur la variable u : ² ² _arcsin² _{( )}h ^cos²

( )

^.^d

R

V LR u u

=

∫

π ^.

On sait que cos(2x) = 2cos²(x) – 1, donc _cos2

( )

^cos

( )

2 1 2

u u +

= .

( ( ) )

( )

( ) ( )

_{( )}

( ( ) ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( )

( ( ) ) ^{( )} ^{( )}

arcsin arcsin

arcsin

cos . sin sin cos

sin arcsin .cos arcsin arcsin

cos arcsin arcsin arcsin

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 1 d 2

2

0 2

2 2 1

h h

R h R

R

V LR u u LR u u LR u u u

h h h

LR R R R

h h h h h h

LR R R R LR R R R

π π π

π

π π

 

= + =  +  =  + 

 

  

=  + − + 

 

    

=  − − = − −  −

   

∫

 

 

 

d. Vérifier que dans les cas particuliers h = -R, h = 0 et h = R, votre résultat précédent est cohérent.

Si h = 0, on retrouve bien V = πR²L/2, moitié du volume du cylindre ; Si h = R, on retrouve bien V = 0 ;

Si h = -R, on retrouve bien V = πR²L, volume total du cylindre.

2) Vitesse de montée du niveau de l’eau, à débit constant

a. En posant y = arcsin x et donc x = sin y, et en utilisant la notation différentielle de la dérivée, montrer que la dérivée d’arcsin x est

2

1

1−x . (1 point)

cos sin

x y y x

y = = − ² = − ²

d 1 1

d , donc

2

d 1

y

x = x

− .

b. Dériver alors par rapport à x la fonction f d’expression ^x ¹⁻^x² ⁺^arcsin

( )

^x ^.

( )

^x ^x ^x

f x x x

x x x

− − +

′ = − − + = = −

− − −

2 2 2

2 2

2 2 2

2 1 1 1

1 2 1

2 1 1 1

c. Dériver enfin par rapport à h la fonction g d’expression arcsin

2

h 1 h h

R R R

   

−  +  

   . (on pourra aller plus vite en utilisant une composition de fonctions)

Cette fonction g est la composée de la fonction f avec la fonction : h

v h֏ R . g(h) = f o v(h).

( )

^.

( ( ) )

^. ²

d 1

d 2 1

g h

v h f v h

h R R

 

′ ′

= = − 

 

d. En déduire d d V

h , dérivée du volume V par rapport à h. (0,5 point)

( )

arcsin ; . .

2 2 2

2 d 2 2 1

1 2 1 2 1

2 d

h h h V dg h h

V LR LR LR LR

R R R h dh R R R

π       

 

=  − −  −  = − = − −  = − − 

(7)

e. En remarquant que d .d d

d d d

V h V

h t = t =D, débit constant de remplissage, exprimer la vitesse de mon- tée du niveau de l’eau dans ce cylindre.

2

d d

2 1

h D

t h

LR R

=  

− − 

 

, et comme l’axe (Oy) est orienté vers le bas, la vitesse de montée du niveau

de l’eau est l’opposé de ce résultat :

2

2 1

D LR h

R

 

− 

  .

Exercice 5 -

On définit la fonction carré par f x: ֏x², dont la courbe représentative est une parabole.

L'objectif est d'exprimer la longueur ^{L a b}

( )

^, d'un arc de cette parabole, délimité par deux points A et B d'abscisses respectives a et b.

On admet qu'une telle longueur se calcule par :

( )

^, ^b ¹

( ( ) )

²^.^d

a

L a b =

∫

+ f′ x x., avec a < b.

1) Quelle est donc l'intégrale à calculer, dans le cas de la fonction carré ?

( )

^, ^b ¹

( )

² ²^.^d ^b ^{1 4} ²^.^d

a a

L a b =

∫

+ x x=

∫

+ x x^.

2) On envisage de résoudre ce calcul par un changement de variable. Pour cela, on introduit les fonctions ch, cosinus hyperbolique, et sh, sinus hyperbolique :

( )

^e ^e ^;

( )

^e ^e

2 2

x x x x

ch x sh x

− −

+ −

= = .

Montrer que ^d

( ( ) ) _{( )}

d

sh x ch x

x = et que ¹⁺^sh²

( )

^x ⁼^ch²

( )

^x ^.

( )

e

( )

e

_{( )}

_; 2

_{( )}

e² 2 e ² e² 2 e² 2

_{( )}

1 1

2 4 4

x x x x x x

sh x ch x sh x ch x

− − −

− − − + + +

′ = = + = + = = .

3) Effectuer alors, dans l'intégrale, le changement de variable ²^x⁼^{sh t}

( )

(pour exprimer les nouvelles bornes, on fera appel à la fonction réciproque du sinus hyperbolique, fonction dénommée argsh).

Sans aller jusqu'à l'obtention de l'expression ^{L a b}

( )

^, , donner tout de même une primitive de la fonction ^x^֏ ¹⁺

(

^f^′

( )

^x

)

² en utilisant la variable t.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

. .

, . . . . .

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 d d

1 1 1

1 2 d 1 d d e 2 e d

2 2 8

1 e e

8 2 2 2

argsh b argsh b argsh b

b

t t

a argsh a argsh a argsh a

argsh b

t t

argsh a

x ch t t

L a b x x sh t ch t t ch t t t

t

−

=

= + = + = = + +

 

=  + + 

 

∫ ∫ ∫ ∫

4) Application numérique : quelle est la longueur de l'arc de parabole de la fonction carré entre x = 0 et x

= 1 ? On admettra que ^argsh

( )

⁰ ⁼⁰^et^argsh

( )

² ^≈^1,4436^.

( )

^, ² ² ^1,4436 ^2,8872 ^2,8872

( )

0

1 e e 1 e e 1 1 1

0 1 2 2,8872 0 11,8866 1 1,3608

8 2 2 8 2 2 2 2 8

t t

L t

−  − 

     

≈  + +  ≈  + + − + + ≈ − ≈ .

(8)

Exercice 6 - Intégration par parties

Calculer les intégrales, ou déterminer les primitives demandées, à l’aide d’une intégration par parties.

a. ¹ .

0 e d^x I=

∫

x x

Intégrons par parties : u = x et v’ = e^x ; u’ = 1 et v = e^x

( ) ( )

. ¹ ¹ . . ¹ ¹ . ¹

0 0 0 0 0

e^x e d^x e^x e^x 1 e^x 0 1 1

I =x  −

∫

x=x  −   = x−  = − − = b. ^{F x}

( ) (

⁼

∫

^ax⁺^b

)

^{e d}^x^. ^x

Intégrons par parties : u = ax + b et v’ = e^x ; u’ = a et v = e^x

( ) ( )

^.^e^x ^.^{e d}^x^.

( )

^.^e^x ^.^e^x

( )

^.^e^x

F x = ax+b −

∫

a x= ax+b −a + =K ax+ −b a +K c. ^e ²ln .

1 d

I=

∫

x x x

Intégrons par parties : u = ln(x) et v’ = x² ; u’ = 1/x et v = x³/3

( ) ( )

ln . ln

e e e

3 2 3 3 3 3 3

e 1

1 1 1

e e 1 2e 1

3 3 d 3 9 3 9 9 9

x x x x

I = x  − x= x  −  = − + = +

 

∫

   

d. ^{F x}

( )

⁼

∫

^x^{sin cos .}^x ^{x x}^d

( )

¹ ^sin

( )

² ^.^d

F x =2

∫

x x x . Intégrons par parties : u = x et v’ = sin(2x) ; u’ = 1 et v = -1/2.cos(2x)

( )

¹ ¹ ^.cos

( )

² ¹^cos

( )

² ^. ¹ ^.cos

( )

² ¹^sin

( )

²

2 2 2 4 8

F x  x x x dx x x x K

= − − − = − + +



∫



e. cos .

2 2 0

x x xd

π

∫

^.

[ ]

[ ] [ ] ( )

cos . sin sin . sin cos cos .

sin cos sin sin cos sin

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

Par parties : d 2 d 2 d

2 2 2 2 0 2 0 0 0 2

4 4

u v u v

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

π π π

′ ′

π π π π

 

 

   

=  − =  −  − − − 

 

 

π  π

   

=  + − = + −  = + − − + − = −

 

∫ ∫ ∫

f. I =

∫

₀^πx².sin .x x^d ^.

[ ]

( )

( ) ( )

( ) ⁽ ⁾

.sin . - .cos .cos . - .cos .sin sin .

- .cos .sin cos - .cos .sin cos - .cos . .sin cos

,

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0

2 2

d 2 d 2 d

2 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0

0 2 0 0 2 4 5 8696

u v

I x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

π π π π π π

′

π

   

= =  + =  + −

 

= + +  = π π + π π + π − + +

= π + − − + + = π − ≈

∫ ∫ ∫

g. ^{F x}

( )

⁼

∫

^x⁵^sin

( )

²^x ^.^d^x

Intégrations par parties successives : u = x⁵ et v’ = sin2x ; u’ = 5x⁴ et v = -1/2.cos2x

( )

⁵^sin

( )

² ^.^d ⁵^cos

( )

² ⁵ ⁴ ¹ ^cos

( )

² ^.^d ⁵^cos

( )

² ⁵ ⁴^cos

( )

² ^.^d

2 2 2 2

x x

F x x x x x x   x x x x x x

= = − − ⋅ −  = − +

 

∫ ∫ ∫

u = x⁴ et v’ = cos2x ; u’ = 4x³ et v = 1/2.sin2x

(9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos . sin . sin . sin sin .

cos cos sin sin .

4 4

4 3 3

1

5 5 4

3 1

2 d 2 4 1 2 d 2 2 2 d

2 2 2

5 5

2 2 2 5 2 d

2 2 2 4

x x

G x x x x x x x x x x x x

x x x

F x x G x x x x x x

= = − = −

= − + = − + −

∫ ∫ ∫

∫

u= x³ et v’ = sin2x ; u’ = 3x² et v = -1/2.cos2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sin . cos cos . cos cos .

cos sin

cos sin cos cos .

3 3

3 2 2

2

5 4

2

5 4 3

2

1 3

2 d 2 3 2 d 2 2 d

2 2 2 2

2 5 2 5

2 4

5 5 15

2 2 2 2 d

2 4 2 2

x x

F x x x G x

x x x

x x x x x x

 

= = − − ⋅ −  = − +

 

= − + −

= − + + −

∫ ∫ ∫

∫

u = x² et v’ = cos2x ; u’ = 2x et v = 1/2.sin2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos . sin sin . sin sin .

cos sin cos

cos sin cos sin sin .

2 2

2 3

5 4 3

3

5 4 3 2

2 d 2 2 1 2 d 2 2 d

2 2 2

5 5 15

2 2 2

2 4 2 2

5 5 15 15

2 2 2 2 2 d

2 4 2 4 2

x x

x x x

F x x x x G x

x x x x

F x x x x x x x x

= = − ⋅ = −

= − + + −

= − + + − +

∫ ∫ ∫

∫

u = x et v’ = sin2x ; u’ = 1 et v = -1/2.cos2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sin . cos cos . cos sin

cos sin cos sin

cos sin cos sin cos sin

4

5 4 3 2

4

5 4 3 2

1 1

2 d 2 2 d 2 2

2 2 2 4

5 5 15 15

2 2 2 2

2 4 2 4 2

5 5 15 15 15

2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 4 8

x x

G x x x x x x x x x K

x x x x

F x x x x x G x

x x x x x

F x x x x x x x K

= = − − − = − + +

= − + + − +

= − + + − − + +

∫ ∫

Exercice 7 -

1) Montrer qu’une primitive de x est

3

2 2

3x . Une primitive de x^α est

1

1 x^α α

+

+ , donc pour

1

x2 :

3 2

3 2 x , soit

3

2 2

3x .

2) Par intégration par parties, déterminer une primitive de ^ln

( )

^x ^× ^x^.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ln . ln . ln . ln ln

3 3 3 1 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

d d d

3 3 3 3 3 3 3 3 3

u v

x x x x x x x x x x x x x x x x

′ x

′

 

× = − × = − = − × =  − 

 

∫ ∫ ∫

3) Donner alors la valeur exacte de ¹^ln

( )

^.

0

I =

∫

x × x xd . (pour arriver au résultat, on devra admettre que

( )

ln

3

x2 x tend vers 0 lorsque x tend vers 0).

( ) ( ) ( ) ( )

ln ln ln

3 1 3

2 2

0 0

2 2 2 2 2 2 2 4 4

1 0 0 0

3x x 3 3 3 3x _x x 3 3 9 9

→

         

− = − − − × × = − − − = −

       

      

   

(10)

Exercice 8 -

Le but de l'exercice est le calcul de l'intégrale ⁴cos .ln cos

( )

.

K=

∫

0^π

θ θ θ

d où ln désigne la fonction loga- rithme népérien.

1) On considère la fonction réelle f définie sur ]-1 ; +1[ par

( )

1 ² 2

f u u

= u

− .

Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout u ∈ ]-1 ; +1[, ^{f u}

( )

^a ₁^b ₁^c

u u

= + +

+ − .

( ) ⁽ ^{) (} ⁾ ( )

( )

^. ^.

2 2

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

0 1

0 1 2 0 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1

a u b u c u au c b u a b c

b c

a u u u u

a a a

f u c b c b

b c

a b c b

f u u u

− + − + + − + − + + +

+ + = =

+ − − −

− = = −

   = −

  

= ⇔ − = ⇔ = ⇔

 + + = − + =  = =

 

= − + +

+ −

2) On pose, pour x ∈ ]-1 ; +1[, ^{F x}

( )

⁼

∫

₀^x ^{f u}

( )

^.^d^u^.

a. Déterminer ^{F x}

( )

^.

Une primitive de 1. 1 1. 1 1 2 1 u 2 1 u

− + +

+ − est ¹^ln

(

¹

)

¹^ln

(

¹

)

^ln ¹

2 2 1

u u u u u

u

− + + − − = + −

− . On en déduit que

( )

₀

( )

^.^d ^ln ¹

1

x x

F x f u u x

x

= = + −

∫

− ^.

b. Exprimer sa dérivée ^{F x}^′

( )

à l'aide de ^{f x}

( )

^.

Manifestement, ^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^.

3) On pose, pour ;

θ∈ −^ 2 2^{π π}^, ^g

( )

^θ ⁼^F

(

^sin^θ

)

. Déterminer ^g^′

( )

^θ ^.

( )

^sin

(

^sin

)

=^cos

(

^sin

)

^cos ^sin_sin² 2 ^cos _cos^sin²2 ^sin_cos² ^.

g θ θ F θ θ f θ θ 1 θ θ θ θ

θ θ θ

′ = ′ × ′ × = × = × =

− 4) En déduire la valeur de l'intégrale sin

. cos

2 4

J 0 θ θd

θ

=

∫

π ^.

( ) ( )

( )

sin sin

. ln sin ln sin

cos sin

ln ln

2 4 0

1 4

J d 0 1 0

4 1 4

4

2 1 1 1

2 1

2 1 2 2

g g

θθ θ

π

 + π 

 

π π

   

= =   − = − π − − −

 

= + − = + −

−

∫

5) A l'aide d'une intégration par parties et de la valeur de J, calculer l'intégrale K.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos .ln cos . sin .ln cos sin . sin .

cos

sin .ln cos ln ln ln ln

4 4 4

0 0 0

K d d

1 1 1 1

J 2 1 2 1 1 2

4 4 2 2 2 2

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

π π π −

= =  −

π  π

=  + = + + − = + − +

 

∫ ∫

(11)

Exercice 9 -

On définit la fonction f sur ]0 +∞[ par : ^{f x}

( )

^ln^x

= x ^.

1) Donner une primitive de cette fonction, soit directement, soit par intégration par parties, soit en posant le changement de variable u=lnx.

Directement : ln 1ln

x x u u

x = x = ′ , dérivée de 1 ²

2u . Donc ln

. 1ln² d 2

x x x

x =

∫

^.

IPP : choix : 1, ln

u v x

′ = x = , donc ln , 1

u x v

′ x

= = . ln ln ln

. ln² . . 1ln²

d d d

2

x x x

x x x x x

x = − x ⇔ x =

∫ ∫ ∫

^.

u=lnx : x=e^u⇒dx=e d^u u^{. Donc} ln

. . . ln

2

1 2

d e d d

e 2 2

u u

x u u

x u u u x

x = = = =

∫ ∫ ∫

^.

2) En déduire la valeur de ln .

1

d

a

x x

∫

x où a est un nombre réel strictement supérieur à 1.

( ( ) )

( ) ⁽ ⁾

ln . ln ln ln ln ln ln

a

x x a a a a a

x a

  

=  −  = − − = − =

  

∫

² ² ² ² ² ²

1

1 1 1 1

d 0

2 2 2

3) Quelle est, en fonction de a, la valeur de l’aire comprise entre la courbe de la fonction f et l’axe des abscisses, pour x compris entre 1

a et a ?

Cette fonction est positive ssi x ≥ 1. L’aire recherchée est donc :

( ) ( ^{( )} )

ln ln

. . ln ln ln ln ln ln ln

a

x x

x x a a a a

x x a

  

− + = −  −  + − = − − + =

  

∫

¹

∫

² ² ² ² ² ² ²

1 1

1 1 1 1 1

d d 1 1

2 2 2 2

Exercice 10 -

1) Par intégration par parties, déterminer une primitive de : t×sint^. On pose u = t et v’ = sint ; ainsi : u’ = 1 et v = -cost.

sin .d cos cos .d sin cos t t t= −t t+ t t= t−t t

∫ ∫

^.

2) Calculer l’intégrale ²^sin

( )

^.

0

x dx

π

∫

en posant le changement de variable t= x (donc x=t²^).

x=t2^{, donc}dx=2 dt t. ^.

( ) ^[ ^] ⁽ ⁾

sin . .sin . sin cos sin cos

2 question 1

0

0 0

d 2 d 2 2 2

x x t t t t t t

π π

= = − π = π − π π = π

∫ ∫

^.

Exercice 11 -

Déterminer les primitives de e ^x en commençant par appliquer le changement de variable t= x^.

. . ^x. ^t.

t= x⇔ = ⇔x t² ^dx=^{2 d}t t

∫

^e ^dx=2 e d . On intègre alors par parties :

∫

t t

( )

. .

t t t t

t t=t − t= −t +K

∫

^{e d} ^e

∫

^{e d} ^{1 e} . En conclusion :

^∫

^e ^x^.^d^x⁼²

(

^x⁻^{1 e}

)

^x ⁺^K^.

(12)

Exercice 12 -

1) Par intégration par parties, calculer ^e . ln .

1 x x xd

∫

(écriture exacte du résultat).

.ln . ln . . ln ln

e e e e

2 2 2 2 2 2 2 2

e e

1 1

1 1 1 1

1 1 e 1 1 1 e 1

d d

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4

v u

x x x x x

x x x x x x x

′ x

            −  +

=  − =  −  =  −  = ×  − × =

 

           

∫ ∫

2) a. Montrer que calculer . cos

1 d

b

a x

∫

x revient à calculer .

2

1 d

1

d

c t

−t

∫

, par le changement de variable t=sinx.

sin sin

sin cos . . . .

cos cos cos cos² ²

1 1 d d 1

d d d d

1

b b b d

a a a c

t t

t x t x x x t

x x x x t

= ⇔ = = = =

∫ ∫ ∫ ∫

−

b. Déterminer les réels p et q tels que 1 ₂

1 1 1

p q

t = t + t

− − + .

( ) ( ) ( ) ( )

_...

2 2 2

0

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2

p q

p t q t p q t p q

p q

ssi p q

p q

t t t t t

− =

+ + − − + + 

+ = = =  ⇔ = =

− + − − −  + =

c. Calculer alors, en valeur exacte, . cos

4 0

1 dx x

∫

π ^.

( ) ( )

( )

. . . ln ln

cos

ln ln ln ln ln ln ln

2 2 2

4 2 2 2

2 0

0 0 0

1 1 1 1 1 1

d d d 1 1

1 2 1 1 2

1 2

1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

x t t t t

x t t t

π  

= − =  − + +  = − − + + 

 

+

 

        +  +

= −  − +  + − − + =  − =  − = −

 

∫ ∫ ∫

d. Pour conclure, donner une primitive de cos

1 x.

( ) ( )

^sin

. ln ln ln ln

cos sin

1 1 1 1 1

d 1 1

2 2 1 1

t x

x t t

x t x

+ +

 

= − − + + =  − = −

∫

Exercice 13 -

On considère un miroir parabolique d'épaisseur faible, de masse surfacique ms = 6 kg.m^-2, dont la forme est une surface engendrée par la rotation autour d'un axe ∆ d'un morceau de parabole : celle d'équation y = x² pour x ∈ [-1 ; 1] (voir figures 1 et 2). On souhaite calculer le moment d'inertie I∆ de ce miroir par rapport à cet axe ∆. On précise que ce moment d'inertie se calcule par : .

miroir

I_∆ =

∫

x²^dm, où dm est la masse d'un élément de surface qui doit parcourir le miroir, avec dm = ms × dS (voir figure 2 : l'élément de surface est une bande circulaire grisée, de rayon x et de largeur dL) et où x est la distance séparant l'élément de surface de l'axe ∆.