Exercice 1 - changement de variable

Exercice 1 - changement de variable

Calculer les intégrales, ou déterminer les primitives demandées, à l’aide du changement de variable indi- qué.

a. ⁸

3

d avec 1

1

I x u x

= x = +

∫

+ b. ^{1 2} sin

0 1 .d avec

I =

∫

−x x x= t

c. ^{F x}

( )

^sin_cos^{x avec u a bcosx}

a b x

= = +

∫

+ d. ^{F x}

( )

⁼

∫

^sin

( )

^{2x cos3}

( )

^{2x .dx avec u=cos}

( )

^2x

e. .

3 3 2

1 d avec 3

I 9 x x u

− x

= =

∫

+ f. .

3

0 1 d avec 1

I =

∫

x +x x u= +x

g. ^{I =}

∫

₀^4πsin3

( )

^{2x .dx} en écrivant sin²(2x) = 1 – cos²(2x), puis u = cos(2x)

h.

( )

^{2 .d avec 2 1}

2 1

F x x x u x

= x = +

∫

+ i.

( )

( )

^.

3

2

2 3 d avec 1

1

F x x x u x

x

= = +

∫

+ j.

( )

( )

^.

3

2

2 2 d avec

1

F x x x u x

x

= =

∫

+ k.

( ) ( )

( ) ( )

cos . cos

sin

4

d avec

F x x x u x

=

∫

x =

l.

( )

4 2 ^.d avec ²

2

F x x x u x

x x

= =

∫

− −

m. ^{F x}

( )

⁼

∫

^a2cos2

( )

^xdx+b2sin2

( )

^x avec factorisation par cos²(x) puis u = tan(x) n.

( )

₂ ^{1 .d}

2

F x x x

x x

= +

∫

+ o. .

3

0

d 1

x x

+x

∫

à l'aide du changement de variable u= 1+x p.

3 12

12 2

d 5 4

t t t

−

∫

+ + , en posant le changement de variable 1 X = +t 2.

Exercice 2 -

On recherche ici la position du centre de gravité d’un demi-disque de rayon R. La figure ci-contre positionne ce demi-disque dans un repère or- thonormé du plan.

1) a. Justifier que, dans ce repère, l’équation du demi-cercle bordant ce demi-disque est ^{f x}

( )

^{= R2−x2 .}

b. Par intégration de la fonction f, vérifier que l’aire A du demi-disque vaut 1 ²

2πR . On effectuera dans l’intégrale le changement de variable x = R.cost.

2) L’ordonnée du centre de gravité du demi-disque est donnée par la formule :

( )

^.

2

G

1 d

2

R

R

f x x

y A

= −

∫

. Ob- tenir ainsi une expression de y_G en fonction de R puis positionner approximativement le centre de gravité sur la figure proposée au-dessus.

Exercice 3 -

On se propose de rechercher l’aire et le volume d’un « ballon de rugby ». Pour construire cette forme, en trois dimensions, on définit d’abord une ellipse d’équation 4x²+9y² =36 dans un plan (xOy) – voir figure – puis on met cette ellipse en rotation autour de l’axe (Ox).

On remarque d’une part que sur cette ellipse ² 4 ²

4 9

y = − x , et

d’autre part que les sections de ce ballon de rugby orthogonales à l’axe (Ox) sont des cercles (un exemple en pointillés).

1) Déterminer par un calcul d’intégrale le volume intérieur de ce ballon de rugby.

2) déterminer par un calcul d’intégrale l’aire de ce ballon de rugby, en posant dans votre intégrale le changement de variable suivant : x = 3cost.

Exercice 4 -

On considère un cylindre droit à bases circulaires, de rayon R et de hauteur L, « couché », c’est à dire dont les bases sont dans des plans verticaux (voir figure).

Une base circulaire est munie d’un axe (Oy) vertical, dirigé vers le bas et dont l’origine est le centre du cercle. Le point le plus bas du cercle a ainsi une cote égale à R, et le point le plus haut une cote égale à –R.

A l’intérieur de ce cylindre se trouve une certaine quantité d’eau, dont la surface est reprérée par la cote h sur l’axe (Oy).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Expression du volume d’eau en fonction de h a. On envisage de partager ce volume d’eau en

sections rectangulaires horizontales, de cote y, de largeur 2r (voir figure, en pointillés), de lon- gueur L et d’épaisseur infinitésimale dy.

Ecrire le volume élémentaire dV d’une telle section, en fonction de L, R et y.

b. Une intégrale de ce volume élémentaire permettra d’exprimer le volume total d’eau. Montrer que cette intégrale peut s’écrire sous la forme .

2

1 2 d

R h

V C y y

=

∫

−R où C est un facteur constant à ex- pliciter.

c. En utilisant le changement de variable y = R.sin(u), calculer cette intégrale.

d. Vérifier que dans les cas particuliers h = -R, h = 0 et h = R, votre résultat précédent est cohérent.

2) Vitesse de montée du niveau de l’eau, à débit constant

a. En posant y = arcsin x et donc x = sin y, et en utilisant la notation différentielle de la dérivée, mon- trer que la dérivée d’arcsin x est

2

1

1−x . (1 point)

b. Dériver alors par rapport à x la fonction f d’expression ^{x 1−x2 +arcsin}

( )

^{x .}

c. Dériver enfin par rapport à h la fonction g d’expression arcsin

2

h 1 h h

−  +  . (on pourra aller

d. En déduire

dh , dérivée du volume V par rapport à h.

e. En remarquant que d .d d

d d d

V h V

h t = t =D, débit constant de remplissage, exprimer la vitesse de mon- tée du niveau de l’eau dans ce cylindre.

Exercice 5 -

On définit la fonction carré par f x: ֏x², dont la courbe représentative est une parabole.

L'objectif est d'exprimer la longueur ^{L a b}

( )

^, d'un arc de cette parabole, délimité par deux points A et B d'abscisses respectives a et b.

On admet qu'une telle longueur se calcule par :

( )

^{, b 1}

( ( ) )

^2.d

a

L a b =

∫

+ f′ x x., avec a < b.

1) Quelle est donc l'intégrale à calculer, dans le cas de la fonction carré ?

2) On envisage de résoudre ce calcul par un changement de variable. Pour cela, on introduit les fonctions ch, cosinus hyperbolique, et sh, sinus hyperbolique :

( )

^{e e ;}

( )

^{e e}

2 2

x x x x

ch x sh x

− −

+ −

= = .

Montrer que ^d

( ( ) ) _{( )}

d

sh x ch x

x = et que ^1+sh2

( )

^{x =ch2}

( )

^{x .}

3) Effectuer alors, dans l'intégrale, le changement de variable ^{2x=sh t}

( )

(pour exprimer les nouvelles bornes, on fera appel à la fonction réciproque du sinus hyperbolique, fonction dénommée argsh).

Sans aller jusqu'à l'obtention de l'expression ^{L a b}

( )

^, , donner tout de même une primitive de la fonc- tion ^{x֏ 1+}

(

^f′

( )

^x

)

² en utilisant la variable t.

4) Application numérique : quelle est la longueur de l'arc de parabole de la fonction carré entre x = 0 et x

= 1 ? On admettra que ^argsh

( )

^{0 =0 et argsh}

( )

^{2 ≈1,4436.}

Exercice 6 - Intégration par parties

Calculer les intégrales, ou déterminer les primitives demandées, à l’aide d’une intégration par parties.

a. ¹ .

0 e d^x

I=

∫

x x b. ^{F x}

( ) (

⁼

∫

^ax+b

)

^{e dx. x} c. ^{e 2}ln .

1 d

I=

∫

x x x d. ^{F x}

( )

⁼

∫

^{xsin cos .x x xd}

e. cos .

2 2 0

d

x x x

π

∫

f. I =

∫

₀^πx².sin .x x^d g. ^{F x}

( )

⁼

∫

^x5sin

( )

^{2x .dx}

Exercice 7 -

1) Montrer qu’une primitive de x est

3

2 2

3x .

2) Par intégration par parties, déterminer une primitive de ^ln

( )

^{x × x.}

3) Donner alors la valeur exacte de ^1ln

( )

^.

0

I =

∫

x × x xd . (pour arriver au résultat, on devra admettre que

( )

ln

3

x2 x tend vers 0 lorsque x tend vers 0).

Exercice 8 -

Le but de l'exercice est le calcul de l'intégrale ⁴cos .ln cos

( )

.

K=

∫

0^π

θ θ θ

d où ln désigne la fonction loga- rithme népérien.

1) On considère la fonction réelle f définie sur ]-1 ; +1[ par

( )

1 ² 2

f u u

= u

− . Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout u ∈ ]-1 ; +1[,

( )

1 1

b c

f u a

u u

= + +

+ − . 2) On pose, pour x ∈ ]-1 ; +1[, ^{F x}

( )

⁼

∫

₀^{x f u}

( )

^.du.

a. Déterminer ^{F x}

( )

^.

b. Exprimer sa dérivée ^{F x′}

( )

à l'aide de ^{f x}

( )

^.

3) On pose, pour ;

θ∈ −^ 2 2^{π π}, ^g

( )

^{θ =F}

(

^sinθ

)

. Déterminer ^g′

( )

^{θ .}

4) En déduire la valeur de l'intégrale sin cos .

2 4

J 0 θ θd

θ

=

∫

π ^.

5) A l'aide d'une intégration par parties et de la valeur de J, calculer l'intégrale K.

Exercice 9 -

On définit la fonction f sur ]0 +∞[ par : ^{f x}

( )

^lnx

= x .

1) Donner une primitive de cette fonction, soit directement, soit par intégration par parties, soit en posant le changement de variable u=lnx.

2) En déduire la valeur de ln .

1

d

a

a

x x

∫

x où a est un nombre réel strictement supérieur à 1.

3) Quelle est, en fonction de a, la valeur de l’aire comprise entre la courbe de la fonction f et l’axe des abscisses, pour x compris entre 1

a ^{et a ?}

Exercice 10 -

1) Par intégration par parties, déterminer une primitive de : t×sint^. 2) Calculer l’intégrale ^2sin

( )

^.

0

x dx

π

∫

en posant le changement de variable t= x (donc x=t^2).

Exercice 11 -

Déterminer les primitives de e ^x en commençant par appliquer le changement de variable t= x.

Exercice 12 -

1) Par intégration par parties, calculer . ln .

e

1 x x xd

∫

(écriture exacte du résultat).

2) a. Montrer que calculer . cos

1 d

b

a x

∫

x revient à calculer 1 ₂. 1 d

d

c t

−t

∫

, par le changement de variable

=

c. Calculer alors, en valeur exacte, . cos

4

0 dx

∫

x ^.

d. Pour conclure, donner une primitive de cos

1 x.

Exercice 13 -

On considère un miroir parabolique d'épaisseur faible, de masse surfacique ms = 6 kg.m^-2, dont la forme est une surface engendrée par la rotation autour d'un axe ∆ d'un morceau de parabole : celle d'équation y = x² pour x ∈ [-1 ; 1] (voir figures 1 et 2). On souhaite calculer le moment d'inertie I∆ de ce miroir par rapport à cet axe ∆. On précise que ce moment d'inertie se calcule par : .

miroir

I_∆ =

∫

x^2dm, où dm est la masse d'un élément de surface qui doit parcourir le miroir, avec dm = ms × dS (voir figure 2 : l'élément de surface est une bande circulaire grisée, de rayon x et de largeur dL) et où x est la distance séparant l'élément de surface de l'axe ∆.

1) Montrer que dL= dx²+dy² = 1+4x².d . x

2) Dans ces conditions, calculer

∫

m_s.dS, masse totale du miroir.

On pourra poser le changement de variable : u= 1+4x² 3) Montrer que I_∆ =

∫

πx + x . x

1

3 2

0

12 1 4 d .

4) Calculer alors I_∆ par intégration par parties où on posera u=x² et v′ =12x 1+4x² .

Exercice 14 -

On donne la fonction f de variable réelle x : ^{x֏ f x}

( ) (

^{= −x 1}

)

^sinx.

1) a. Déterminer une primitive de f.

b. Déterminer alors une écriture exacte de l’aire A de la zone située entre la courbe de cette fonction et l’axe des abscisses, pour x compris entre 0 et π.

2) a. Par simple calcul de quelques valeurs, représenter graphiquement la fonction f sur [0 ; π].

b. Repérer grossièrement la valeur a dans ]0 ; π[ telle que

∫

₀^a

(

^x−1

)

^{sinx x.d =0}, expliquer.

c. Traduire la condition

∫

₀^a

(

^x−1

)

^{sinx x.d =0} en une équation que a doit vérifier.

d. Justifier que 2

π est une solution évidente de cette équation ; combien de solutions admet-elle sur l’intervalle ]0 ; π[ ?

Exercice 15 -

Un volume gazeux s’est dégagé dans l’atmosphère et sa forme est schémati- sée ci-contre. La courbe en gras a pour équation 20e¹⁰⁰

z

x= (x, dimension hori- zontale, et z , altitude, sont comptées en mètres). La révolution de cette courbe autour de l’axe (Oz) délimite notre volume de gaz, pour z compris entre 50 et 300 m.

Notre objectif est ici de calculer la masse totale de gaz, sachant que sa masse volumique mv est fonction de l’altitude de la façon suivante : mv = 1 – z/1000 (en kg/m³).

Il sera donc utile de considérer le volume de gaz comme un empilement de tranches circulaires horizon- tales d’épaisseur infinitésimale (en pointillés) dans chacune desquelles la masse volumique est cons- tante. La masse dm d’une tranche est le produit de mv par son volume dV.

Une fois obtenue l’écriture exacte de la masse totale de gaz, on en donnera une estimation en attri- buant au produit πe la valeur 9 et à (3e⁵ – 4) la valeur 450.

Exercice 16 -

On souhaite calculer sin .

0

e d^x

I x x

π

=

∫

× ^.

1) a. Après deux intégrations par parties successives, donner l'égalité vérifiée par l'intégrale I.

b. En déduire la valeur de I, ainsi qu'une primitive de la fonction x֏sinx×e^x.

2) a. D'après ce qu'indique la première intégration par parties réalisée en question 1, justifier que

sin . cos .

0 0

e d^x e d^x

x x x x

π π

× = − ×

∫ ∫

^.

b. On donne ci-contre les

représentations graphiques des fonctions x֏sinx×e^x et

cos e^x

x֏ x× sur l'intervalle [0 ; π].

Expliquer graphiquement à quoi on peut voir approximativement que les deux intégrales citées en question 2)a. sont effectivement opposées.

Exercice 17 -

Objectifs : déterminer, en fonction d’un paramètre n entier naturel, la valeur moyenne de la fonction ln

֏ ⁿ

x x x sur l’intervalle  ; ⁺ 

 

 

1

1 eⁿ 1 , puis la limite de cette valeur moyenne lorsque n tend vers +∞. 1) Transformer l’intégrale nécessaire au calcul de cette valeur moyenne en utilisant le changement de

variable t = lnx.

a. Etablir un développement limité de la fonction x֏e^x à l’ordre 2 en zéro.

b. Notons 1 x 1

=n

+ . Que devient l’écriture de ce développement limité ?

c. Lorsque n est très grand, x est très faible et le reste du développement limité est négligeable de- vant ses autres termes. Utiliser cette constatation pour conclure sur la valeur moyenne obtenue en question 3.