Chapitre 10 – TD 1 Analyse continue 5
Techniques d’intégration
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• effectuer une intégration par parties pour calculer une intégrale.
10.1 Calculer chacune des intégrales suivantes : 1.
Z 0
−1(x+ 1)e−xdx 2.
Z e
1
xlnxdx 3. Z
π 2
0
tcostdt
4.
Z 2
0 (−2x+ 1)exdx 5.
Z e
1
x2lnxdx 6. Z 1
0 arcsinxdx
7.
Z 1
0 arccosxdx 8.
Z t
0
arctanxdx
10.2 Soitf la fonction définie sur [1;e] parf(x) =x2lnx.
Le plan P est muni d’un repère orthogonal (O;~i,~j) (unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).
La courbe représentative de la fonction f est notéeC.
1. a. Calculer f′(x) où f′ désigne la fonction dérivée de f.
b. Etudier le signe de f′ et dresser le tableau de variation de f. c. Tracer la courbeC.
Marquer le point Ade C d’abscisse 1, puis le point B de coordonnées (e,0).
2. a. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I = Z e
1
f(x)dx.
b. En déduire la valeur moyenne µde f sur l’intervalle [1;e].
c. Donner une valeur approchée de µà 10−2 près.
10.3 Soient les trois intégrales I =
Z 1 0
√ dx
x2+ 2 ; J = Z 1
0
x2dx
√x2+ 2 ; K= Z 1
0
px2+ 2dx 1. Calcul de l’intégrale I.
a. Soit f la fonction définie sur [0; 1] parf(x) = ln(x+√
x2+ 2).
Calculer la dérivée def. b. Calculer I.
2. Calcul des intégrales J etK.
a. Montrer queK = 2I +J.
b. A l’aide d’une intégration par partie surK montrer que K=√ 3−J. c. En déduire les valeurs de J etK.
10.4 On souhaite calculer l’intégrale I = Z 6
5
e−xsinxdx.
1. En effectuant une intégration par parties, prouver queI =h−e−xsinxi6
5+ Z 6
5
e−xcosxdx.
2. Gràce à une seconde intégration par parties, prouver que 2I =h−e−x(cosx+ sinx)i6
5. 3. En déduire la valeur de I à 10−3.
10.5 En effectuant plusieurs intégrations par parties successives, calculer :
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1.
Z π
0
cosxe3xdx. 2. Z 1
0 (t2+ 1)e3tdt.
10.6 SoitIn=R01xnexdx pour n∈N.
1. Calculer I0 =R01exdx etI1 =R01xexdx.
2. A l’aide d’une intégration par parties, établir la relation In=e−nIn−1 (on dériveraxn).
3. Vérifier le calcul de I1 avec l’aide de la relation obtenue et du calcul deI0. 4. Calculer, toujours à l’aide de la relation de récurence les valeurs deI2 etI3.
10.7 On pose pour tout entier naturel n:
In= Z e
1 x(ln(x))ndx 1. Calculer I0 et I1.
2. A l’aide d’une intégration par parties, établir la relation
In= 1 2
e2−nIn−1
.
3. En déduire les valeurs exactes de I2 et I3.
10.8 Intégrale de Wallis.
On considère la suite des intégrales In=R
π 2
0 sinnxdx, où n∈N.
1. Calculer I0,I1 etI2.
2. A l’aide d’une intégration par parties, montrer quen×In= (n−1)In−2. (On écrira sinnx sous la forme sinn−1x×sinx).
3. En déduire les valeurs de I3,I4,· · ·,I7. 4. On peut montrer que sinest pair,In= n!
2n(n2!)2 π
2 et sinest impairIn= 2n−1(n−12 !)2 n! (où n! = 1×2×3× · · · ×n).
Vérifier les valeurs obtenues pourI6 etI7.
Chapitre 10 – TD 2 Analyse continue 5
Techniques d’intégration
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• effectuer un changement de variable pour calculer une intégrale.
10.9 Calculer les intégrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqué : 1. Z 5
0
3
(5t+ 2)2dt(faire le changement u= 5t+ 2).
2. Z 4
3
t+ 1
(t−2)2dt(faire le changement x=t−2).
3.
Z 4 3
x+ 1
(x+ 2)2dx (faire le changementu=x+ 2).
4.
Z 2 0
xdx
x4+ 1 (faire le changementu=x2).
5.
Z 0
−1
x2p1−x3dx (faire le changement u= 1−x3).
10.10 Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~u, ~v). L’unité graphique est 5cm.
Un arc Γ a pour équation y= 1−√
1−x2 pourx appartenant à l’intervalle [0; 1].
On considère la droite (D) passant par le point M
√3
2 ;12et parallèle à l’axe (0;→v) 1. En effectuant le changement de variable
défini par x = sint, calculer l’intégrale I =R
√3 2
0
√1−x2dx
2. Calculer, en cm2, l’aire de la portion de plan limitée par la courbe Γ et la droite (D) pourx∈
h0;√23i.
10.11 On poseI = Z π2
0
sinx
sinx+ cosxdx etJ = Z π2
0
cosx
sinx+ cosxdx.
1. Effectuer le changement de variable x= π2 −u dans l’intégrale I et vérifier queI =J.
2. Calculer I+J en en déduire la valeur de I puis celle deJ.
10.12 On donne la fonction f définie surR parf(x) =e−xln(1 +ex).
1. a. Calculer les nombres réels A et B tels que pour tout réel t strictement positif : 1
t(t+ 1) = A t + B
t+ 1. b. Calculer l’intégrale I =
Z e
1
1 t(t+ 1)dt.
2. Soit J = Z 1
0
f(x)dx.
a. En utilisant le changement de variable t=ex, montrer que J = Z e
1
ln(1 +t) t2 dt.
b. Calculer alors J en utilisant une intégration par parties et le résultat de la question 1.b).
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Chapitre 10 – TD 2 Analyse continue 5
Techniques d’intégration
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• décomposer une fraction en élements simples puis intégrer chacun des éléments.
10.13 Effectuer la division de chacun des polynômes suivants puis donner le résultat sous la formeE(x) +R(x)
Q(x) où E,R etQ sont des polynômes et degR < degQ.
1. x3+ 2x2+ 3x+ 9 x+ 2 . 2. x4+ 4x2+ 11x+ 9 x2+ 3x+ 6 .
3. 2x2+ 1 x2+ 1. 4. −x5+ 1 1−x .
10.14 On se propose de calculer l’intégrale J = Z 1
0
2x2+x+ 1 x+ 3 dx.
1. Déterminer, en effectuant une division de polynôme, trois constantes réellesa,betctelles que, pour toutx de [0; 1], on ait
2x2+x+ 1
x+ 3 =ax+b+ c x+ 3. 2. En déduire la valeur exacte deJ.
10.15 Donner la valeur de α, β etγ dans chacun des cas suivants :
1. 2t+ 3
(t−4)(t+ 1) = α
t−4 + β t+ 1.
2. 1
t(t+ 1)(t+ 2) = α t + β
t+ 1 + γ t+ 2.
3. 2t+ 5
(t−3)t2 = α t−3+β
t + γ t2. 4. t2+ 1
(t+ 1)2t = α
t+ 1+ β
(t+ 1)2 +γ t.
10.16 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1,+∞[ par f(x) = 2 x(x2−1). 1. Déterminera,b etctels que, pour toutx∈]1,+∞[, on ait f(x) = a
x + b
x−1 + c x+ 1 2. En déduire la valeur de l’intégrale I =
Z 3 2
f(x)dx
10.17 On se propose de calculer l’intégrale I = Z 1
0
3t−14 t2−t−6dt.
1. Factoriser t2−t−6.
2. Déterminer deux constantes aetbtelles que pour tout t∈[0; 1], on ait 3t−14
t2−t−6 = a
t+ 2 + b t−3.
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3. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.
10.18 On considère la fonction f définie par
f(x) = x3+x2−8x−9 x2−x−6 1. Ecrire f(x) sous la forme E(x) + R(x)
Q(x) où E(x), R(x) et Q(x) sont trois polynômes tels que deg R < degQ.
2. Factoriser le trinôme du second degréQ(x).
3. Décomposer 3
(x−3)(x+ 2) en élément simple.
4. En déduire la valeur exacte de Z 1
0
f(x)dx.
10.19 On considère la fonction f définie par
f(x) =5x5−12x4−37x3+ 16x2+ 12x+ 18 x3−3x2−6x+ 8 . 1. Ecrire f(x) sous la forme E(x) + R(x)
Q(x) où E(x), R(x) et Q(x) sont trois polynômes tels que deg R < degQ.
2. Calculer Q(1). En déduire une factorisation deQ(x) en un produit de polynôme de degré le plus faible degré possible.
3. Décomposer R(x)
Q(x) en élément simple.
4. En déduire la valeur exacte de Z 2
0
f(x)dx.
10.20 Décomposer en éléments simples chacune des expressions suivantes : 1. t−2
t(t−1). 2. t−2
t2(t−1).
3. 2
(1 +t)(1 +t2).
4. 1
(t+ 1)(t+ 2)2(t2+t+ 1). 5. 2t+ 1
t2+ 2t−8. 6. 3t+ 2
t2+t+ 2.
10.21 On se propose de calculer l’intégrale K= Z 1
0
t
t2+ 4t+ 8dt.
1. Résoudre dans Rl’équation t2+ 4t+ 8 = 0.
2. Déterminer la dérivéeu′ de la fonction u(t) =t2+ 4t+ 8 puis déterminer deux constantes réellesa etbtelles que pour tout tde [0; 1], on ait
t
t2+ 4t+ 8 =au′(t) u(t) +b 1
u(t). 3. Calculer la valeur exacte de K1 =1
2 Z 1
0
2t+ 4 t2+ 4t+ 8dt.
4. En effectuant le changement de variable x = 2t + 1, calculer la valeur exacte de K2 = Z 1
0
−2 t2+ 4t+ 8dt.
5. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de K.
10.22 En décomposant chaque fraction sous la formeau′(t) u(t) +b 1
u(t) et en utilisant le change- ment de variable indiqué, calculer
1.
Z 1
0
4x+ 2
x2+ 6x+ 10 (changement de variable t=x+ 3).
2.
Z 1
0
2x
x2−2x+ 5 (changement de variable t= x−21).
3.
Z 1
0
3x+ 6
x2+ 10x+ 34 (changement de variablet= x+53 ).
10.23 On considère la fonction f définie par
f(x) = 2x4+ 5x3−9x2−47x−49 x3+x2−7x−15 . 1. Ecrite f(x) sous la forme E(x) + R(x)
Q(x) où E(x), R(x) et Q(x) sont trois polynômes tels que deg R < degQ.
2. Calculer Q(3). En déduire une factorisation deQ(x) en un produit de polynôme de degré le plus faible degré possible.
3. Décomposer R(x)
Q(x) en élément simple.
4. En déduire la valeur exacte de Z 1
0
f(x)dx. On procédera au moment opportun au change- ment de variable t=x+ 2.
10.24 Calculer les intégrales suivantes après avoir exprimé chacune des fonctions à intégrer sous la forme indiquée.(a,b etcsont des réels à déterminer.)
1.
Z 1
0
x2−1
2x+ 1dx (sous la formeax+b+2xc+1).
2.
Z 1
0
x2−x+ 1 x−3 dx 3.
Z 0
−1
x
x2−3x+ 2dx 4.
Z 3 2
1 x2(1 +x)dx 5.
Z 3 2
2−t2
1−t2dt(sous la formea+1−bt+1+ct).
6.
Z 1 0
x
(2x+ 5)2dx (sous la forme 2xa+5 +(2x+5)b 2).
7.
Z √3
1
x2−1
x(x2+ 1)dx (sous la forme ax+xbx2+c
+1).
