Lycée Louis Barthou BCPST 1 2019-2020
Feuille d’exercices 13 : équations différentielles et primitive changement de variable.
Exercice 1
Déterminer les primitives suivantes à l’aide du changement de variable précisé.
a) Z p
1−x2 dxavecx= sint.
b)
Z (lnt)2
t dt avecu= lnt.
c)
Z 1−√ t
t dt avecu=√ t.
d)
Z ex
1 +ex dxavecu=ex. e) Pour n∈N∗,
Z (lnx)n
x dxaveculnx.
f) Z
cos √ x
dxavecu=√
x(avec IPP)
Exercice 2
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y0+y= 0 b) y0−2y= 5 c) 2y0+ 3y= 7
Exercice 3
Déterminer l’unique solution de l’équation différentielley0+ 4y= 3 vérifianty(0) = 2.
Exercice 4
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y00+ 6y0+ 9y= 0 b) y00+y0−2y= 3 c) y00+ 4y0+ 5y= 1 d) y00−y0= 3
Exercice 5
Résoudre l’équation différentielle avec conditions initiales :
y00+ 8y0+ 15y= 2 y(0) = 1
y0(0) = 4
Exercice 6
Résoudre l’équation différentielley00−y0+y=x2+ 1.
On recherchera une solution particulière sous la forme d’une fonction polynomiale.
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Exercice 7
Circuit RL
Un circuit électrique est composé en série d’une bobine d’inductanceLet d’une résistance Ralimentées par un générateur de force électromotriceV. En notanti(t)l’intensité du courant à l’instantt,i vérifie l’équation différentielle suivante :
di dt+R
L i=V L. 1) Sachant quei(0) = 0, calculeri(t)pour toutt≥0.
2) Représenter le graphe dei.
Exercice 8
Circuit LC
Un circuit électrique est composé en série d’un condensateur de capacitéCet d’une bobine d’inductanceLalimentés par un générateur de force électromotriceV. En notantq(t)la charge du condensateur à l’instantt,qvérifie l’équation différentielle suivante :
d2q dt2 + 1
LCq= V L. 1) Sachant queq(0) = 0 et dq
dt(0) = 0, déterminerq(t)pour toutt≥0.
2) Représenter le graphe deq.
Exercice 9
Solution générale de l’équation homogène.
On considère l’équation différentielle :(E0) : y0−3y= 0. Oùyest une fonction définie surR. 1. On considère la fonctionmdéfinie surRparm(t) =e3t. Montrer quemest solution dey0−3y= 0
2. SoitC∈R, montrer que la fonction hdéfinie surRparh(t) =Ce3t. Montrer quehest solution de l’équationE0 . 3. On suppose maintenant quef est une fonction définie surRsolution deE0 . On définie la fonctiongsurRpar :
∀t∈R, g(t) =e−3tf(t) (a) Déterminer l’expression deg0(t).
(b) En déduire queg est constante. On noteraK∈Rcette constante.
(c) En déduire que∀t∈R, f(t) =Ke3t
Exercice 10
.
On considère l’équation différentielle :(E0) : y00+ 2y0−3y= 0 Oùy est une fonction définie surR.
1. On considère la fonctionmdéfinie surRparm(t) =Aet+Be−3tavec(A, B)∈R2. Montrer quemest solution deE0.
2. On suppose maintenant queuest une fonction définie surRsolution deE0 . On définie la fonctionv surRpar :
∀t∈R, v(t) =e−tu(t) (a) Déterminerv0.
(b) Montrer que v0 est solution de l’équation différentielle : y0+ 4y= 0
(c) On sait que les solutions dey0+ 4y= 0 sont de la formet7→Ce−4tavec C∈R. Montrer quev est de la forme t7→Ae−4t+B avec(A, B)∈R2.
(d) En déduire l’expression de u.
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