Td corrigé 5 Diagramme de Bode d'un circuit RC - IUTenligne pdf

Ce document est une compilation des exercices posés en devoirs surveillés d’électricité au département Génie Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT de Nantes. Ces devoirs se sont déroulés généralement sans documents, sans calculette et sans téléphone portable…

Les devoirs d’une durée de 80 min sont notés sur 20 points. Donc chaque point proposé au barème correspond approximativement à une activité de 4 min.

Ces exercices correspondent au chapitre 8 de ressource Baselecpro sur le site IUTenligne.

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C’est souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce qu’ils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir)

Personnellement, je me refuse à manipuler le barème d’un devoir lors de la correction dans le but d’obtenir une moyenne présentable. (ni trop ni trop peu…)

La moyenne d’un devoir doit refléter l’adéquation entre les objectifs de l’enseignant et les résultats des étudiants.

Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de l’utilisateur. Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97.

Nos étudiants disposent d’une masse considérable d’informations sur internet. Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance. Ils leur apprennent notamment à citer les sources…

Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes – France 11/01/2016

ExercicElecPro Ressource ExercicElecPro proposée sur le site Internet

Copyright : droits et obligations des utilisateurs

L’auteur ne renonce pas à sa qualité d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de la publication de son document.

Les utilisateurs sont autorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de ce document notamment dans les activités d'enseignement, de formation ou de loisirs. Toute ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - en tout état de cause, une copie ne peut pas être facturée à un montant supérieur à celui de son support.

Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de façon lisible le nom de l’auteur Michel Piou et la référence au site Internet IUT en ligne. La diffusion de toute ou partie de cette ressource sur un site internet autre que le site IUT en ligne est interdite.

Une version de Baselecpro est disponible sous forme d’un livre aux éditions Ellipses dans la collection Technosup sous le titre

ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE – Les lois de l’électricité

1 Reconnaissance des diagrammes de Bode canoniques du 1^er ordre...1

2 Filtre décrit par un diagramme de Bode (3,5 pts)...3

3 Filtre décrit par un diagramme de Bode (3 pts)...5

4 Lecture du diagramme de Bode d’un réseau linéaire RLC. (3,5 pts)...8

5 Diagramme de Bode d’un circuit RC (3 pts)...12

6 Diagramme de Bode d’un circuit RL (5 pts)...14

7 Diagramme de Bode d’un circuit RL (Variante) (3 pts)...14

7 Diagramme de Bode d’un circuit RL (Variante) (3 pts)...15

8 Etablissement du diagramme de Bode d’un produit de fonctions élémentaires (5 pts)...16

9 Etablissement du diagramme de Bode d’un produit de fonctions élémentaires (3 pts)...17

10 Diagramme de Bode d’un intégrateur en régime sinusoïdal (8 pts)...19

11 Diagramme de Bode de la réponse d’un capteur (11 pts)...22

12 Diagramme de Bode d’une mesure à l’oscilloscope (7 pts)...27

13 La fonction AC/DC d’un oscilloscope...30

14 Montages à AOP en régime alternatif sinusoïdal (5 pts)...34

15 Filtre à AOP en régime alternatif sinusoïdal...36

1 Reconnaissance des diagrammes de Bode canoniques du 1

^er

ordre

Les figures ci-dessous représentent les allures des diagrammes de Bode (module et argument) associés à différentes expressions complexes de référence. (o est une constante)

ExercicElecPro

Compléter le tableau en faisant correspondre les numéros des diagrammes ci-dessus avec les expressions complexes ci-dessous

module argument module argument

o j



 .

o j



 1 .

1



o j



 . 1

o o

o o

j j

j j



 











1 . . 1 . 1 .

.





 o

j



 1 .

Corrigé :

½ pt par réponse correcte

module argument module argument

o j



 .

3 10

o j



 1 .

1

 4 7

o j



 . 1

2 12

o o

o o

j j

j j



 











1 . . 1 . 1 .

.





 5 9

o j





1 . 6 11

2 Filtre décrit par un diagramme de Bode (3,5 pts)

soit un filtre, constitué d’un réseau électrique linéaire, dont le comportement fréquentiel est décrit dans le plan de Bode par la fonction de transfert de ^{( )}

ve vs  ci-après.

Pourquoi peut-on appliquer le théorème de superposition à ce filtre?

A la pulsation ^{10rad/ s} : avec ve(t)Ve_max.cos



10t.



et vs(t)Vs_max.cos



10t. 



Déterminer la valeur

max max

Ve

Vs à partir de la lecture graphique de

Ve dB

Vs

Dans le cas où ve(t)1.cos10.t , déterminer l’expression numérique de ^vs(t). Dans le cas où ^{ve(t)1.cos}



^105.t



, déterminer l’expression numérique de ^vs(t).

Dans le cas où ^{ve(t)1.cos}^10.t ^1.cos



^105.t



, déterminer l’expression numérique de ^vs(t).

ExercicElecPro Réseau

linéaire

ve vs

101 102 103 104 105 106

0 0.5 1 1.5 2

en rad

101 102 103 104 105 106

-20 -10 0 10 20 30 40 50

Ve dB

Vs

pulsation

Corrigé :

a) Le théorème de superposition s’applique aux réseaux linéaires, ce qui est le cas ici. (0,5 pt)

b) ^{10rad/ s} : ^20dB

Ve log Vs . 20

max 10 max 









 ₁

max max max

10 max 10

Ve 1 Vs Ve

log Vs    ^









  (0,5 pt)

c) ^{10 rad/ s} : ^Ve_max ^1Vs_max ^0.1(0,5 pt). Déphasage de ^vs(t) par rapport à ^ve(t) : 0 rad.

10.t

cos . 1 . 0 ) t (

vs 

 (0,5 pt)

d) ^{ 105 rad/s} : ^20.log _Ve^{Vs 20dB}

max 10 max 









 ^{max 1}

max max max

10 max 10

1 Vs Ve

1 Vs Ve

log Vs    









  . ^Vs_max ^10.

Déphasage de ^vs(t) par rapport à ^ve(t) : 



 

  rad rad 2

57 .

1 

. ^{vs (t)10.cos}



^{105.t 1.57}



(1 pt) e) En appliquant le théorème de superposition, on en déduit :

^10.t ^10.cos



^{10 .t 1.57}



cos . 1 . 0 ) t ( vs ) t ( vs ) t (

vs  ₁  ₂   ⁵  (0,5 pt)

) t ( ve₁

) t ( ve₂

Réseau linéaire

ve vs

 

10t.

cos . 1 ) t (

ve₁  ^ve2^(t)^1.cos

 

^105t.

) t (

ve₁ Réseau

linéaire ve₂(t)

Réseau linéaire )

t (

vs₁ vs₂(t)

3 Filtre décrit par un diagramme de Bode (3 pts)

soit un filtre linéaire dont le comportement fréquentiel est décrit dans le plan de Bode par la fonction de transfert _Ve^Vs() suivante:

Sachant que la tension en entrée du filtre est

 





 



 



0,01.cos 10000t. 0,01.cos 1000t. 2 )

t (

ve 

, en déduire l’expression de ^vs(t).

ExercicElecPro

101 102 103 104 105 106

0 10 20 30 40 50

Vedb

Vs

en rad/s

101 102 103 104 105 106

0 0.5 1

1.5 en rad

en rad/s Filtre

linéaire

ve vs

Corrigé :

La tension ^ve(t) est la somme de deux fonctions alternatives sinusoïdales de fréquences différentes: ^ve₁^(t) et ^ve₂^(t) :

 





 





 

 

 



 



) t ( ) ve

t ( ve

110000t. 0,01.cos 10002 t. 2 cos

. 01 , 0 ) t (

ve 



 



 



 

Le théorème de superposition s’applique aux réseaux linéaires, ce qui est le cas ici :

  ^{10000 rad/s}^{104 rad /s} : Pour cette pulsation, on peut voir sur le diagramme :

dB Ve 40

log Vs . 20

max max 10 1

1 









 2

1 1 1

1 10

Ve 2 Vs Ve

log Vs

max max max

max

10   









 

V 1 01 , 0 . 100 Ve

. 10

Vs max 2 1max

1   



Déphasage de ^vs₁^(t) par rapport à ^ve₁^(t) : 1.1rad . ^vs₁^(t)1.cos



^{10000t. 1.1}



 ^{ 1000rad/s103 rad/s} : Pour cette pulsation, on peut voir sur le diagramme : dB

Ve 20 log Vs . 20

max 10 max

2

2 









 1

2 2 2

2 10

Ve 1 Vs Ve

log Vs

max max max

10 max   









 

V 1 , 0 01 , 0 . 10 Ve

. 10

Vs2max  2max  



Déphasage de ^vs₂^(t) par rapport à ^ve₂^(t) : 1.4rad . ^



 



  



 1.4

t. 2 1000 cos . 1 , 0 ) t (

vs₂ 



^{1000t. 0,17}



cos . 1 , 0 ) t (

vs₂  



 En appliquant le théorème de superposition, on en déduit : )

t ( ) ve t ( ve₁

) t ( ve₂

Réseau

linéaire vs ve₁(t) Réseau

linéaire ve₂(t)

Réseau linéaire )

t (

vs₁ vs₂(t)

VARIANTE 2015 (4 pts) :

a) Pourquoi peut-on appliquer le théorème de superposition à ce filtre?

b) Sachant que la tension en entrée du filtre est ve₁(t)0,01.cos



10000t.



, en déduire l’expression de la tension de sortie du filtre ^vs₁^(t) dans ce cas.

c) Sachant que la tension en entrée du filtre est 



 



 

0,01.cos 1000t. 2 )

t (

ve₂ 

, en déduire l’expression de la tension de sortie du filtre ^vs₂^(t) dans ce cas.

d) Sachant que la tension en entrée du filtre est

 





 



 



0,01.cos10000t. 0,01.cos 1000t. 2 )

t (

ve 

, en déduire l’expression de ^vs(t).

Corrigé :

a) Le théorème de superposition s’applique aux réseaux linéaires, ce qui est le cas ici. (0,5 pt) b) ^{ 10000rad/s104 rad /s} : Pour cette pulsation, on peut voir sur le diagramme :

dB Ve 40

log Vs . 20

max max 10 1

1 









 2

1 1 1

1 10

Ve 2 Vs Ve

log Vs

max max max

max

10   









 

V 1 01 , 0 . 100 Ve

. 10

Vs max 2 1max

1   



Déphasage de ^vs₁^(t) par rapport à ^ve₁^(t) : 1.1rad . ^vs₁^(t)1.cos



^{10000t. 1.1}



(1,5 pt) c)  ^1000rad/s^{103 rad/s} : Pour cette pulsation, on peut voir sur le diagramme :

dB Ve 20

log Vs . 20

2max 2max 10 









 ₁

2max 2max 2max

2max

10 10

Ve 1 Vs Ve

log Vs   









 

V 1 , 0 01 , 0 . 10 Ve

. 10

Vs2max  2max  



Déphasage de ^vs₂^(t) par rapport à ^ve₂^(t) : 1.4rad . ^



 



  



 1.4

t. 2 1000 cos . 1 , 0 ) t (

vs₂ 



^{1000t. 0,17}



cos . 1 , 0 ) t (

vs₂  

 (1,5 pt)

d) La tension ^ve(t) est la somme de deux fonctions alternatives sinusoïdales de fréquences différentes:

) t (

ve₁ et ve₂(t) :

 





 





 

 

 



 



) t ( ) ve

t ( ve

110000t. 0,01.cos 10002 t. 2 cos

. 01 , 0 ) t (

ve 



 



 



 

Le théorème de superposition s’applique aux réseaux linéaires, ce qui est le cas ici :



10000t. 1.1



0,1.cos



1000t. 0,17



cos . 1 ) t ( vs ) t ( vs ) t (

vs  ₁  ₂     (0,5 pt)

ExercicElecPro )

t ( ) ve t ( ve₁

) t ( ve₂

Réseau

linéaire vs ve₁(t) Réseau

linéaire ve₂(t)

Réseau linéaire )

t (

vs₁ vs₂(t)

4 Lecture du diagramme de Bode d’un réseau linéaire RLC. (3,5 pts)

a) Dans le montage ci-contre, v1 est une source de tension alternative sinusoïdale : v₁(t)Vˆ₁.cos



t.



Exprimer le complexe VS en fonction de V1, R, L, C et .

b) Les composants ont les valeurs suivantes : R = 1 , L = 10 mH et C = 100 F.

Pour ces valeurs, le diagramme de Bode de

1 S

V

V est donné ci-après

(Il n’est pas demandé de justifier ce diagramme de Bode, mais simplement de savoir le lire)

L’expression de la source de tension alternative sinusoïdale est : ^v1^(t)^Vˆ1^.cos

 

^102.t

Déterminer l’expression de vS(t) en fonction de Vˆ₁.

c) On ajoute au montage précédent une source de tension de valeur ^v2^(t)^Vˆ2^.cos



^104t.



.

En utilisant le diagramme de Bode précédent, déterminer l’expression de vS(t) en régime permanent en fonction de Vˆ₁ et Vˆ₂.

101 102 103 104 105

-80 -60 -40 -20 0 20

 en rad/s













1 S 10 V log V . 20

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

-4 -3 -2 -1 0

en rad

 en rad/s C

L

v_s R

v₁

V1 (t)

v2 (t)

C L

vs

R

Corrigé :

a) On peut appliquer la formule du pont diviseur de tension :







 





jRC LC

1

1 1

LC j jRC

1 jC

jL 1 R

jC 1 V

V

2 2

1 2 S



 



 







b) A 100 rad/s :

V 1 dB V V 0

log V . 20

max max max

max

1 s e

10 s   









 et



^{V ,V}



⁰

V

arg V _{1 s}

1

s  









 , donc ^vs₁^(t)^Vˆ1^.cos

 

^102t. . (1 pt)

c) A^{104 rad/s} :

2 2

s 2

10 s 10

V dB V V 40

log V . 20

max max max

max    









 et



^{V ,V}



^3,14rad

V

arg V _{2 s}

2

s   









 , donc ^vs₂^(t)^Vˆ2^.102.cos



^104t. ^3,14



. (1 pt) on applique le théorème de superposition et on en déduit :



_{ }



_{}



_{}





 

 v (t)

4 2 2

) t ( v 1 2

s2 s1

14 , 3 t.

10 cos . 10 Vˆ t.

10 cos . Vˆ ) t (

vs   ^ 

(1 pt)

ExercicElecPro

Variante 2007

Soit un réseau électrique linéaire dont le diagramme de Bode de

e S

V

V est donné ci- après

a) Si ^ve(^t)^ve₁(^t)10.cos



10².^t



, déterminer l’expression ^vs₁^(t) de la tension ^vs^(t). b) Si ^ve(^t)^ve₂(^t)5.cos



10⁴.^t



, déterminer l’expression ^vs₂^(t) de la tension ^vs^(t).

c) Si _



_



_



_



) 2(

4 )

1(

3( ) 10.cos102. 5.cos10 . )

(

e t v e t

v e

e t v t t t

v   

, déterminer l’expression ^vs₃^(t) de la tension ^vs^(t). Justifier la méthode utilisée en citant la loi de l’électricité mise en œuvre.

réseau linéaire

v_e vs

101 102 103 104 105

-80 -60 -40 -20 0 20

 en rad/s













1 S 10 V log V . 20

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

-4 -3 -2 -1 0

en rad

 en rad/s

Corrigé : a) A 100 rad/s :

1 0

log . 20

max max max

10 max   











e s e

s

V dB V V

V et



^,



⁰

arg  











s e e

s V V

V

V , donc ^vs₁(^t)10.cos



10².^t



. (1 pt)

b) A^{104 rad/s} :

2 max

max max

10 max 40 10

log .

20    ^











e s e

s

V dB V V

V et



^{V V}



^rad

V V

s e e

s , 3,14

arg  









 , donc ^vs₂^{(t)5.102.cos}



^{104.t 3,14}



. (1 pt)

c) Si _



_



_



_



) 2 (

4 )

1(

3( ) 10.cos102. 5.cos10 . )

(

e t v e t

v e

e t v t t t

v   

, on applique le théorème de superposition et on en déduit :



_



_{}



_{}





 2( )

4 2

) 1(

2

3( ) 10.cos10 . 5.10 .cos10 . 3,14 )

(

s t v s t

v

s t t t

v t

vs    ^ 

(1 pts)

ExercicElecPro

5 Diagramme de Bode d’un circuit RC (3 pts)

Soit le montage ci-contre avec ^e(t)  ^Eˆ.cos(^.t). a) Exprimer le complexe

E V_c

sous la forme

o

j  .  1

1

 .

(Préciser la valeur de o).

b) Représenter ci-contre (sans justification) le diagramme asymptotique de Bode (module et phase) du complexe

o

j  .  1

1

 . Préciser la pente en dB/dec sur le graphe du module et graduer l’axe des

arguments.

(o est déjà positionnée sur le diagramme) v_C

C R

e v_R i

0

ou

0

en rad

 en échelle  en échelle _

_ - 20 dB

+ 20 dB

Corrigé :

En utilisant la formule du pont diviseur de tension en complexe :

1 jRC

1 jC

jC . R 1

jC jC .

1

jC R 1

jC 1 E

V_c

 



 



 



 









 

 

 





o c

j 1

1 jRC

1 1 E

V



 ^ _ 

 

 avec

RC o  1



ExercicElecPro 0

ou

0

en rad

 en échelle  en échelle _

- 20 dB/dec

2



 _

- 20 dB

6 Diagramme de Bode d’un circuit RL (5 pts).

Soit le montage ci-contre avec ^{i(t) I}_max^.cos

 

^t. . Exprimer le complexe

I V_s

puis mettre ce rapport sous la forme _



 



 



o

s j.

1 . I k V



 . Préciser la valeur des constantes k et o

Représenter le diagramme asymptotique de Bode (module et phase) de

I V_s

.

Sachant que ^{R 100} et ^{L1 H} , préciser les valeurs remarquables sur les axes.

Préciser la pente en dB sur le graphe du module.

Corrigé : le complexe

I V_s

est égal à l’impédance du dipôle R-L

 

 

_



 



 





































RL o

s s j.

1 . k L R . 1 j . R .

. j 1 . R jL I R

I V . jL R

V 



 



 avec : ^{k R} et

L

o  R



s / rad L 100

o  R 

 et pour  ^{0: 20.log}10



^R  ^j.L.



^20.log10

 

^R ^20.log10



¹⁰⁰



^{40 dB}

o j

1 

  est une forme « canonique », c'est-à-dire une forme typique dont le diagramme de Bode fait parti des classiques qui doivent être connus. (voir le chapitre 8 de Baselecpro sur le site IUTenligne)

4340 50 60 70 80

 en échelle en dB

0 0.5 1 1.5

en rad

 en échelle + 20 dB/dec

L R i

vs

1 pt 1 pt

Graphe : 1 pt

Graphe : 1 pt 0,5 pt

0,5 pt

7 Diagramme de Bode d’un circuit RL (Variante) (3 pts).

Soit le montage ci-contre avec ^i(t)I_max^.cos

 

^t. . Exprimer le complexe

I V_s

puis

e s

V V .

Représenter le diagramme asymptotique de Bode (module et phase) de

e s

V V . Préciser les valeurs remarquables sur les axes.

Préciser la pente en db sur le graphe du module.

Corrigé :

  R jL

I I V

. jL R

V_s    ^s  

 

o e

s e

s 1 j

R L j R 1

jL R V V I.R

V

I.

jL R V





 

     



 

 









avec _o  RL

o e

s 1 j

V V



 

 est une forme « canonique », c'est-à-dire une forme typique dont le diagramme de Bode fait parti des classiques qui doivent être connus. (voir le chapitre 8 de Baselecpro sur le site IUTenligne)

ExercicElecPro L

i R

vs ve

3 0 10 20 30 40

 en échelle en dB

0 0.5 1 1.5

en rad

 en échelle

8 Etablissement du diagramme de Bode d’un produit de fonctions élémentaires (5 pts)

Répondre directement sur cette feuille

e) Avec trois couleurs différentes clairement identifiées, représenter (sans justification) les diagrammes asymptotiques de Bode des 3 complexes :

j100 ;

j50 1

1

  et

j50 1 . 1 j100 E

S









Les arguments pourront être approximés avec trois segments.

Graduer l’axe des arguments.

Corrigé :

0 0

 en échelle  en échelle

+20

-20 +40

-40 100

rad/s 100

rad/s

0 0

 en échelle  en échelle

+20

-20 +40

-40 100

rad/s 100

rad/s 2 rad



dec / dB

 20

dec / dB

 20

0,5 pt

0,5 pt

1 pt 1 pt

1 pt

1 pt

9 Etablissement du diagramme de Bode d’un produit de fonctions élémentaires (3 pts)

Les diagrammes de Bode présentent l’intérêt de « visualiser » une expression complexe A(). Les échelles choisies permettent de transformer des produits en sommes et des rapports en différences. On obtient une bonne approche des diagrammes de Bode par des « diagrammes de Bode asymptotiques ».

L’objectif de cet exercice est de tester votre maîtrise des diagrammes de Bode du 1^er ordre.

Représenter, dans le plan de Bode, la courbe asymptotique du module de

 

_



 





 



1

2 1 .

. 1 . 1 . 1 ,

0  

j j A

avec ₁ 10^4 s et ₂ 10^2 s

ExercicElecPro

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

- 5 0 5 10 15 20 25

- 25 - 20 - 15 - 10