Tracés de diagrammes de Bode - Corrigé

Tracés de diagrammes de Bode - Corrigé

p . 10 1 ) 1 p ( F₃

= +

0,1 1 10

ω (rad/s) G (dB)

φ (°)

0°

– 90°

10dB

0,01

– 45

ω (rad/s)

p 1 ) 1 p ( F₁

= + p 1 ) 10 p ( F₂

= +

p ) 3 p ( G₃ =

0,1 1 10

ω (rad/s) G (dB)

φ (°)

0°

– 90°

10dB

ω (rad/s)

+ 90°

p . 3 ) p ( G₂ =

3 ) p ( G₁ =

3 2

p . 1 , 0 p 1 ) 1 p (

H = + + →

(

^{1 0,88.p}

)(

^{.11 0,113.p}

)

) p ( H₃

+

= +

0,1 1 10

ω (rad/s) G (dB)

φ (°)

0°

– 180°

10dB

ω (rad/s)

0,1 1

ω (rad/s) G (dB)

φ (°)

0°

– 90°

ω (rad/s)

+ 90°

p . 3 3 ) p ( K₁ = +

p 3 , 3 0 ) p ( K₂ = +

3 2

p . 1 , 0 p 1 ) 1 p (

H = + +

p 3 , p 0 3 3 ) p (

K₃ = + +

2 2

p p . 1 , 0 1 ) 10 p (

H = + +

1 2

p p 1 ) 1 p (

H = + +

– 90°

10dB

0,01

Attention ici à la forme de la fonction de transfert pour le calcul des pôles p₁ et p₂ :

) p . T 1 ).(

p . T 1 (

K )

p p ).(

p p (

. ) K p ( H

p p . . z . 2

. K p

p . 10 10 ) 10 p ( H

2 1

2 1

2 0 3

2 2 0 2 0

2 0 3 2

+

= +

−

= −

+

= + +

= + ω

ω ω

ω

On transforme les fonctions de transfert pour retrouver des fonctions élémentaires : )

p 1 .(

3 ) p (

K₁ = + ; .(1 10p)

p 3 , ) 0 p (

K₂ = + ; ^K3(p)=0_p^,3.

(

^1+10p+10p2

)

⁼⁰_p^,3.

⁽

^1+8,9.p

⁾⁽

^.1+1,13.p

⁾

Réponses temporelles et harmoniques d’un système - Corrigé

Q.1. Q.2.

Système du second ordre avec z<

2 2 .

Graphiquement on lit :

• ω0 ≈ 4,5 rad/s

• ωr ≈ 4,2 rad/s

• ωc ≈ 6 rad/s

• 20 log(K) = 0

• 20 log(Q) ≈ 7.5 dB Soit :

• log(K)=0 → K=1

• 2

z 1 z 2 3 1 , 2

Q= = ⋅ −

→ z ≈ 0,22

p2

. 05 , 0 p 1 , 0 1 ) 1 p (

H ≈ + +

ω0

ωr 20.log(Q)

ωc

Droite de pente – 40dB/décade

Q.3.

0 0.5

3 3.5

T = 0.7s

T = 2π/ω₀ = 0.7s → ω₀ ≈ 9rd/s

0 0.5

3 3.5

T = 1.25s

T = 2π/ω₀ = 1.25s → ω₀ ≈ 5rd/s

0 0.5

3 3.5

T = 4.2s

T = 2π/ω₀ = 4.2s → ω₀ ≈ 1.5rd/s Q.4.

ω=1.5 ω=5 ω=9

Graphiquement on lit sur le diagramme de Bode :

Pour ω0 = 9 rad/s le gain est d’environ -10dB soit G ≈ 0,32 et la phase de -160°.

Pour ω0 = 1,5 rad/s le gain est d’environ 0,5dB soit G ≈ 1,05 et la phase de -10°.

Pour ω0 = 5 rad/s le gain est d’environ 5dB soit G ≈ 1,8 et la phase de -120°.

e(t)

s(t) Temps (s)

Temps (s) Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation ω0 =

e(t)

s(t) _{Temps (s)}

Temps (s) Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation

e(t)

s(t) _{Temps (s)}

Temps (s) Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation ω0 =

Identification de fonction de transfert sur diagramme de Bode - Corrigé

p2

25 , 0 p . 02 , 0 1 ) 1 p (

F = + +

p . 5 1 ) 20 p (

F = +

(

⁺

)

^_^{ + }_^

=

90p 1 1 . p 1 ) 50 p ( F



 



 +



 



 +

=

p 500. 1 1 . 1 p 20. 1 1 p . ) 10 p ( F

Etude des performances du corps de chauffe d’une chaudière à bois déchiqueté - Corrigé

Q.1. ^mb^cb^pθb^(p)+^Kab

[

θb^(p)−θa^(p)

]

=^P(p)

[

^{(p) (p)}

]

^K

[

^{(p) (p)}

]

K ) p ( p c

m_{a a} θ_a + _aeθ_a −θ_e = _abθ_b −θ_a

[

^{(p) (p)}

]

^K

[

^{(p) (p)}

]

K ) p ( p c

m_{e e} θ_e + _aeθ_e −θ_ext = _aeθ_a −θ_e

Q.2. (p)

K p c . 1 m ) 1 p ( P K p

c . 1 m

K 1 )

p

( _a

ab b b ab

b b ab

b θ

θ + +

= +

Q.3. H₁(p): 1^er ordre de gain 1 et de constante de temps 2500s 40

500 200 K

c . m

ab b b

1= = × =

τ

+ )

p ( P

) p

a(

θ + θb^(p)

Kab

1

p 1

1 τ1

+

Q.4. (p)

K p K

c . 1 m

K K

K )

p ( K p K

c . 1 m

K K

K )

p

( _b

ab ae

a a

ab ae

ab

e

ab ae

a a

ab ae

ae

a θ θ

θ

+ + + + + +

= +

Q.5. H3(p) : 1^er ordre de gain

ab ae

ae

K K

K

+ et de constante de temps 3s

40 400

700 2 K K

c m

ab ae

a a

3 ≈

+

= ×

= + τ H4(p) : 1^er ordre de gain

ab ae

ab

K K

K

+ et de constante de temps 3s

40 400

700 2 K K

c m

ab ae

a a 3

4 ≈

+

= ×

= +

=τ τ

Q.6.

[

^{(p) (p)}

]

K p . 2

c . 1 m . 1 2 ) 1 p

( _{ext a}

ae e e

e θ θ

θ +

= +

Système du 1^er ordre de gain 2

1 et de constante de temps 250s

400 2

4000 50 K . 2

c . m

ae e e

5 =

×

= × τ =

Q.7.

+ ) p

ext( θ

) p

a(

θ θe^(p)

+

p 1

2 1

τ5

+ Q.8.

p 1

1 τ3

+ ) p

a( θ + +

ae ab

K K p

1 1

τ1

+ 1 p

2 1

τ5

+ )

p

b( θ

+ + + +

Kab

) 1 p (

P θ_e(p)

) p

ext( θ p

1 1

τ3

+

Q.9. Entrée échelon de puissance

p 10 p ) P p (

P = ⁰ = d’où

(

^{1 2500p}

)(

^{1 500p}

)

400

1 p

) P p

( ⁰

e = ⋅ + +

θ 0

) p ( p lim ) 0

( _e

e =p =

∞

→ θ

θ ^{; 25 C}

400 ) 10 p ( p lim ) (

4 0 e

e +∞ =p = = °

→ θ θ

0 ) p (

² p lim ) 0 (

' _e

e =p =

∞

→ θ

θ ^{; ' ( ) limp²} e^{(p) 0} 0

e +∞ =p =

→ θ

θ asymptote horizontale

Q.10.

(

^{1 2500p}

)(

^{1 500p}

)

^25p

(

^{1 2500p1}

)(

^{1 500p}

)

400

1 p

10000 )

p

e(

+

⋅ + + =

⋅ + θ =

La réponse temporelle θe(t) du système à un échelon de 10000 est équivalente à la réponse indicielle d’un système de fonction de transfert

(

¹+^2500p1

)(

¹+^500p

)

ce qui correspond à la réponse temporelle d’un système du 2^nd ordre avez z>1 écrit sous la forme d’un produit de 2 systèmes du 1^er ordre.

De plus sur les 2 pôles réels négatifs, compte tenu de leurs valeurs numériques, il y en a un qui peut être considéré comme dominant d’où :

(

^{1 2500p1}

)(

^{1 500p}

) (

≈ ¹+^{25001 p}

)

+

+ . Ce qui donne la réponse temporelle

suivante :

0 5 10 15 20 25 30

0 2000 4000 6000 8000 10000

Temps (s) Température (°C)

Tangente horizontale à l’origine

θe(+∞)=25°C

Quelques calculs (pas utiles pour répondre à la question) mais pour se fixer les idées :

(

^{1 2500p1}

)(

^{1 500p}

)

=¹+^3000.p+^11250000.p2 +

+

→ 1 1250000

2 0

ω = ^{→ 1250000 0,0009}

1

0= ≈

ω ^rad/s

→ 2.z 3000

0

ω = ^{→ = 2 =}

.

z 3000ω⁰ 1,34 → Pour z = 1,34 on a t_5%.ω₀≈8 ^{→ 8050} 0009 , 0

2 , 7 2 , t 7

0

%

5 ≈ = =

ω ^s.

→ Pour

(

¹+^{25001 p}

)

t_5%≈3.2500=7500s ce qui est, dans une 1^ère approximation sensiblement équivalent au 8050 s déterminé à partir de la FT du 2^nd ordre.

Q.11. θ_e(+∞)=25°C → C.d.C.F. ok.

Q.12. On a

(

^{1 pK}

)(

^{.1 p}

)

) p ( V

) p ) ( p ( H

B A

MC M

e

MC τ τ

θ

+

= +

= avecK_MC=0,3°C/Volt, τ_A=7000s ^et τB=^{20000s →}

(

^{1 20000p0}

)

^,.3

(

^{1 7000p}

)

) p ( H_MC

+

= + soit un produit d’un gain pur et de 2 systèmes du 1^er ordre avec

=

=

= 7000 1 1

A

A τ

ω ^{1,4.10–4 rad/s et} = = =

20000 1 1

B

B τ

ω ^{5.10–5 rad/s.}

dB 4 , 10 3 , 0 log . 20 K log .

20 _MC= =−

10^–6 10^–5 10^–4 10^–3 10^–2

10^–6 10^–5 10^–4 10^–3 10^–2

5.10^–5 1,4.10^–4

-90°

-20dB/dec

-180°

Q.13. Le schéma bloc se simplifie comme ceci après calcul de HMC(p)

+ -

θ_c(p) θe(p)

K_c

V_c(p) V_m(p)

Ve(p)

Ke

(

¹ A^pK

)(

^.1 B^p

)

MC

τ

τ +

K_cor +

Calcul de la FTBF de la boucle :

( )( )

( )( ) ( )( )

1 p 1. K . K . p K 1. K . K . K

.

1 K . K . K

K . K )

p ( F

K . K . K p 1 . p 1

K . K p

1 . p 1

K . K . 1 K

p 1 . p 1

K . K . K K .

) 1 p ( F

e cor MC

B 2 A

e cor MC

B A

e cor MC

cor MC

e cor MC B

A

cor MC

B A

e cor MC

B A

e cor MC

e

+ + + +

+

= +

+ +

= + + + +

+

= +

τ τ τ

τ

τ τ τ

τ τ τ

( )( )

( )( ) ( )( )

1 p 1. K . K . p K 1. K . K . K

.

1 K . K . K

K . K )

p ( F

K . K . K p 1 . p 1

K . K p

1 . p 1

K . K . 1 K

p 1 . p 1

K . K . K K .

) 1 p ( F

e cor MC

B 2 A

e cor MC

B A

e cor MC

cor MC

e cor MC B

A

cor MC

B A

e cor MC

B A

e cor MC

e

+ + + +

+

= +

+ +

= + + + +

+

= +

τ τ τ

τ

τ τ τ

τ τ τ

D’où = =

) p (

) p ) ( p ( H

c e

G θθ

1 p 1. K . K . p K 1. K . K . K

.

1 K . K . K

K . K . K

e cor MC

B 2 A

e cor MC

B A

e cor MC

cor MC c

+ + + +

+

+ τ τ τ

τ Q.14.

1 p 1. K . K . p K

1. K . K . K

.

1 K . K . K

K . K . K p .

. p lim ) p ( . p lim ) t ( lim ) (

e cor MC

B 2 A

e cor MC

B A

e cor MC

cor MC c 0

c 0 e p

0 e p

e t

+ + + +

+

= +

=

=

+∞ →+∞θ → θ → θ τ τ τ τ

θ

Théorème de la valeur finale

0 c e cor MC

cor MC c

e .

1 K . K . K

K . K . ) K

( θ

= + +∞

θ

Q.15. Compte tenu du choix de correcteur imposé, on a _{c0 c0}

e cor MC

cor MC c 0 c

t e .

1 K . K . K

K . K . ) K ) t ( (

lim θ θ θ −θ

= +

∞ −

+

→

Pour que le système soit précis il faut lim ( _e(t) _c0) 0

t − =

∞ +

→ θ θ ^{d’où :}

1 K . K . K K . K .

K_{c MC cor}= _{MC cor e}+ →

cor MC

e cor MC

c K .K

1 K . K .

K =K +