DS5-2012_CORRIGE Partie A : « Chaudière à bois déchiqueté HSV 30 »

DS5-2012_CORRIGE

Partie A : « Chaudière à bois déchiqueté HSV 30 »

Cette partie est extraite du sujet de concours « Mines AADN » 2010 filière PSI.

Question A-1 : Compléter l’actigramme A0 donné en document réponse.

Question A-2 : Compléter l’actigramme A3 donné en document réponse.

Alimenter en bois

Brûler bois

Séparer les cendres des fumées

Echangeur Conduit de fumée

Chauffer eau

Dépoussiérer Les fumées

Déplacer les suies et les poussières

Fumées chaudes Sans suie ni poussière

Turbulateurs

Partie B : « Table de tri »

2. Etude cinématique

Question B-1 : Calculer et tracer : V ( A 1 / 0 ) (échelle des vitesses : 10 mm 100 mm/s) OA

VA 1 / 0 ⊥ et VA OA 100 mm / s 60

200 15 2

1 . 0 /

1 = ω = × π × = π

Question B-2 : Pour quelle raison peut-on considérer que les pièces 2, 3 et 5 ne constituent qu’un seul solide cinématique ?

Les pièces 2, 3 et 5 sont articulées entre elles aux points A, B, C et forment un triangle indéformable.

Question B-3 : Déterminer graphiquement, dans la configuration de la figure 5, les vitesses : V (C 3 / 0 ) _et )

0 / 3 (B

V à partir de la détermination du CIR de 3/0.

• On connaît VA 1 / 0 et on sait que VA 1 / 0 = VA 5 / 0

• Par ailleurs, on connaît le support de V (C 4 / 0 ) : VC 4 / 0 ⊥ DC et on sait que VC 5 / 0 = VC 4 / 0

• On en déduit le CIR du mouvement de l’ensemble 2+3+5 par rapport à 0 :

( ) ( ) ^{OA DC}

I I

I 20 = 30 = 50 = ∩

• On en déduit le champ des vitesses des points de l’ensemble 2+3+5 .

• On en déduit les vitesses : VC 5 / 0 ≈ 210 mm / s VB 3 / 0 ≈ 280 mm / s

Question B-4 : En déduire ω

Pour obtenir ω

, il suffit de calculer : rd s B

I VB

/ 62 , 107 2 280 30

0 / 3

0 /

3

= ≈ ≈

ω

Question B-5 : Pour comparer, déterminer graphiquement sur la figure 6, V (C 3 / 0 ) _et V (B 3 / 0 ) en utilisant uniquement l’équiprojectivité.

• On connaît VA 1 / 0 et on sait que VA 1 / 0 = VA 5 / 0

• Par ailleurs, on connaît le support de V (C 4 / 0 ) : VC 4 / 0 ⊥ DC et on sait que VC 5 / 0 = VC 4 / 0

• On applique l’équiprojectivité entre les points A et C : VC 5 / 0 ⋅ AC = VA 5 / 0 ⋅ AC

• On en déduit : VC 5 / 0 ≈ 210 mm / s

• En revanche, pour obtenir la vitesse du point B, on est obligé d’appliquer deux fois l’équiprojectivité car on ne connaît pas le support : VB 2 / 0 ⋅ BA = VA 2 / 0 ⋅ BA et VC 3 / 0 ⋅ CB = VB 3 / 0 ⋅ CB

• On en déduit : VB 3 / 0 ≈ 280 mm / s

1. Présentation du mécanisme

La figure ci-dessous représente un aérogénérateur à hélice bipale muni d’un empennage lui permettant de s’orienter dans le sens du vent. Le rotor S1 est en liaison pivot d’axe (O, y₀) avec le corps S0 de l’aérogénérateur. Les pales S2 et S’2 sont en liaison pivot d’axe (O, x₁) avec le rotor. Cette dernière rotation permet de régler l’angle d’hélice « β » pour adapter la puissance récupérée en fonction de la force du vent et de la demande électrique. Dans le cas des forts vents, le système se met en drapeau : β = 90°. Dans les conditions normales de fonctionnement, l’angle d’hélice varie faiblement autour de la valeur moyenne : βmoy = 20°.

- R0 (O, x0, y0, z0) lié à S0 - R1 (O, x₁, y₀, z₁) lié à S1 - R2 (O, x₁, y₂, z₂) lié à S2 -

( z r

, z r

)

θ =

⁽ z r

^, z r

⁾

β =

- G le centre d’inertie de la pale S2 tel que :

2

1

c z

x a HG OH

OG r r

+

= +

=

2. Travail demandé

Pour les trois questions suivantes, on considérera que les deux paramètres sont des fonctions du temps et que leurs dérivées temporelles ne sont pas nulles. Pour calculer les vecteurs vitesse et accélération du point G par rapport à R0, il est possible d’utiliser trois méthodes analytiques.

Question C-1 : Ecrire les relations vectorielles qui

permettent de calculer les vecteurs vitesse et

accélération du point G

par rapport à R0 à partir des vecteurs vitesses et accélération du point H.

) 0 / 2 ( )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

(G R

V

GH

V = + ∧ Ω

0 ) 0 / 2 ( )

0 / 2 ( )

0 / 2 ( )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 , (

R R S R

S R

S R

H R

G

dt

GH d

GH  

 

→ Ω

∧ +

Ω

 ∧





 

 →

∧ Ω

+ Γ

= Γ

Question C-2 : Exprimer (avec ou sans calcul) les vecteurs vitesse et accélération du point H par rapport à R0.

)

1

0 / 1 , ( ) 0 / 2 ,

(

V a Z

V

=

= − θ ^& ⋅

1

1

) 0 / 1 , ( ) 0 / 2 ,

(_{H R}

= Γ

= − a ⋅ Z − a ⋅ X

Γ θ ^{& &} θ ^&

Question C-3 : Calculer les vecteurs vitesse et accélération du point G par rapport à R0 en utilisant les

relations de la question C-1.

Afin de tester la résistance des pales, on réalise un essai dans lequel on les fait tourner en maintenant β = 0. La commande de la rotation est donnée par le graphique ci-contre.

Question C-4 : Sachant que a = 3 m, calculer les normes de la vitesse et de

l’accélération du point H, pour les dates t1 = 5 s et t2 = 60 s.

Question C-5 : Déterminer le nombre total de tours effectués lors de cet essai.

0

) / ( rd s θ ^&

) (s t

10

20 340 360

1. Présentation du mécanisme

La figure 7 du document réponse représente la cinématique d’un réducteur à engrenages permettant de très fortes réductions de vitesse. Ce genre de dispositif est utilisé pour obtenir des vitesses de sorties très lentes utilisées notamment pour positionner des antennes ou pour assurer le suivi du soleil ou d’objets célestes.

La roue Z1 est reliée au moteur électrique, le solide 1 constitue le solide d’entrée.

Il est constitué de 2 parties réductrices :

- Un réducteur à axes fixes (solides 1-2-3-4-5) pour donner à la couronne 5 et au planétaire 3 des rotations inverses.

- Un réducteur à train épicycloïdal (solides 3-6-5-7). Le mouvement de sortie de ce réducteur se fait sur le porte satellites 7.

Les nombres de dents sont les suivants : Z1 = 12 Z21 = 36

Z22 = 12 Z31 = 48 Z41 = 24

Z42 = 12 Z51 = 96

Z52 = 54 Z6 = 21 Z32 = 12

Figure 7 : schéma cinématique du réducteur de positionneur d’antenne (attention ce schéma n’est pas à l’échelle)

2. Etude cinématique

Question D-1 : Déterminer les rapports de transmission suivants : R13 = 1 3 ω

ω et R15 = 1 5 ω ω

( ) 12

1 48 36

12 12 31 21

22 1 1

1

3

× =

= ×

⋅

− ⋅

= Z Z

Z Z ω

ω

( )

48 1 96 24 36

12 12 12 51

41 21

42 22 1 1

1

5

−

× =

×

×

− ×

⋅ =

⋅

⋅

− ⋅

= Z Z Z

Z Z Z ω

ω

Question D-2 : En déduire ω 1 ^si ω ³ = ^{12 rd / s et} ω ⁵ = − ^{3 rd / s .} On vérifie que : ω 1 = 12 × ω 3 = 144 rd / s

Et que : ω 1 = − 48 × ω 5 = 144 rd / s

Z1 Z21

Z22

Z31 Z41

Z42

Z51

Z6

Z31

Z32

Z52

S0 S1

S2 S4

S5

S6

S3

S7

Question D-3 : Par un rapide tracé sur la figure 8 du document réponse , comparer ω 7 ^à ω ^{3 (sens,} augmentation ou réduction de la vitesse de rotation)

^VI 3 / 0 ⊥ ^OI et ^VI 3 / 0 = ^OI . ω 3 et on sait que VI 3 / 0 = VI 6 / 0

Les rayons des différentes roues sont proportionnels au module des dents. Si on choisit m = 2, alors : s

mm VI 3 / 0 = 12 × 12 = 144 /

^{De même, VJ} 5 / 0 ⊥ ^OJ et ^VJ 5 / 0 = ^OJ . ω 5 et on sait que VJ 5 / 0 = VJ 6 / 0 s

mm VJ 3 / 0 = − 3 × 54 = − 162 /

On en déduit le champ des vitesses des points de S6/S0 : VC 6 / 0 Avec VC 6 / 0 ≈ − 9 mm / s

Mais étant donné que VC 6 / 0 = VC 7 / 0 , on en déduit que 7 ω est bien inférieure à 3 ω et de sens opposé.

Figure 8 : Schéma cinématique du train épicycloïdal (Echelle 1) Question D-3 : cinématique graphique

Question D-4 : En appliquant la formule de Willis par rapport au porte satellites 7, déterminer la relation entre ω 7 ^, ω ^{3 et} ω ^{5 .}

( ) 32

52 32

6 6 1 52

7 / 5

7 /

3

Z Z Z

Z Z

Z = −

⋅

− ⋅ ω =

ω avec

 



 



−

=

−

=

7 5 7 / 5

7 3 7 / 3

ω ω ω

ω ω ω

On en déduit : ω 3 ⋅ Z 32 − ω 7 ⋅ Z 32 = − ω 5 ⋅ Z 52 + ω 7 ⋅ Z 52 ⇒ ω ³ ⋅ ^{Z 32} + ω ⁵ ⋅ ^{Z 52} = ω ⁷ ⋅ ^{( Z 52} + ^{Z 32 )} Question D-5 : Calculer la valeur numérique du rapport de transmission global de ce réducteur : R =

1 7 ω ω .

En substituant 3 ω ^{et 5} ω par les expressions trouvées en question D-1 dans l’expression de la question D-4, on en déduit : R 13 ⋅ ω 1 ⋅ Z 32 + R 15 ⋅ ω 1 ⋅ Z 52 = ω 7 ⋅ ( Z 52 + Z 32 )

10

89 , 528 1

1 54

12 48 54 12 1 1 12 32

52

52 15 32 13 1

7 ≈ − ≈ ⋅

+

×

−

= × +

⋅ +

= ⋅

⇒

Z Z

Z R Z R ω ω

Z52

Z32 Z6

Y

X J

C

I

O