DS4-2012_CORRIGE La grande roue !!

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1. Présentation du système

Le schéma de la figure ci-contre définit la cinématique de la grande roue de Metz. On considère le système comme étant plan et on paramètre la position d’une seule nacelle. Dans ces conditions, la grande roue est constituée de 2 pieds ancrés au sol qui forment le socle S0, d’un arceau S1 en rotation autour du point O, de 2 suspentes symétriques (S3 et S4) qui forment un triangle indéformable avec l’arceau S1 et d’une nacelle S2 articulée autour du point A. La rotation de l’arceau est obtenue grace à la rotation de la roue de friction S5.

On définit les repères suivants :

( ^{, 0 , 0 , 0} )

0 O X Y Z

R

lié à S0 ;

( ^{, 0 , 1 , 1} )

1 O X Y Z

R

lié à S1 ;

( ^{, 0 , 2 , 2} )

2 A X Y Z

R

lié à S2,

Les longueurs constantes et les paramètres angulaires de ce mécanisme sont définis sur la figure ci-contre.

La rotation de l’arceau est définie par :

0 . 0 /

1 = α & X

Ω

L’oscillation de la nacelle est définie par :

0 . 0 /

2 = β ^& X

Ω

2. Etude du mouvement des nacelles :

Pour les 3 questions suivantes, on tient compte du mouvement d’oscillation de la nacelle et on donne

1 . . ) 0 / 1 ,

( A a Z

V = α &

^et

Γ ( A , 1 / 0 ) = a . α & & . Z 1 − a . α &

²

. Y 1

Question A-1 : Déterminer le vecteur Ω 2 / 1 .

En appliquant la composition des rotations, on obtient :

Ω 2 / 0 = Ω 2 / 1 + Ω 1 / 0 0

/ 1 0 / 2 1 /

2 = Ω − Ω

Ω

⇒

^{⇒ Ω 2 / 1 =} ( ^{β & − α &} ) ^{X 0}

Question A-2 : Calculer V (S , 2 / 0 ) et Γ (S , 2 / 0 ) par un calcul de dérivée.

( ^{. 1 . 2} ) ( ) ^{. 1} _{1 / 0 . 1} ( ) ^{. 2} _{2 / 0 . 2}

) 0 / 2 , (

2 1

0 0

Z dt h

Z h Y d

dt a Y a d dt

Z h Y a d dt

OS S d

V

R R

R R

−

∧ Ω

 +







 



 − +

∧ Ω

 +







 



= 

 





 



 −

 =







 



= 

2 . 1 . ) 0 / 2 ,

( S a Z h Y

V = α & + β ^&

⇒

( )

0 0

2 . 1 . )

0 / 2 , ) (

0 / 2 , (

R

R

dt

Y h Z a d dt

S V S d

 





 



 +

 =







 



= 

Γ α & β ^&

( ) ^{. 1} _{1 / 0 . 1} ( ) ^{. 2} _{2 / 0 . 2}

) 0 / 2 , (

2 1

Y dt h

Y h Z d

dt a Z a S d

R R

β β

α α ^& _&

&

& + Ω ∧

 





 

 + 

∧ Ω

 +







 



=  Γ

2 . 0 2

. 1 . 0 1

. ) 0 / 2 ,

( S = a α & & Z + α & X ∧ a α & Z + h β ^{& &} Y + β ^& X ∧ h β ^& Y

Γ ⇒ Γ ( S , 2 / 0 ) = a α & & . Z 1 − a α &

²

. Y 1 + h β ^{& &} . Y 2 + h β ^&

²

. Z 2

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Question A-3 : Calculer V (S , 2 / 0 ) et Γ (S , 2 / 0 ) en appliquant les formules du champ des vecteurs vitesses et du champ des vecteurs accélérations.

0 / 2 )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( S = V A + SA ∧ Ω

V

Avec

V ( A , 2 / 0 ) = V ( A , 1 / 0 )

car A est centre de la liaison pivot L1/2

0 . 2 . 1 . ) 0 / 2 ,

( S a Z h Z X

V = α & + ∧ β ^&

⇒ V ( S , 2 / 0 ) = a α & . Z 1 + h β ^& . Y 2

( )

0

0 / 0 2

/ 2 0

/ 2 ) 0 / 2 , ( ) 0 / 2 , (

dt

R

SA d SA

A

S  





 



 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

= Γ

0 . 2 . 0 2

. 1 . 1 . ) 0 / 2 ,

( S = a α & & Z − a α &

²

Y − h β ^& Y ∧ β ^& X + h Z ∧ β ^{& &} X

Γ ⇒ Γ ( S , 2 / 0 ) = a α & & . Z 1 − a α &

²

. Y 1 + h β ^{& &} . Y 2 + h β ^&

²

. Z 2

Pour les 2 questions suivantes, on considère que le mouvement d’oscillation de la nacelle est négligeable (les points A et S sont toujours à la verticale l’un de l’autre) et la vitesse de rotation de l’arceau est constante.

Question A-4 : Décrire le mouvement de la nacelle dans ces conditions.

Le mouvement de 2 par rapport à 0 est une translation circulaire uniforme de rayon OA.

Question A-5 : Calculer la vitesse de rotation de l’arceau ω 1 pour que le point S subisse une accélération égale à 1m/s².(valeur numérique a = 33 m et h = 3m)

A chaque instant, on a :

V ( A , 2 / 0 ) = V ( S , 2 / 0 )

^,

Γ ( A , 2 / 0 ) = Γ ( S , 2 / 0 )

^et

α & & = 0 )

2

0 / 2 ,

( S = a α &

Γ

⇒

Or on cherche

α &

^{tel que}

Γ ( S , 2 / 0 ) = 1 = a α &

^2,

on en déduit :

rd s

a 0 , 174 / 33

1

1 = =

α ^& =

^⇒ ω ^{1 = 0 , 174 rd / s}

2. Etude de la motorisation :

Dans cette étude, on étudie la chaine cinématique permettant la mise en rotation de l’arceau. La rotation de l’arceau est obtenue par la rotation d’une roue de friction S5

Question A-6 : Déterminer la vitesse de rotation nécessaire ω 5 pour obtenir : ω 1 = 0,3 rd/s.(valeurs numériques R = 30 m et r5 = 0,2 m)

En faisant l’hypothèse du roulement sans glissement au point I, on peut affirmer :

5 . 5 1

. ω ^r ω

R = −

3 , 0 150 3

, 2 0 , 0 1 30 5 .

5 = − = − × = − ×

⇒ ω ω

r

R

⇒ ω 5 = − 45 rd / s

La rotation du moteur électrique ω7 entraine celle de la roue de friction ω5 par l’intermédiare d’un réducteur à engrenages décrit par le schéma cinématique ci-dessous.

Question A-7 : Déterminer le rapport de transmission de ce réducteur en fonction des nombres de dents des différentes roues dentées:

7 5 ω ω

= K

( ) 61 . 5 62 . 1 7 7

5

2

Z Z

Z K = = − Z

ω

ω

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Question A-8 : En considérant que la roue 5 doit tourner à N5 = 500tr/min et que le moteur tourne à N7 = 1500 tr/min, proposer des nombres de dents pour les différentes roues.

Pour obtenir

3 1 1500

500 7

5 = =

ω

ω

, on peut choisir

0 , 577

3 1 5 62 61

7 = = ≈

Z Z Z

Z

Par exemple, si Z7 = Z62 = 15 dents, alors on peut choisir Z61 = Z5 = 26 dents On obtient donc :

3 333 1 ,

² 0 26

² 15 7

5 = ≈ ≈

= ω K ω

Autres solutions :

3. Etude de la traction des suspentes

La figure ci-dessous montre qu’au cours de la rotation les suspentes peuvent être soumises successivement à des efforts de traction et de compression. Dans la position la plus défavorable et avec le maximum de charge autorisée, les suspentes sont soumises à des efforts de traction maxi Fm = 4500 N.

La forme des suspentes est définie par : Longueur à vide (sans charge) Lo = 2,5 m et Section résistante So = 45 mm² Le matériau choisi est un acier ayant les caractéristiques suivantes :

E = 200 000 Mpa ; Re = 250 Mpa ; Rm = 400 Mpa ; A% = 12 ; ρ1 = 7800 kg/m³

Question A-9 : Déterminer l’état de contrainte des suspentes lorsqu’elles sont soumises à Fm : σ

_m

^. S Mpa

Fm

m

100

45 4500

0 = =

σ =

Question A-10 : Quel type de déformation la suspente va-t’elle subir dans cet état ?

Etant donné que

σ

_m

< Re

, les suspentes ne subiront que des déformations élastiques.

Question A-11: Calculer l’allongement de la suspente lorsqu’elle est soumise à Fm : ∆ ^Lm.

Les déformations élastiques sont modélisées par la loi suivante :

. 0

0 L

E lm S

Fm = ∆

On en déduit :

m

E L S

lm Fm 0 , 00125

200000 5 , 100 2 0

0 × = × =

=

∆

⇒ ∆ lm = 1 , 25 mm

Z7 ou Z62 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Z61 ou Z5 21 23 24 26 28 29 31 33 35 36

K 0,326 0,319 0,340 0,333 0,326 0,344 0,337 0,331 0,326 0,340

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On souhaite alléger la structure en changeant le matériau des suspentes. On souhaite utiliser un alliage d’aluminium avec les caractéristiques suivantes :

E = 70 000 Mpa ; Re = 160 Mpa ; Rm = 270 Mpa ; A% = 8 ; ρ2 = 2700 kg/m³

Question A-12 : Calculer la section nécessaire S1 des nouvelles suspentes pour que

3

≤ Re σ

m

^.

On cherche

3 Re 1 ≤

= S Fm σ

m

On en déduit que

84 , 37 ²

160 4500 3 Re .

1 3 Fm mm

S > = × ≈

⇒ S 1 > 84 , 4 mm ²

Question A-13 : En choisissant S1 = 95 mm², comparer les poids des deux types de suspentes.

Calcul du poids des suspentes en acier : P0

10 7800 5 , 2 10 . 45 1

0 0

0 = S × L × × g =

⁻⁶

× × ×

P ρ

⇒ ^{P 0} ≈ ^{8 , 775 N}

Calcul du poids des suspentes en aluminium : P1

10 2700 5

, 2 10 . 95 2

0 1

1 = S × L × × g =

⁻⁶

× × ×

P ρ

⇒ ^{P 1} ≈ ^{6 , 412 N}