Etude des performances cinématiques du Robocoaster - Corrigé
Q.1. Graphe des liaisons du bras articulé du robot :
Pivot d’axe (O0,yr0
)
Pivot d’axe (O2,zr2
)
1 2 3
0
Pivot d’axe (O1,zr1
) 4 5 6
Pivot d’axe (O3,xr3
)
Pivot d’axe (O4,zr4
)
Pivot d’axe (O5,xr5
)
Figures géométrales :
θ1
x1
r xr0
y0
r =yr1
z0
r z1
r
θ2
x2
r y2
r
xr1
y1
r
z1
r = zr2
θ3
xr3
yr3
x2
r y2
r
z3
r = zr2
θ2
x1
r z1
r =zr2
=zr3
xr2
θ3
x3
r yr1
y2
r yr3
θ4
y3
r x3
r =xr4
yr4
z3
r z4
r
θ5
xr5
y5
r
x4
r y4
r
z4
r = zr5
θ6
yr5
xr5
=xr6
y6
r z5
r z6
r
Q.2.
xr0
O0
O1
O2
O4
Sol
O3
O5 P
0
1
2
3
4
5
6 θ2 = 12°
x1
r
yr0
x3
r
=xr4
xr5
xr2
θ3 = -26°
θ5 = 19°
Q.3. a .x a .x 0
dt P d O O dtO P d dtO V d
5 5 6 5 5 5 5 5 4 5
4 5
/ 6 P
r r
r + =
= +
=
∈ = → VP 6/5 0
=r
∈
Q.4.
θ5
x5
r y5
r
xr4
y4
r
z4
r = zr5
5 5 6 5 4 5 6 5 5 4 4 5 4 4
4 4
/ 6
P a .x a .x (a a ). .y
dt P d O O dtO P d dtO
V d r r & r
θ +
= +
= +
=
∈ = → VP∈6/4 =(a5+a6).θ&5.yr5
Q.5.
θ4
y3
r x3
r =xr4
yr4
z3
r z4
r
θ5
xr5
y5
r
x4
r y4
r
z4
r = zr5
3 5 6 5 3 5 6 5 5 3 4 3 4 5 4 4 3 3
3 3
/ 6
P x
dt ).d a a ( x . a x . a x . dta P d O O O O dtO P d dtO
V d r r r r
+
= +
+
= + +
=
∈ =
4 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 3 / 5 5 5 3
5 x x ( .z .x ) x .y .sin .z
dt x d dt
dr r r & r & r r & r & r
θ θ + θ
=
∧ θ + θ
=
∧ Ω +
=
4 5 4 6 5 5 5 6 5 3 / 6
P (a a ). .y (a a ). .sin .z
V∈ = + θ& r + + θ& θ r
Q.6. Avec θ4 =θ&4=0, on obtient :
θ2
xr1
z1
r =zr2
=zr3
=zr4
= zr5 x2
θ3r y1
r y2
r
θ5
x5
r
yr5
x4
r =xr3 yr4
=yr3
1 5 6 5 5 3 4 3 3 2 2 1 4 5 4 4 3 3 2 2 1 1
1 1
/ 6
P a .x a .x a .x a .x a .x
dt P d O O O O O O O O dtO P d dtO
V d r r r r r
+ + + +
= + + + +
=
∈ =
5 5 3 2 6 5 3 3 2 4 3 2 2 2 1 / 6
P a . .y (a a ).( ).y (a a ).( ).y
V∈ = θ& r + + θ& +θ& r + + θ& +θ& +θ& r
Q.7.
θ1
x1
r =xr2
=xr3
=xr4
= xr5 x0
r
y0
r =yr1
=yr2
=yr3
=yr4
=yr5 z0
r z1
r =zr2
=zr3
=zr4
= zr5
0 5 6 5 5 3 4 3 3 2 2 1 1 1 1 0 4 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0
0 0
/ 6
P a .x b .y a .x a .x a .x a .x a .x
dt P d O O O O O O O O O O dtO P d dtO
V d r r r r r r r
+ + + + + +
= + + + + +
=
∈ =
0 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 0 1 1 1 0 / 6
P a.x b .y a .x a .x a .x a .x a .x
dt
V d r r r r r r r
+ + + + + +
∈ =
D’où : VP∈6/0=−
[
a1 +a2+a3+a4 +a5+a6]
.θ&1.zr1Q.8. Pour θi =θ&i=0 avec i = 2 à 6, on a donc VP∈6/0 =−
[
a1+a2+a3+a4 +a5+a6]
.θ&1.zr1→ VP∈6/0 = VP∈6/0.VP∈6/0 =
[
a1+a2+a3+a4+a5+a6]
.θ&1→ VP∈6/0 =
[
0,5+1,25+0,25+0,5+0,25+0,25]
.θ&1=3m/s < 10 m/s → C.d.C.F. ok.Petites remarques techniques : on pourrait dire « 3m/s ! c’est nul comme attraction » mais sur cette attraction ce n’est pas pour ce critère que le robot est sollicité mais plutôt pour sa capacité à utiliser des variations d’accélération importantes tout en utilisant ses 6 axes pour effectuer de nombreux changements d’axes de rotation. Il faudrait plutôt vérifier que les accélérations subies par les passagers soient inférieures à la législation. Enfin l’axe 1 est limité en amplitude, il ne pas peut effectuer plus d’un tour, en gros si voulez faire du carrousel mauvaise pioche ^^
Q.9. Figures géométrales :
α x1
r y1
r
xr0
y0
r
z1
r = zr0
β xr3
y3
r
x0
r y0
r
z3
r = zr0
Fermeture géométrique : CC CA AB BC (t).y1 L.y3 H.y0 0 r r r
r − − =
λ
= + +
= En projection dans 0 :
=
− β
− α λ
= β + α λ
−
0 H cos . L cos ).
t (
0 sin . L sin ).
t (
Q.10. Déterminer la loi entrée sortie du système de la forme λ(t) = f(β).
=
− β
− α λ
= β + α λ
−
0 H cos . L cos ).
t (
0 sin . L sin ).
t
( →
+ β
= α λ
β
= α λ
H cos . L cos ).
t (
sin . L sin ).
t
( → λ2(t)=L2.sin2β+(L.cosβ+H)2
Q.11. Longueur initiale : λ(βi)= 0,22.sin2(−150)+(0,2.cos(−150)+0,8)2 =0,634m Longueur finale : λ(βf)= 0,22.sin2(−40)+(0,2.cos(−40)+0,8)2 =0,962m
∆λ = 0,962 - 0,634 = 0,328 m < 0,4 m → C.d.C.F. ok.
Quille pendulaire d'un voilier de course océanique - Corrigé
Q.1. A→4 ; B→3 ; C→1 ; D→6 ; E→5 ; F→2.
Q.2. L'utilisation de la quille pendulaire permet :
• D'augmenter de 10° l’angle de gîte provoquant la mise en situation de chavirage du voilier (changement de signe de Gx) soit 130° au lieu de 120°
• d'augmenter l'aire S01, ce qui rendra le bateau encore plus difficile à faire chavirer, par conséquent pour une même action du vent le bateau gîtera moins qu'un bateau sans quille pendulaire.
Q.3. Si le vent vient de tribord il faut donc Gx > 0 et grand pour limiter l’inclinaison du bateau. On choisit la quille inclinée au maximum sur tribord.
Q.4 Paramètres géométriques d’entrée : x35 et x24. Paramètres géométriques de sortie : θ1.
xrN Coté « Tribord »
Coté « Bâbord »
yrN
xr yr
Vent
Q.5. Graphe des liaisons.
Rotule en C 2
3 4
1
5 N
Pivot glissant d’axe (B,xr3
) Pivot d’axe
(O,zrN ) Pivot glissant
d’axe (C,xr2 )
Rotule en A2
Rotule en A3
Rotule en B
Q.7.
Q.6. Figures géométrales
θ1
zN
r =zr1 yr1
xr1
xrN
yN
r
θ2
zN
r =zr2 y2
r
x2
r
xN
r yN
r
θ3
zN
r =zr2 yr3
x3
r
xN
r yN
r
Position θ1 =45° 1
4
1
N y
y r
r =
B 2 3
O C
A 5
yN
r
xN
r
Position θ1 =0°
Q.8. Graphiquement on lit : BA =9cmce qui correspond à une longueur réelle de vérin de 2,25 m.
Q.9. Graphiquement on lit : CA =3,3cmce qui correspond à une longueur réelle de vérin de 0,825 m.
Au final la course des vérins est de 2,25 - 0,825 = 1,425 m < 1,6 m → Exigence validée.
Q.10. Fermeture de chaîne (OCA2AO) : OO 0
=r
→OC CA2 A2A AO a.xN b.yN d.zN x24.x2 d.zN R.y1 0 r r r r r
r
r + − + + − =
−
= + + +
En projection dans la base BN :
= θ
− θ +
= θ + θ +
−
0 cos . R sin . x b
0 sin . R cos . x a
1 2
24
1 2
24
Q.11. →
− θ
= θ
θ
−
= θ
b cos . R sin . x
sin . R a cos . x
1 2
24
1 2
24 → x242 =(a−R.sinθ1)2+(R.cosθ1−b)2
AN : pour θ1=45°: x24= (1,5−1.sin45)2+(1.cos45−1)2 =0,845m ce qui est très proche de la valeur obtenu question 9.
Q.12. Fermeture de chaîne (OBA3AO) : OO 0
=r
→OB BA3 A3A AO a.xN b.yN d.zN x35.x3 d.zN R.y1 0 r r r r r
r
r + + − − − =
= + + +
En projection dans la base BN :
= θ
− θ
−
= θ + θ
−
0 cos . R sin . x b
0 sin . R cos . x a
1 3
35
1 3
35
→
+ θ
−
= θ
θ +
= θ
b cos . R sin . x
sin . R a cos . x
1 3
35
1 3
35 → x352 =(a+R.sinθ1)2+(−R.cosθ1+b)2
AN : pour θ1=45°: x35= (1,5+1.sin45)2+(−1.cos45+1)2 =2,22m ce qui la aussi est très proche de la valeur obtenu question 8.
Q.13. Ω1/N=θ&1.zrN, Ω2/N=θ&2.zrN, Ω3/N=θ&3.rzN.
Q.14. t1 1 1
N 1 1 t N
N / D N / 1 ,
D L .y L . .x
dt OD d dt V d
V r & r
θ
=
−
=
=
=
Q.15. 1/0 est un mouvement simple → VD,1/N VO,1/N DO 1/N Lt1.yr1 &1.zr1 Lt1.&1.xr1 θ
= θ
∧
= Ω
∧ +
= .
Q.16. 24 2
4 2 24 4
2 4
/ A 4 / 2 ,
A x .x x .x
dt CA d
dt V d
V 2 2
& r
r =
=
=
=
Champ des vitesses : VA ,4/N VC,4/N A2C 4/N x24.x2 2.z2 x24. 2.y2
2
& r
& r
r ∧θ = θ
−
= Ω
∧ +
=
Composition de mouvement : VA ,2/N VA ,2/4 VA ,4/N x24.x2 x24. 2.y2
2 2
2
& r
& r + θ
= +
= .
2 2 24 2 24 N 2 24 N
2 N
/ A N / 2 ,
A x .x x .x x . .y
dt CA d
dt V d
V 2 2
& r
& r
r = + θ
=
=
=
Q.17. 1 1
N N 1 N
3 N
/ A N / 1 , A 1 / N ,
A R.y d.z R. .x
dt OA d
dt V d
V
V 3 3 3
& r r
r + = θ
−
=
−
=
−
=
−
= 0 VA ,1/3
3
=r
5 35 5 3 35 5
3 5
/ A 5 / 3 ,
A x .x x .x
dt BA d dt V d
V 3 3
& r
r =−
−
=
−
=
=
3 3 35 3 3 3 35 N / 5 3 N / 5 , B N / 5 ,
A V A B x .x .z x . .y
V 3
& r
& r
r ∧θ =− θ
= Ω
∧ +
=
Soit VA ,N/1 VA ,1/3 VA ,3/5 VA ,5/N R. 1.x1 x35.x5 x35. 3.y3
3 3
3 3
& r
& r
& r − − θ
θ
= +
+
+
La fermeture géométrique (OBA3AO) donne OB BA3 A3A AO a.xN b.yN d.zN x35.x3 d.zN R.y1 0 r r r r r
r
r + + − − − =
= + + +
1 1 3 3 35 2 35 N 1 3 35 N
N b.y x .x R.y ) x .x x . .y R. .x
x . a dt(
d r & r & r
&
r r r
r + − − =− − θ + θ cqfd.
Q.18. t1 1 1 t1 12 1
N 1 1 1 t N / D N / 1 ,
D L . .x L . .x L . .y
dt
d θ& r = &θ& r + θ& r
= Γ
=
Γ
0
) cos . sin
. .(
L
) sin . cos
. .(
L ) y . cos x . sin ( . . L ) y . sin x . (cos . .
L t1 1 1 12 1
1 2 1 1 1 1 t
N N 1 N
1 2
1 1 t N 1 N 1 1 1 t N / 1 ,
D θ θ +θ θ
θ θ
− θ θ
= θ + θ
− θ + θ + θ θ
=
Γ && &
&
&
&
r
& r r
& r
&
Q.19. ΓD,1/N = ΓD,1/N.ΓD,1/N = Lt12.θ&&12+Lt12.θ&14 =Lt1θ&12 AN : ΓD,1/N =4,5×0,0252 =2,8.10−3m/s2.
Etude Cinématique d’un Rotor Principal d’Hélicoptère - Corrigé
θ x1
r y1
r
xr0
y0
r
z1
r = zr0
β z2
r
yr1
=yr2 zr1 xr1
xr2
α y3
r
x2
r =xr3 yr2
z2
r z3
r
Q.1. P a une de réalité physique sur le solide 3, on peut utiliser le calcul direct :
0 2 3 G 1 0
2 3 G 1 0
3 0
/ 3
G x
dt .d x y . . r x . x x . dtr OG d dt V d
3
r
&r r
r + = θ +
=
∈ =
Avec : 20 2 2 1 2 2 2
2 2 0
2 x x ( .y .z ) x .z .cos .y
dt x d dt
dr r r & r & r r & r & r
β θ + β
−
=
∧ θ + β
=
∧ Ω +
=
2 3 G 1 3
G 0
/ 3
G (r. x . .cos ).y x . .z
V 3
& r
& r
&+ θ β − β
θ
∈ =
Q.2.
{ }
Ω
=
β θ + β
− θ
α + θ +
= β
Ω
=
∈ P∈3/0
0 / 3 2 P
3 G 2 3 G 1
3 1 2 G
0 / G 3
0 / 3
G 0 /
3 r. .y x . .z x . .cos .y V
x . z . y . C V
3 3 3
& r
& r
& r
& r
& r
&r
Calcul de VP∈3/0 par le champ des vitesses : VP 3/0 VG 3/0 PG3 3/0
3 + ∧Ω
= ∈
∈
Avec PG3 3/0 b.y3 ( .y2 .z1 .x3) b. sin .x3 b. .y3 z1 b. .zr3
&
r
&r
& r
& r
& r
& r
r ∧ β +θ +α =+ β α − θ ∧ + α
−
= Ω
∧
Et yr3 rz1 (cos .yr2 sin .zr2) zr1 cos .xr1 sin .sin .yr1 β α
− α
=
∧ α + α
=
∧
→ VP 3/0 (r. xG3. .cos ).y1 xG3. .z2 b. sin .x3 b. .(cos .x1 sin .sin .y1) b. .zr3
&
r
& r
& r
& r
& r
&+ θ β − β + β α − θ α − α β + α
θ
∈ =
→ VP 3/0 b. sin .x3 b. .cos .x1 (r. xG3. .cos b. .sin .sin ).y1 xG3. .z2 b. .zr3
&
&r
& r
&
&
& r
& αr − θ α + θ+ θ β+ θ α β − β + α
β
∈ =
Q.3.
0 2 3 G 1 3
G 0
0 / 3 G 0
/ 3
G (r. x . .cos ).y x . .z
dt V d
dt a d
3 3
& r
& r
&+ θ β − β
θ
=
= ∈
∈
0 2 3 G 2 3 G 0 1 3
G 1
3 G 1 3
G 1 0
/ 3
G z
dt .d . x z . . x dty ).d cos . . x . r ( y . sin . . . x y . cos . . x y . . r a 3
& r
&r
&
& r
&
& r
&
& r
&
&r
&θ + θ β − θβ β + θ+ θ β − β − β
∈ =
Avec 1
0
1 .x
dty
dr & r
θ
−
= et 20 2 2 1 2 2 2
2 2 0
2 z z ( .y .z) z .x .sin .y
dt z d dt
d r r r &r & r r &r & r
β θ + β
=
∧ θ + β
=
∧ Ω +
=
) y . sin . x . .(
. x z . . x x . ).
cos . x r ( y . sin . . . x y . cos . . x y . . r
aG 3/0 1 G3 1 G3 1 G3 2 1 G3 2 G3 2 2
3
& r
& r
&
&r
&
& r
& r
&
& r
&
&r
& + θ β − θβ β − + β θ − β − β β +θ β
θ
∈ =
Q.4. Pour θ&=cte et β = β0, on a VG 3/0 (r. xG3. .cos 0).y1
3
& r
&+ θ β
θ
∈ = et aG 3/0 (r xG3.cos ). 2.x1
3
& r θ β +
−
∈ =
Q.5. 2t/2c : liaison pivot glissant d’axe (A,yr1
) :
{ }
1 b c 2 / t 2 y c 2 / t 2 y A c 2 / t 2
0 V
0 0
0 C
Ω
=
Q.6.
Q.7.
2t 2c
1+6 3
0
Pivot glissant d’axe (A,yr1
) Rotule
en C
Pivot d’axe (B,zr1
)
Pivot d’axe (O,zr1
) Pivot d’axe (D, yr
)
O B
A 2t
2c 3
xr y1
r
x3
r
δ
h
d yr
C
0
ψ
x1
r λ(t)
O’
A’
B’
1+6
D 0
Q.8. On écrit la fermeture géométrique de la chaine 0-1-3-2t-2c :OO 0
=r
→OB BC CD DO 0
=r + +
+ → (t).y1 d.x3 h.y d.x 0 r r r r
r − − + =
λ Soit en projection dans la base 0 :
=
− δ
− ψ λ
= + δ
− ψ λ
−
0 h sin . d cos ).
t (
0 d cos . d sin ).
t (
+ δ
= ψ λ
δ
−
= ψ λ
h sin . d cos ).
t (
cos . d d sin ).
t
( → λ2(t)=(d−d.cosδ)2+(d.sinδ+h)2
Q.9. Pour δ=0° on a VC,2t/2c =VC,2t/0 =λ&.yr1 De plus VC,3/0 =VC,3/2+VC,2/0 =VC,2/0 car VC,3/2 0
=r
3/0 : mouvement simple : VB,3/0 =λ&.yr1 =VC,3/0+BC∧Ω3/0 =−d.xr3∧δ&.zr3=d.δ&.yr3 Pour δ=0° on a yr3 yr1
= →λ& =d → .δ&
d
=λ δ &
&
