∑ Console portante de bateau - Corrigé

(1)

Console portante de bateau - Corrigé

Q.1. (0)/(1) : Liaison rotule en A :

{ }

) z , y , x 1 ( 0 rotule

1 0 rotule

A 1 0 rotule

0 0 0 Z

Y X F

r r r













=

→

Q.2. (0)/(1) : Liaison linéaire annulaire d’axe (B, zr

):

{ }

) z , y , x ( 1 0 . A . L

1 0 . A . L

B 1 0 . A . L

0 0 0 0 Y X F

r r

r













= _→

→

Q.3.

1

3

0

Rotule en A Linéaire annulaire d’axe (B_,zr

)

Graphe d’analyse Schéma d’architecture

4

Fg_→

gr zr

yr xr B

1

3

0

4 C

A 2

G 4

2

?

? ?

?

Objectif d’étude: on cherche toutes les inconnues de liaison entre la console 1 et le quai 0 en A et B On isole l’ensemble E=1+2+3+4 et on effectue le B.A.M.E :

1

3

0

Rotule en A Linéaire annulaire d’axe (B_,zr

)

4

Fg_→

gr

yr B

1

3

4 C

A

G 4

2

?

? ?

?

Xrotule 0→1

Zrotule 0→1

Yrotule 0→1

XL.A. 0→1

YL.A. 0→1

E=1+2+3+4

B.A.M.E. :

• 0 → 1 : Liaison rotule en A.

• 0 → 1 : Liaison linéaire annulaire d’axe (B, zr ).

• Pesanteur → 4 : F_g ₄ m.g.zr

−

→ = en G :

{ }

) z , y , x ( G

4 g

0 0 0 g . m

0 0 F

r r

r













−

→ =

On applique le PFS sur l’ensemble E au point A :

∑ { }

^FE_→E =

^{{ }}

⁰ ^→

{

^F^rotule⁰→¹

} {

⁺ ^F^L^.^A^.⁰→¹

}

⁺

{ }

^F^g→⁴ ⁼

^{{ }}

⁰

(2)

→







=









 + 









 + 













→

0 0 ) R ( M

R )

R ( M

R )

R ( M

R

4 g A

4 g 1 A

0 . A . L A

1 0 . A . L 1 A

0 rotule A

1 0 rotule A

r r r

r r

r

Calcul du moment en A de

{

^F^L^.^A^.⁰→¹

}

:

1 0 . A . L 1

0 . A . L B 1 0 . A . L

A(R ) M (R ) AB R

M r _→ = r _→ + ∧r _→

→ M_A(Rr_L_._A_.₀_→₁)=AB∧Rr_L_._A_.₀_→₁

→ ^M^A⁽^R^r^L^.^A^.⁰→¹⁾=^z^B^.^z^r∧

(

^X^L^.^A^.⁰→¹^.^x^r+^Y^L^.^A^.⁰→¹^.^y^r

)

=^z^B^.^X^L^.^A^.⁰→¹^.^y^r−^z^B^.^Y^L^.^A^.⁰→¹^.^x^r

{ }

Fg_→4 :

4 g 4

g G 4 g

A(R ) M (R ) AG R

M r _→ = r _→ + ∧r _→

→ M_A(Rr_g_→₄)=AG∧Rr_g_→₄

→ ^MA⁽^Rg 4⁾

(

^xG^.^x ^yG^.^y ^zG^.^z

) (

^m^.^g^.^z

)

^xG^.^m^.^g^.^y ^yG^.^m^.^g^.^x

r r

r r r

−

=

−

∧ + +

→ =

Ecriture des 6 équations scalaires issues du PFS : 0

X

X_rotule₀_→₁+ _L_._A_.₀_→₁= (1) 0

Y

Y_rotule₀_→₁+ _L_._A_.₀_→₁= (2) 0

g . m

Z_rotule₀_→₁− = (3)

0 g . m . y Y

.

z_B _L_._A_.₀ ₁− _G =

− _→ (4)

0 g . m . x X

.

z_B _L_._A_.₀_→₁+ _G = (5) 0

0= (6)

Le nombre d'inconnues Is = 5 ≤ 6 → on peut résoudre.

(3) → Z_rotule₀_→₁=m.g (7)

(4) → .m.g

z Y y

B G 1 0 . A .

L _→ =− (8)

(5) → .m.g

z X x

B G 1 0 . A .

L _→ =− (9)

(1)+(9) → .m.g

z X x

B G 1 0

rotule _→ = (10)

(2)+(8) → .m.g

z Y y

B G 1 0

rotule _→ = (11)

Q.4.

1

3

0

Rotule en A Linéaire annulaire d’axe (B,zr

)

Graphe d’analyse Schéma d’architecture

4

Fg_→

gr zr

yr xr B

1

3

0 C 4

A 2

G 4

2

?

? ?

?

x . F F_vent ₄ _vent ₄ r

→

→ =− x

. F F_verin ₁ _verin ₁r

→

→ =

4

Fvent_→ 1

verin

F _→

Objectif d’étude: on cherche l’expression de l’inconnue F_verin_→₁ Etape 4 : On isole l’ensemble E=1+2+3+4 et on effectue le B.A.M.E :

(3)

1

3

0

Rotule en A Linéaire annulaire d’axe (B,zr

)

4

Fg_→

gr

yr B

1

3

C 4

A

G 4

2

?

? ?

?

Xrotule 0→1

Zrotule 0→1

Yrotule 0→1

XL.A. 0→1

YL.A. 0→1

x . F F_vent ₄ _vent ₄ r

→

→ =− x

. F F_verin ₁ _verin ₁r

→

→ =

4

Fvent_→ 1

verin

F _→

E=1+2+3+4

B.A.M.E. :

• 0 → 1 : Liaison rotule en A.

• 0 → 1 : Liaison linéaire annulaire d’axe (B, zr ).

• Pesanteur → 4 : F_g ₄ m.g.zr

−

→ = en G.

• Vent → 4 : F_vent ₄ F_vent ₄.xr

→

→ =− en G.

• Vérin → 1 : F_verin ₁ F_verin ₁.xr

→

→ = en C.

L’inconnue recherchée est F_verin_→₁, les actions mécaniques connues sont F_vent_→₄et F_g_→₄ → L’écriture du théorème du moment statique au point B projeté sur l’axe zr

permet d’obtenir une équation scalaire qui relie directement F_verin_→₁ aux données connues du problème.

Théorème du moment statique au point B projeté sur l’axe zr

(

^M^B⁽^F^rotule⁰→¹⁾⁺^M^B⁽^F^L^.^A^.⁰→¹⁾⁺^M^B⁽^F^g→⁴⁾⁺^M^B⁽^F^vent→⁴⁾⁺^M^B⁽^F^verin→¹ : ⁾

)

^.^z⁼⁰

r r r

r r

r

0 z ).

F ( M z ).

F (

M_B r_vent_→₄ r+ _B r_verin_→₁ r= 0 F

. y F

.

y_G _vent_→₄+ _C _verin_→₁=

4 vent C G 1

verin .F

y

F _→ =−y _→ → .F .x

y

F y _vent ₄

C G 1 verin

r

→

→ =−

A.N. : .15000 7500

4

F₁_→_verin=2 = N < 10000 N → C.d.C.F. ok.

Bouche de Climatisation - Corrigé

Q.1. (0)/(1) : Liaison rotule en A :

{ }

) z , y , x 1 ( 0 rotule

1 0 rotule

A 1 0 rotule

0 0 0 Z

Y X F

r r r













=

→

Q.2. (0)/(1) : Liaison linéaire annulaire d’axe (O, yr ):

{ }

) z , y , x 1 ( 0 . A . L

1 0 . A . L

O 1 0 . A . L

0 0 0 Z

0 X F

r r

r













=

→

1

3

0 2

Rotule de centre B

Rotule de centre D

Pivot glissant d’axe (D,xr₂

) Rotule de

centre O Linéaire annulaire d’axe (A_,yr

)

Graphe d’analyse

gr Fair_→1

fluide

Q.3. On isole l’ensemble 2+3 et on effectue le B.A.M.E. :

(4)

• Action de 1 sur 2 rotule de centre B :

{ }











 =−

= ^→

→ 0

x . S . p

F F¹ ² ²

B 2 1

r

(donné)

• Action de 0 sur 3 rotule de centre D :

{ }

) z , y , x 3 ( 0

3 0

D 3 0

0 0 0 Z Y X F

r r

r













=

→

L’ensemble est soumis à 2 forces : ces forces ont même norme et sont directement opposées.

zr

yr xr

3

C B

D 2

2

F1_→

3

F0_→

zr

xr

3 B

D 2

2

F1_→

3

F0_→

α

e d

xr2

D’où :

{ }

) z , y , x 2 ( 1

2 1

B 2 2

1 B 2 1

0 0 0 Z

0 X 0

x . S . p F F

r r r

r













=









 =−

=

→

→ → où ^X1_→2=−^p^.^S^.^cosα et ^Z1_→2 =−^p^.^S^.^sinα

et

{ }

) z , y , x 3 ( 0

3 0

D 2 3

0 D 3 0

0 0 0 Z

0 X 0

x . S . p F F

r r r

r













=









 =

=

→

→ → où ^X0_→3=^p^.^S^.^cosα et ^Z0_→3=^p^.^S^.^sinα

Q.4. On isole le solide 1et on effectue le B.A.M.E. :

• Action de 2 sur 1 rotule de centre B : F₂ ₁ p.S.xr₂

→ =

• (0)/(1) : Liaison rotule en A.

• (0)/(1) : Liaison linéaire annulaire d’axe (O, yr ).

• Action de l’air sur 1 en M : F_air ₁ F_air ₁.xr

→

→ = zr

xr

B

1

X2_→

d

1

Z2_→

M G l

1

Fair_→

g . m O

On applique le P.F.S. sur 1 au point O et on utilise le théorème du moment statique projeté sur l’axe yr

(

^MÔ⁽^Fâir→¹⁾⁺^MÔ⁽^F^Rotule⁰→¹⁾⁺^MÔ⁽^F^LA⁰→¹⁾⁺^MÔ⁽^F^g→¹⁾⁺^MÔ⁽^F²→¹⁾

)

^.^y⁼⁰

r r r

r r

r

(

^MÔ⁽^F^râir^→¹⁾⁺^MÔ⁽^F^r²^→¹⁾

)

^.^y^r⁼⁰^→

(

ÔM^∧^Fâir^→¹⁺ÔB^∧^F²^→¹

)

^.^y^r⁼⁰

→ −.lF_air_→₁+d.p.S.cosα =0^→ .Fair 1

cos . d S l .

p = _→

α

Q.5. .F_air ₁

cos . d S l .

p = _→

α ^→ ^S^.^d^.^cosα F p= .l^air^→¹

A.N. :

30) cos(arctan20 20

10 . 20

150 p 40

4× ×

= ×

− = 180300 Pa = 0,18 MPa = 1,8 Bars << 10 Bars → C.d.C.F. ok.

(5)

Suspension automobile - Corrigé

3 1

Pivot d’axe (B,zr ) Graphe d’analyse

4 2 6

9

Pivot d’axe (C,zr )

Pivot d’axe (E,xr ) Pivot d’axe (D,zr

) Pivot d’axe (H,zr Pivot d’axe (J,zr )

)

Pivot d’axe (A, zr )

6

F0_→

Hypothèse :

Problème de plan P(O yxrr ).

Le torseur d’action mécanique se simplifie systématiquement comme ci-dessous :

) z , y , x ij (

ij ij

ij ij ij

O N

M L Z Y X

r r

r













Q.1. On isole le solide 3 et on effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) : Solide soumis à 2 forces alors ces 2 forces ont même norme et sont directement opposées.

→ X13 + X43 = 0 et Y13 = Y43 = 0.

3 1

4 2 6

9

)

6

F0_→

Q.2. On isole l’ensemble E={4+6} et on effectue le BAME :

• 2 → 4 : Liaison pivot d’axe (D, zr ) :

{ }

) z , y , x ( 24 24

D 4 2

0 0 0 0 Y X F

r r

r













→ =

3 1

4 2 6

9

)

6

F0_→

• 3 → 4 : Liaison pivot d’axe (C, zr

) :

{ }

) z , y , x ( 34

34

C 4 3

0 0 0 0 Y X F

r r

r













→ = et Y34 = 0 (Q.1.)

• 0 → 6 : AcTon mécanique du sol sur la roue en L :

{ }

) z , y , x ( 06 L 6 0

0 0 0 0 F

0 F

r r

r













→ =

On applique le PFS sur E={4+6} en D :

∑ { }

^FE_→E =

^{{ }}

⁰ ^→

{ } { } { }

^F3_→4 + ^F2_→4 + ^F0_→6 =

{ }

⁰

→

{ }

⁰

) R ( M

R )

R ( M

R )

R ( M

R

6 0 D

6 0 4 D

2 D

4 2 4 D

3 D

4 3 D

=



 + 





 + 









→

→ r

r r

r

Calcul du moment en D de

{ }

F3_→4 : M_D(Rr₃_→₄)=M_C(Rr₃_→₄)+DC∧Rr₃_→₄

→ M_D(Rr₃_→₄)=DC∧Rr₃_→₄

(6)

→ M_D(Rr₃ ₄) (c.xr a.yr) X₃₄.xr a.X₃₄.zr

=

∧

−

→ =

Calcul du moment en D de

{ }

F0_→6 : M_D(Rr₀_→₆)=M_L(Rr₀_→₆)+DL∧Rr₀_→₆

→ M_D(Rr₀_→₆)=DL∧Rr₀_→₆

→ ^MD⁽^R0 6⁾

(

⁽^c ^e^).^x ⁽^a ^).^y⁾

)

^F06^.^y ⁽^c ^e^).^F06^.^z

r r

r r r

+

=

∧ +

− +

→ = µ

Ecriture des 3 équations scalaires issues du PFS (problème plan) : 0

X

X₃₄+ ₂₄= (1)

0 F

Y₂₄+ ₀₆= (2)

0 F ).

e c ( X .

a ₃₄+ + ₀₆= (3)

Q.3. On isole le solide 9 et on effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) : Solide soumis à 2 forces alors ces 2 forces ont même norme et sont directement opposées.

→ Y19 + Y29 = 0 et X19 + X29 = 0.

3 1

4 2 6

9

)

6

F0_→

Q.4. On isole le solide 2 et on effectue le BAME :

• 9 → 2 : AcTon du ressort sur 2 en H:

{ }

) z , y , x ( 92 H 2 9

0 0 0 0 Y

0 F

r r

r













→ =

3 1

4 2 6

9

)

6

F0_→

• 1 → 2 : Liaison pivot d’axe (A, zr

) :

{ }

) z , y , x ( 12 12

A 2 1

0 0 0 0 Y X F

r r

r













→ =

• 4 → 2 : Liaison pivot d’axe (D, zr

) :

{ }

) z , y , x ( 42 42

D 2 4

0 0 0 0 Y X F

r r

r













→ =

On applique le PFS sur 2 en A :

∑ { }

^FE_→E =

^{{ }}

⁰ ^→

{ } { } { } { }

^F9_→2 + ^F1_→2 + ^F4_→2 = ⁰

→

{ }

⁰

) R ( M

R )

R ( M

R )

R ( M

R

2 4 A

2 4 2 A

1 A

2 1 2 A

9 A

2 9 A

=



 + 





 + 









→

→ r

r r

r

{ }

F9_→2 : M_A(Rr₉_→₂)=M_H(Rr₉_→₂)+AH∧Rr₉_→₂

→ M_A(Rr₉_→₂)=AH∧Rr₉_→₂

→ M_A(Rr₉ ₂) (L.xr h.yr) Y₉₂.yr L.Y₉₂.zr

=

∧ +

→ =

{ }

F4_→2 : M_A(Rr₄_→₂)=M_D(Rr₄_→₂)+AD∧Rr₄_→₂

→ M_A(Rr₄_→₂)=AD∧Rr₄_→₂

→ M_A(Rr₄ ₂) d.xr (X₄₂.xr Y₄₂.yr) d.Y₄₂.zr

= +

∧

→ =

(7)

Ecriture des 3 équations scalaires issues du PFS (problème plan) : 0

X

X₁₂+ ₄₂= (4)

0 Y Y

Y₉₂+ ₁₂+ ₄₂= (5)

0 Y . d Y .

L ₉₂+ ₄₂= (6)

Q.5. X₃₄+X₂₄=0 (1)

0 F

Y₂₄+ ₀₆= (2)

0 F ).

e c ( X .

a ₃₄+ + ₀₆= (3)

0 X

X₁₂+ ₄₂= (4)

0 Y Y

Y₉₂+ ₁₂+ ₄₂= (5)

0 Y . d Y .

L ₉₂+ ₄₂= (6)

On a 6 équations pour 6 inconnues → on peut résoudre le système.

(2) → Y₂₄=−F₀₆ (7)

(3) → ₃₄ .F₀₆ a

) e c

X =−( + (8)

(1) + (8) → ₂₄ ₃₄ .F₀₆ a

) e c X (

X =− = + (9)

(4) + (9) → ₁₂ ₄₂ ₂₄ .F₀₆ a

) e c X ( X

X =− = = + (10)

(6) +(7) → ₉₂ ₄₂ ₂₄ .F₀₆ L Y d L. Y d L.

Y =−d = =− (11)

(5) + (11) → ₁₂ ₉₂ ₄₂ ₉₂ ₂₄ .F₀₆ F₀₆ L

Y d Y Y Y

Y =− − =− + = − (12)

Q.6. =− =− ×9,81=−

4 .2200 15 F 25 L.

Y₉₂ d ₀₆ 8992,5 N

y . k

Y₉₂= → 0,0899

100000 5 , 8992 k

y=Y⁹² =− =− m soit 9 cm < 12 cm → C.d.C.F. ok.

Broyeur - Corrigé

Q.1. Graphe des liaisons du système :

Q.2. Figures géométrales :

3

2 1

0 Rotule

en C Pivot d’axe

(A,yr₀ )

Pivot glissant d’axe (B,yr₀

)

Pivot glissant d’axe (D,zr₀

)

θ10

z1

r

y1

r =yr₀ zr₀ xr0

x1

r

θ21

z2

r

yr1

=yr₂ zr₁ x1

r xr2

θ30

yr3

z0

r =zr₃ xr⁰ x3

r y0

r

(8)

Q.3. Pour la position particulière θ₁₀=0°^etθ₃₀=0°^:

2 1

0 y y

y r r

r = =

0

D 1 0

2 3

1

0 z

z r

r =

A B

C

y3

r

Q.4. Fermeture géométrique : AA 0

=r→ AB BC CE ED DA R.zr₁ (t).yr₁ h(t).zr₀ L.yr₃ d.yr₁

− +

= + + +

+ λ

En projection dans R0 :







=

−

=

− +

=

− 0 ) t ( h cos . R

0 d cos . L ) t (

0 sin . L sin . R

10 30

30 10

θ θ λ

θ θ

→ h(t)=R.cosθ₁₀

→

=

−

=

10 30

30

sin . R sin . L

) t ( d cos . L

θ θ

λ

θ →L²=(d−λ(t))²+R².sin²θ₁₀→ 10 2 2 2 R .sin L

d ) t

( θ

λ = − −

→

−

=

) t ( d cos . L

sin . R sin . L

30

10 30

λ θ

θ

θ →

) t ( d

sin .

tan ₃₀ R ¹⁰

λθ

θ = − →

10 2 2 2

10 30

sin . R L ) t ( d

sin . tan R

θ λ

θ θ

−

=

= − Q.5. Liaison 0-1 : Pivot d’axe (A,yr₀

)

→

{ }

B0

01 01

01 01 01

A 1 0

N 0 L Z Y X F













→ =

Q.6. Liaison 2-1 : Pivot glissant d’axe (B,yr₀ ) →

{ }

B0

21 21

B 1 2

N 0 L Z

0 X F













→ =

Q.7. Liaison 3-2 : Rotule en C →

{ }

B0

32 32 32

C 2 3

0 0 0 Z Y X F













→ =

Q.8. Liaison 0-3 : Pivot glissant d’axe (D,zr₀ )

→

{ }

B0

03 03 03 03

D 3 0

0 M

L 0 Y X F













→ =

Q.9. On isole le solide 1 + BAME :

3

2 1

0 Rotule

en C Pivot d’axe

(A,yr₀ )

)

) Moteur

{ }











= 

→

0 p

0 p D 3

P N .z

z . Z

F r

r

{ }







= 

→

0 A m 1

M C .y

F 0 r

r

On applique le PFS sur le solide 1 :

→ Théorème du moment statique au point A et en projection sur l’axe yr₀

:

1

z0

r A

B z1

r x0

r

θ10

Z₂₁ X₂₁

X10

Z₁₀ Cm

0 C y ).

R AB

( ∧ ₂_→₁ r₀+ _m =

0 C y )).

z . Z x . X ( z . R

( r₁∧ ₂₁r₀+ ₂₁r₀ r₀+ _m= 0 C sin . Z . R cos . X .

R ₂₁ θ₁₀− ₂₁ θ₁₀+ _m=

(9)

3

2 1

0 Rotule

en C Pivot d’axe

(A,yr₀ )

)

) Moteur

{ }











= 

→

0 p

0 p D 3

P N .z

z .

F Z r

r

{ }







= 

→

0 A m 1

M C .y

F 0 r

r

Attention le système est soumis à 2 actions mécaniques mais l’action mécanique du solide 2 sur le solide 2 n’est pas un glisseur !

On applique le PFS sur le solide 2 :

→ Théorème de la résultante statique :

2 B C

xr0

X₁₂

y0

r Z12 Z32

X32

Y32

L12

z0

r M12







= +

=

= +

0 Z Z

0 Y

0 X X

12 32 32

12 32

→ Y32 = 0

3

2 1

0 Rotule

en C Pivot d’axe

(A,yr₀ )

)

) Moteur

{ }











= 

→

0 p

0 p D 3

P N .z

z . Z

F r

r

{ }







= 

→

0 A m 1

M C .y

F 0 r

r

On applique le PFS sur le solide 3 : C 3

D Y23 =0

yr3

Z23

X23

Y03

X03

x0

r yr⁰

z0

r

L₀₃ ZP

NP

M₀₃

→ Théorème de la résultante statique : 0 z . Z x . X z . Z y . Y x .

X₀₃ ₀ ₀₃ ₀ _P ₀ ₂₃ ₀ ₂₃ ₀ r r r

r r

r + + + + =

→ Théorème du moment statique au point D : 0

z . N y . M x . L R

DC ₂ ₃ ₀₃ ₀ ₀₃ ₀ _P ₀

r r r

r + + =

+

∧ _→

→ Théorème de la résultante statique en projection dans R0 :







= +

=

= +

0 Z Z

0 Y

0 X X

23 P 03

23 03

→ Théorème du moment statique au point D :

=

∧R2_→3

DC ( L.yr₃ h(t).zr₀) (X₂₃.xr₀ Z₂₃.zr₀) L.yr₃ X₂₃.xr₀ L(t).yr₃ Z₂₃.zr₀ h(t).zr₀ X₂₃.xr₀

∧ +

∧

−

∧

−

= +

∧ +

−

0 23 3

23 0 30

23.cos .z L.Z .x h(t).X y X

.

L r r r

+

−

= θ







= +

−

=

−

0 cos . X . L N

0 X ).

t ( h sin . Z . L M

0 cos . Z . L L

30 23 P

23 30

23 03

30 23 03

θ θ θ

0 Z

Z_P+ ₂₃= L₃₀−L.Z₂₃.cosθ₃₀=0 ^NP+^L^.^X23^.^cosθ30=⁰ Q.12. De la question 9, on a : R.X₂₁.cosθ₁₀−R.Z₂₁.sinθ₁₀+C_m=0^.

(10)

De la question 10, on a :





=

−

=

−

=

21 12 32

Z Z Z

X X

X .

De la question 11 on a :−Z_P=Z₂₃ → Z_P =Z₃₂et

30 P 23 L.cos X N

− θ

= →

30 P 32 L.cos X N

= θ 0

C sin . Z . R cos cos .

. L . N

R ₁₀ _P ₁₀ _m

30

P θ − θ + =

θ ^→ 30 ¹⁰ ^P ¹⁰

P

m .cos R.Z .sin

cos . L . N R

C θ θ

θ ⁺

−

=

Q.13. En considérant que le couple de broyage nul, on a : C_m=R.Z_P.sinθ₁₀→

R Z_P_,_min_i =C^m

A.N. : 5,33

10 . 3

16 ,

Z_P_,_max = 0 ₋₂ = N > 5 N → Le critère effort minimal du cahier des charges est respecté.

Machine de traction – Corrigé

Q.1.

1

0

Pivot d’axe (A,yr ) Graphe d’analyse

Glissière d’axe (C,yr 2 ) Hélicoïdale d’axe (B,yr

)

{ }











−

→ =

0 y 2. F F

O 2

éprouvette r

r

{ }





= 

→ M .y F 0

A 41 1

4 r

r

Le respect de la condition de symétrie impose de diviser par 2 l’effort F.

Q.2. 1/0 : Pivot d’axe (A,yr

) :

{ }









+ +

= +













→ = L .x N .z

z . Z y . Y x . X N

0 L Z Y X F

01 01

01 01 01 A ) z , y , x 01 ( 01

01 01 01

A 1

0 v r

r v r

r r r

2/0 : Glissière d’axe (C,yr

) :

{ }









+ +

= +













→ = L .x M .y N .z z . Z x . X N

M L Z

0 X F

02 02 02

02 02 C

) z , y , x 02 ( 02 02

02 02

C 2

0 v r r

r v

r r r

Q.3. 1 → 2 : Hélicoïdale d’axe (B,yr

) :

{ }









+ +

+

= +

→ L .x M .y N .z z . Z y . Y x . F X

12 12 12

12 12 12 B 2

1 v r r

r v r

avec ₁₂ Y₁₂ . 2 M pas

− π

=

Q.4. On isole le solide 2 + B.A.M.E. : 1

0

)

{ }











−

→ =

0 y 2. F F

O 2

éprouvette r

r

{ }





= 

→ M .y F 0

A 41 1

4 r

r

(11)

B.A.M.E. :

• 0 → 2 : Glissière d’axe (C,yr

) :

{ }









+ +

= +













→ = L .x M .y N .z z . Z x . X N

M L Z

0 X F

02 02 02

02 02 O

) z , y , x 02 ( 02 02

02 02

O 2

0 v r r

v r

r r r

• 1 → 2 : Hélicoïdale d’axe (B,yr

) :

{ }









+ +

+

= +

→ L .x M .y N .z z . Z y . Y x . F X

12 12 12

12 12 12 B 2

1 v r r

r r v

− π

=

• éprouvette → 2 :

{ }











−

→ =

0 y 2. F F

O 2

éprouvette r

r

Etape 5 : On applique le PFS sur 2 au point B.

{ }

^FE 2 =

{ }

⁰

∑

_→ ^→

{ } { }

^F0_→2 + ^F1_→2 +

{

^Féprouvette_→2

}

=

{ }

⁰

→

{ }

⁰

) R

( M

R )

R ( M

R )

R ( M

R

2 éprouvette B

2 éprouvette 2 B

1 B

2 1 2 B

0 B

2 0 B

=







 + 





 + 









→

→ r

r r

r

Calcul du moment en B de

{ }

^F⁰→² :

2 0 2

0 C 2 0

B(R ) M (R ) BC R

M r _→ = r _→ + ∧r _→

→ ^MB⁽^R0 2⁾ ^L02^.^x ^M02^.^y ^N02^.^z

(

^D^.^x ^h^.^y

) (

^X02^.^x ^Z02^.^z

)

v r r

r r v r

r _→ = + + + + ∧ +

→ M_B(Rr₀ ₂) L₀₂.xv M₀₂.yr N₀₂.zr D.Z₀₂.yr h.X₀₂.zr h.Z₀₂.xr +

−

− + +

→ =

{

^F^éprouvette→²

}

:

2 éprouvette 2

éprouvette O

2 éprouvette

B(R ) M (R ) BO R

M r _→ = r _→ + ∧r _→

→ .z

2 .F D y 2. x F . D ) R

(

M_B r_éprouvette ₂ r r r

−

=

−

∧

→ =

Ecriture des 6 équations scalaires issues du PFS : 0

X

X₀₂+ ₁₂= (1)

2 0

Y₁₂−F= (2)

0 Z

Z₀₂+ ₁₂= (3)

0 L Z . h

L₀₂+ ₀₂+ ₁₂= (4)

0 . Y

2 Z pas . D

M₀₂− ₀₂− ₁₂=

π ⁽⁵⁾

0 2 N

.F D X . h

N₀₂− ₀₂− + ₁₂= (6)

Le nombre d'inconnues Is > 6 → on ne peut pas résoudre le système seul. Il faut donc injecter des équations scalaires supplémentaires.

Q.5. On isole le solide 1 + B.A.M.E. : 1

0

)

{ }











−

→ =

0 y 2. F F

O 2

éprouvette r

r

{ }





= 

→ M .y F 0

A 41 1

4 r

r

(12)

B.A.M.E. :

• 0 → 1 : Pivot d’axe (A,yr

) :

{ }









+ +

= +













→ = L .x N .z

z . Z y . Y x . X N

0 L Z Y X F

01 01

01 01 01 A ) z , y , x 01 ( 01

01 01 01

A 1

0 v r

r v r

r r r

• 2 → 1 : Hélicoïdale d’axe (B,yr

) :

{ } { }

F2_→1 =− F1_→2









−

= −

z . N y . M x . L

z . Z y . Y x . X

12 12 12

12 12 12 B

r v r

r r v

− π

=

• Courroie 4 → 1 :

{ }







= 

→ M .y F 0

A 41 1

4 r

r

Etape 5 : On applique le PFS sur 1 au point B.

{ }

^FE 1 =

^{{ }}

⁰

∑

_→ ^→

{ } { } { } { }

^F0_→1 + ^F2_→1 + ^F4_→1 = ⁰ →

{ }

⁰

) R ( M

R )

R ( M

R )

R ( M

R

1 4 B

1 4 1 B

2 B

1 2 1 B

0 B

1 0 B

=



 + 





 + 









→

→ r

r r

r

{ }

^F⁰→¹ : M_B(Rr₀_→₁)=M_A(Rr₀_→₁)+BA∧Rr₀_→₁

→ ^MB⁽^R0 1⁾ ^L01^.^x ^N01^.^z ^L^.^y

(

^X01^.^x ^Y01^.^y ^Z01^.^z

)

r v r

r _→ = + +− ∧ + + → M_B(Rr₀ ₁) L₀₁.xv N₀₁.zr L.X₀₁.zr L.Z₀₁.xv

− +

+

→ =

{ }

^F⁴→¹ : torseur couple → M_B(Rr₄ ₁) M₄₁.yr

→ = Ecriture des 6 équations scalaires issues du PFS :

0 X

X₀₁− ₁₂= (7)

0 Y

Y₀₁− ₁₂= (8)

0 Z

Z₀₁− ₁₂= (9)

0 L Z . L

L₀₁− ₀₁− ₁₂= (10)

0 . Y

2 M₄₁+pas ₁₂=

π ⁽¹¹⁾

0 N X . L

N₀₁+ ₀₁− ₁₂= (12)

Etape 6 : Le nombre d'inconnues Is = 10 > 6 → on ne peut pas résoudre le système seul

Q.6. (11) + (2) → Y 0

. 2 M₄₁+pas ₁₂=

π ^et ² ⁰

Y₁₂−F= → F

. 4 M₄₁ pas

− π

=

Q.7. Cmot = F

. 2 M pas . 2 ₄₁

− π

= Q.8.

pas . 2 .

F=−C^mot π A.N. : ₃ 10 . 3

. 2 .

F=−20 ₋π = 41800 N > 20000 N C.d.C.F. ok.

Etude statique d’un remonte pente - Corrigé

Q.1.

1

0

Graphe de structure

2

3

Pivot d’axe (B,zr

)

Pivot d’axe (C,zr

)

Pivot d’axe (O,zr

)

Pivot d’axe (O,zr

)

4

Pivot d’axe (O,zr

)