Exercice 1 : Diagrammes de Bode :

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DM3 SLCI ¹ Janvier 21

Exercice 1 : Diagrammes de Bode :

Soit la fonction transfert suivante :

 



 



p p

H     



 

1 . 0 1 10 1

1 ) 10

(

Q1. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de H(jω) sur le document réponse.

Q2. Donner les expressions du gain en décibels et de la phase en degrés de H(jω).

Q3. Calculer les valeurs numériques du gain et de la phase pour : ω = 0,3 rad.s^{- 1}, ω = 1 rad.s^-1 et ω = 3 rad.s^-1

Q4. En déduire l’allure des diagrammes de Bode de H(jω)

Exercice 2 :

I Présentation :

La roue autonome "easy-wheel" propose une solution simple pour tracter des équipements de manutention et de transport de charges, des véhicules légers et matériels médicaux.

La solution intègre, au sein d’une roue, tous les composants nécessaires à la traction : la motorisation électrique, des batteries haute énergie de très longue durée de vie, un contrôleur de puissance assurant un pilotage optimal et la gestion de la batterie ainsi qu’une interface de commande sans fil. La transmission de l’énergie est réalisée par un variateur (incorporé à la carte de commande), un moteur brushless, puis un réducteur.

1d'après CCMP

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Nous nous proposons, dans ce sujet, d’étudier l’implantation de la roue autonome sur un fauteuil roulant. Pour ce genre d’application, où il est nécessaire de mettre en place deux roues autonomes sur le fauteuil, la commande des roues n’est pas aussi simple que pour des applications à une seule roue. En effet, en plus de gérer le mouvement d’avance du fauteuil, il faut également gérer ses changements de direction. Les deux easy-Wheel étant implantées sur chacune des deux roues arrières, le pilotage des deux roues est lié afin de maîtriser la direction du fauteuil. Chacune des deux roues est alors asservie par l’intermédiaire de capteurs mesurant la vitesse de rotation de l’arbre du moteur brushless.

Le fonctionnement du fauteuil motorisé désiré est le suivant : l’utilisateur fournit une commande au système via un joystick. La carte de commande génère alors un ordre au variateur qui distribue une énergie électrique adaptée au moteur électrique. L’énergie mécanique de rotation fournie par le moteur électrique est alors adaptée et transmise aux roues. Afin d’assurer l’asservissement en vitesse des roues (et donc du fauteuil), des capteurs permettent de mesurer la vitesse de rotation sur l’arbre de sortie du moteur.

Extrait du cahier des charges :

N° Qualification Critères Valeurs

FS1 Permettre à l'utilisateur de se déplacer par rapport au sol

Stabilité : Marge de phase



45

Précision :

Erreur statique pour une vitesse Vcons en ligne droite

 2%

Dépassement sur la vitesse aucun

Rapidité :

Temps de réponse à 5% pour chaque consigne

s 3 .

0

Modélisation de l’asservissement en vitesse d’un moteur :

Une roue easy-Wheel est composée d’un moteur brushless, d’un réducteur de rapport de transmission

= 5,25 dont l’arbre de sortie est solidaire à une roue arrière du fauteuil roulant. Trois capteurs à effet Hall permettent de mesurer la vitesse de rotation de l’arbre moteur. On modélisera le moteur brushless comme un moteur à courant continu :

 dt

t L di t i R t e t

u_{m m m m} ^m( )

) ( )

( )

(     

 e_m(t)K_e_m(t)

 () () ()

t C t dt C

t

Jd^m  _m  _r

 C_m(t)K_ii_m(t)

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Où :

• um est la tension aux bornes de l’induit (en V) ;

• im est l’intensité circulant dans l’induit (en A) ;

• em est la tension contre-électromotrice (en V) ;

• m est la vitesse de rotation de l’arbre moteur (en rad· s⁻¹) ;

• Cm est le couple moteur (en N· m) ;

• Cr est le couple résistant appliqué sur l’arbre moteur (en N · m) ;

• Rm est la résistance de l’induit Rm = 0,18 Ω ;

• L est l’inductance de l’induit, L = 0,8 mH ;

• J est la moitié de l’inertie équivalente de l’ensemble du fauteuil en charge et en mouvement ramené à un arbre moteur J = 0,5 kg· m² ;

• Ki est la constante de couple du moteur Ki = 0,2 N· m· A^{− 1} ;

• Ke est la constance de force contre-électromotrice Ke = 0,2 V · s · rad⁻¹.

Les capteurs à effet Hall seront modélisés par un gain pur : Kcap (on prendra Kcap = 0,2 V·s·rad⁻¹). La sortie du capteur, notée m(t), est soustraite à la sortie de l’amplificateur qui permet de convertir la vitesse de consigne, notée cons(t), en une tension de consigne u^cons(t) = Ka .ωcons(t).

L’écart obtenu est alors corrigé par un correcteur de fonction de transfert C(p) dont la sortie est la tension d’alimentation du moteur um(t).

On suppose que le correcteur a pour fonction de transfert C(p) = Kp avec Kp > 0.

II Travail demandé :

Q1. Compléter, sur le document réponse, le schéma bloc modélisant l’asservissement en vitesse de rotation d’un moteur. Comment choisir le gain K^a pour que la vitesse angulaire de l’arbre moteur soit correctement asservie ?

On note les fonctions de transfert H1 (p) et H2(p) telles que : Ωm(p) = H1(p).Ωcons (p) − H2(p).Cr(p) Q2. Montrer que :

   

1

1 ) (

K p K K K

L p J

K K K K

R J

K K K

K K p

H

e p cap i

m e

p cap i

m

e p cap

p cap

 





 

 





 









Q3. Donner l’expression canonique de H2(p) en fonction de Kcap, Kp, Ke, Ki, Rm, Lm et J. (voir document réponse)

Dans la suite du problème, la perturbation sera définitivement négligée : C^r(t) = 0. On note :

 

FTBO 

) ) (

(  la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte du système.

Q4. A l’aide de l’expression de H1(p) donnée à la Q2 et en remarquant que Ke = Kcap = Ki , déterminer la forme canonique littérale de FTBO(p).

On prendra dans la suite du problème :

01 2

. 0 25 . 2 ) 1

( p p

p K

FTBO ^p







 

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Etude de la stabilité :

Q5. Réaliser, sur le document réponse, le tracé asymptotique des diagrammes de Bode de la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte pour K^p=1. Pour le diagramme de gain, une division correspond à 10 dB et pour celui de la phase, une division correspond à 45°. Indiquer les origines des axes des ordonnées. En déduire l’allure du tracé réel.

Définition de la marge de phase² :

Q6. A partir du diagramme de Bode précédemment tracé et en remarquant que l’argument de K^p est nul, déterminer la condition numérique (sous forme d’une inégalité) que doit vérifier K^p pour satisfaire le critère de stabilité du cahier des charges.

Etude de la précision :

Dans cette partie du problème, la perturbation sera toujours négligée : Cr(t) = 0.

Q7. Pour une entrée échelon, ωcons = ωc u(t) où u(t) représente la fonction d’Heaviside, donner la valeur finale de ωm(t) en fonction de K^cap, K^p, K^e et ωc.

En remarquant que Ke = Kcap, en déduire les valeurs de Kp qui permettent la validation du critère de précision de la vitesse du fauteuil imposé par le cahier des charges.

Etude de la rapidité et du dépassement :

On notera a le coefficient d’amortissement et ωn la pulsation propre du dénominateur de H1(p).

Q8. Donner les expressions littérales de a et de ωn en fonction de K^cap, K^p, K^e, Kⁱ, R^m, L^m et J. Donner leurs expressions numériques en fonction de Kp.

Q9. Quelle valeur de a permet d’obtenir une réponse de la roue la plus rapide sans dépassement ? Quelle est alors la valeur numérique de Kp ?

Q10. A partir de l’abaque du document réponse, réaliser les tracés permettant de donner le temps de réponse à 5% d’un moteur pour la valeur de K^p déterminée à la question précédente. Conclure quant au respect du cahier des charges.

2 Voir le paragraphe en fin de sujet : Déterminer les marges de stabilité.

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Documents réponses : Exercice 1 :

Exercice 2 :

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Q3. H2(p) est la fonction de transfert

) (

) (

p C

p

r m



 lorsqu’on annule la consigne Ωcons(p).

Q5. Tracé asymptotique des diagrammes de Bode de la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte :

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Q10. Abaque du temps de réponse :

Déterminer les marges de stabilité :

Critère du Revers : Dans le plan de Bode, si pour la pulsation telle que le gain est nul , la phase est supérieure à 180°, et si pour une phase de -180°, le gain en dB est négatif alors le système est stable en boucle fermée (deux critères à verifier simultanément).

Méthode :

Pour estimer la qualité de la stabilité, on définit des marges de stabilité :

 Marge de phase : M_180arg





 

 Marge de gain : M_G 020logFTBO







Les marges de phase et de gain peuvent etre mesurées sur les diagrammes de Bode.

 Pour déterminer la marge de phase, on se place à la pulsation 𝜔_0𝑑𝐵où la courbe de gain coupe l’axe à 0 dB, puis on détermine la distance entre la phase et à cette pulsation et la droite à - 180 °. La marge est positive si on est au dessu de -180°

 Pour déterminer la marge de gain, on se place à la pulsation 𝜔₁₈₀ où la phase coupe la droite à -180°, puis on détermine la distance entre le gain correspondant à cette pulsation et l’axe à 0 dB. La marge est positive si on se situe en dessous de 0 dB.

Les valeurs des marges données dans les cahiers des charges pour assurer une bonne sécurité vis-à-vis des imperfections de modélisation sont : 𝑀_𝜑 = 45° à 50 ° et 𝑀_𝐺= 10 à 12 𝑑𝐵.

a