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Un circuit comprend en série un générateur de force électromotrice E (en volts) et une bobine de résistance r (en ohms) et d’inductance L (en henrys). A l’instant t (en secondes), on note i(t) l’intensité en ampères, du courant dans le circuit.
La fonction i suit la loi : Li’ + Ri = E.
1. a. Résoudre cette équation différentielle.
Li’ + Ri = E ⇔ Li’ = − Ri + E ⇔ i’ = −(R/L)i + (E/L)
cette équation a pour solutions les fonctions définies par i(t) = k e(−R/L)t + E/R avec k ∈ IR.
b. Déterminer l’expression de i(t) sachant que i(0) = 0.
i(0) = 0 ⇔ k + E/R = 0 ⇔ k = −E/R donc i(t) = (−E/R) e(−R/L)t + E/R c'est à dire i(t) = (E/R)[1 − e(−R/L)t ] info : Le quotient L/R est homogène à une durée.
τ = L/R est appelé la constante de temps de la bobine.
2. a. Etudier la limite llll de i lorsque t tend vers +∞∞∞. ∞
quand t → +∞, (−R/L)t → −∞ donc e(−R/L)t→ 0 ; on a alors lim
t→+∞ i(t) = E/R = l.
b. Quel pourcentage, arrondi à l’unité, de sa valeur limite llll, l’intensité atteint−elle au bout de ττττ secondes ? de 5ττττ secondes ?
i(τ) = (E/R)[1 − e(−R/L)(L/R) ] = (E/R)[1 – e−1] = l[1 – e−1] ≈ 0,6321× l Donc au bout de τ secondes, l’intensité atteint 63% de l.
i(5τ) = (E/R)[1 − e(−R/L)5(L/R) ] = (E/R)[1 – e−5] = l[1 – e−5] ≈ 0,9933× l Donc au bout de 5τ secondes, l’intensité atteint 99% de l.
3. CCCC est la courbe représentant i dans un repère orthonormal.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction i.
i est dérivable sur [0 ; +∞[ et i’(t) = (−E/R)(−R/L) e(−R/L)t = (E/L) e(−R/L)t i’(t) > 0 donc sur [0 ; +∞[, i est strictement croissante de 0 à l = E/R
b. Déterminer une équation de la tangente T à CCCC au point d’abscisse 0. Donner l’abscisse du point d’intersection de T avec la droite d’équation y = llll.
T a pour équation y = i’(0)(t – 0) + i(0)
or i’(0) = E/L et i(0) = 0 donc T a pour équation y = (E/L)x
T coupe la droite d’équation y = l quand (E/L)x = l c'est à dire x = l × (L/E) = (E/R)(L/E) = L/R = τ c. Tracer CCCC et son asymptote, dans le cas où E = 5,1 V, L = 1 H et R = 114 ΩΩΩΩ.
dans ce cas, on a i(t) = − 5,1
114 e−114t + 5,1
114 , l = 5,1
114 , T d’équation y = 5,1x.
63% de l
99% de l
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
0 0,01
0,005
x y
