EXERCICES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

EXERCICES DES ÉQUATIONS

DIFFÉRENTIELLES

• EXERCICES 1

• RÉSOUDRE DANS IR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SUIVANTES :

• 𝑦𝑦^′′ + 𝑦𝑦 = 0

• 𝑦𝑦^′′ − 3𝑦𝑦^′ + 2𝑦𝑦 = 0

• 𝑦𝑦^′′ + 2𝑦𝑦^′ + 2𝑦𝑦 = 0

EXERCICE2

• Déterminer la solution de l’équation différentielle vérifiant les deux conditions initiales

• Dans chacun des cas

• 1) 𝑦𝑦^′′−2𝑦𝑦^′ − 8𝑦𝑦 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 0 = 𝑦𝑦^′ = 2

• 2) 𝑦𝑦^′′ + 6𝑦𝑦^′ + 9𝑦𝑦 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 0 = 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦^′ 0 = −1

• 3) 𝑦𝑦^′′ + 2𝑦𝑦^′ + 5𝑦𝑦 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 0 = 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦^′ 0 = −1

Equations différentielles

Equations différentielles d’ordre 2 De type 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0

Equations

différentielles d’ordre 2

• Définition 1

• soient 𝑎𝑎 et 𝑏𝑏 deux réels

• 𝐿𝐿𝑦𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑦𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑎 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0 ou l’inconnue est la fonction y ,y’ sa dérivée , y ’’ sa dérivée seconde est appelée l’équation différentielles

• D’ordre 2

• Toute fonction deux fois dérivables sur IR et vérifiant :

• ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓^′′ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑓𝑓^′ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0

• Est appelée solution de l’équation 𝑦𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑎 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0

DEFINITION2

• Soient a et b deux réels

• 𝐿𝐿𝑦𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑟𝑟² + 𝑎𝑎𝑟𝑟 + 𝑏𝑏 = 0 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑟𝑟 est l’inconnue est appelée

• Équation caractéristique de l’équation différentielle

• 𝑦𝑦^′′ + 𝑎𝑎𝑦𝑦^′ + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0

résolution

• Propriété

• 𝑂𝑂𝐿𝐿 𝑐𝑐𝐿𝐿𝐿𝐿𝑐𝑐𝐿𝐿𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑦𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑐𝑐𝐿𝐿𝑓𝑓𝑓𝑓𝐿𝑟𝑟𝑐𝑐𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐 𝑦𝑦^′′ + 𝑎𝑎𝑦𝑦^′ + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0 𝐸𝐸 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝐿𝐿 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐿𝐿𝑥𝑥 𝑟𝑟𝐿𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐

• Son équation caractéristique est 𝑟𝑟² + 𝑎𝑎𝑟𝑟 + 𝑏𝑏 = 0

• 1^er cas ∆> 0

• l’équation admet deux solutions différentes 𝑟𝑟₁ 𝑐𝑐𝐿𝐿 𝑟𝑟₂ alors les solutions de l’équation

• Différentielles 𝑦𝑦^′′ + 𝑎𝑎𝑦𝑦^′ + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 0 sont les fonctions définies sur IR par :

• ∀∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑐𝑐^{𝑟𝑟1𝑥𝑥} + 𝛽𝛽𝑐𝑐^{𝑟𝑟2𝑥𝑥 avec 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝐿𝐿 𝛽𝛽 deux réels}

2eme cas ∆= 0

• l’équation admet une solution double 𝑟𝑟₀ alors :

• les solutions de l’équation (E) sont les fonctions définies par :

• ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽)𝑐𝑐^{𝑟𝑟0𝑥𝑥}

3eme cas ∆< 0

• l’ équation admet deux solutions complexes conjuguées :

• 𝑟𝑟₂ = 𝑝𝑝 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑐𝑐𝐿𝐿 𝑟𝑟₂ = 𝑝𝑝 − 𝐿𝐿𝐿𝐿

• Alors les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par:

• 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐^{𝑝𝑝𝑥𝑥}(𝛼𝛼 cos 𝐿𝐿𝑥𝑥 + 𝛽𝛽 sin 𝐿𝐿𝑥𝑥) avec 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝐿𝐿 𝛽𝛽 deux réels