Calculer des sommes « presque » usuelles 1) Les bornes ou les termes sont différents (sur des exemples)

𝑘 = 𝑘 − 1 = 𝑛(𝑛 + 1)

2 − 1 = 𝑛 + 𝑛 − 2

2 = (𝑛 − 1)(𝑛 + 2) 2

𝑘 = (𝑛 − 1)(𝑛 − 1+ 1)(2(𝑛 − 1) + 1)

6 = (𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1)

6

𝑘 = 𝑘 − 1 − 2 = (𝑛 − 2)(𝑛 − 2+ 1)

2 − 9 = (𝑛 − 2)(𝑛 − 1)

2 − 9

𝑛

𝑘 𝑎 𝑏 = 𝑛

𝑘 𝑎 𝑏 − 𝑛

0 𝑎 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑏

Pour tout réel 𝑞 ∈] − 1; 1[, 𝑞 = 𝑞 − 𝑞 = 1

1 − 𝑞− 1 = 𝑞 1 − 𝑞

Pour tout réel 𝑞 ∈] − 1; 1[, 𝑘𝑞 = 𝑞 𝑘𝑞 = 𝑞 (1 − 𝑞)

Pour tout réel 𝑞 ∈] − 1; 1[, 𝑘(𝑘 − 1)𝑞 = 𝑞 𝑘(𝑘 − 1)𝑞 = 2𝑞 (1 − 𝑞)

Pour tout réel 𝑥, 𝑥

𝑘! = 𝑥 𝑘! −𝑥

0! −𝑥

1! = 𝑒 − 1 − 𝑥 2) Changement de variable (sur des exemples)

(𝑘 + 1) : changement de variable 𝑗 = 𝑘 + 1 ∶ 𝑘 = 0 ⟹ 𝑗 = 1 et 𝑘 = 𝑛 ⟹ 𝑗 = 𝑛 + 1

(𝑘 + 1) = 𝑗 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 1+ 1)

2 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2

Exemple avec plusieurs manipulations :

Calcul de (𝑘 + 2)𝑞 avec le changement de variable 𝑗 = 𝑘 + 2 𝑘 = 0 ⟹ 𝑗 = 2 et 𝑘 = +∞ ⟹ 𝑗 = +∞

(𝑘 + 2)𝑞 = 𝑗𝑞 = 𝑗𝑞 = 𝑞 𝑗𝑞 = 1

𝑞 𝑗𝑞 − 1

= 1 𝑞

1

(1 − 𝑞) − 1 =1 𝑞

1 − (1 − 𝑞)

(1 − 𝑞) =1 𝑞

𝑞(2 − 𝑞)

(1 − 𝑞) = 2 − 𝑞 (1 − 𝑞)

Autre méthode :

(𝑘 + 2)𝑞 = (𝑘𝑞 + 2𝑞 ) = 𝑘𝑞 + 2𝑞

= 𝑞 𝑘𝑞 + 2 𝑞 = 𝑞 × 1

(1 − 𝑞) + 2 × 1

1 − 𝑞 = 𝑞

(1 − 𝑞) + 2 1 − 𝑞

= 𝑞

(1 − 𝑞) +2(1 − 𝑞)

(1 − 𝑞) =𝑞 + 2 − 2𝑞

(1 − 𝑞) = 2 − 𝑞 (1 − 𝑞)