mesure image et changement de variable dans R .

(1)

Int´egration et Probabilit´es 2010-2011

Travaux dirig´ es, feuille 5 : Tribus et mesurabilit´ e -suite-, application du lemme de classe monotone,

mesure image et changement de variable dans R .

Tribus, mesurabilit´e

Exercice 1

Soit Bune tribu sur un ensemble E, et F une partie de E. On noteB(F) la tribu trace deB surF, d´efinie par :

B(F) ={B∩F , B∈ B}. 1) a) Comparer B(F) et B_F ={B∈ B, B⊂F}.

b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que B(F) =B_F.

2) Soit C une classe de parties engendrant la tribuB. On note C(F) = {C∩F|C ∈ C}. Montrer que C(F) engendre B(F).

Exercice 2

1) Soientf etgdeux applications mesurables de (E,A) dans (R,B(R)). Montrer que les ensembles{f < g}, {f ≤g}et{f =g}sontA-mesurables.

2) Soientfn: (E,A)→(C,B(C)) des fonctions mesurables. On noteA={x∈E|(fn(x))converge dansC}.

Montrer que A∈ A. Mˆeme question pour des fonctions `a valeurs dans (Q,B(Q)).

Exercice 3

Soit f :E → R une fonction. On note σ(f) la tribu engendr´ee par f. Montrer que la fonction g :E → R est (σ(f),B(R)) mesurable si et seulement s’il existe une fonction bor´elienne h telle que g=h◦f.

Indication : commencer par le cas g ´etag´ee.

Exercice 4

SoientN une application mesurable de (Ω,A) dans (N,P(N)), et (fn)n∈Nune suite d’applications mesurables de (Ω,A) dans (R,B(R)).

1) Montrer que g:ω7→f_N(ω)(ω) est Amesurable.

2) Montrer que h:ω7→

N(ω)

X

n=0

fn(ω) estA mesurable.

Exercice 5

Soit T la tribu surRengendr´ee par les singletons.

1) D´ecrire T.

2) Soit f :R→R² définie par f(x) = (x,|x|). Montrer que la tribu f⁻¹(T ⊗ T) est incluse dansT. 3) En déduire que la diagonale 4={(x, x) :x∈R} ⊂R² n’appartient pas à la tribuT ⊗ T.

(2)

Exercice 6

Soient (X, d) et (Y, D) deux espaces m´etriques et soitf :X →Y une application. Pour tout pointx ∈X, on d´efinit l’oscillation def au pointx par

osc[f](x) = inf

n∈N

sup

D(y₁, y₂) : y₁, y₂ ∈f B(x,2⁻ⁿ) . 1) Montrer que f est continue au pointx∈X si et seulement si osc[f](x) = 0.

2) Montrer que pour tout α >0, l’ensemble {x∈X: osc[f](x)< α} est un ouvert de X.

3) Montrer que l’ensemble des points de discontinuit´e de f est une partie Bor´elienne deX.

Exercice 7

Montrer que la tribu Bor´elienne deR² est engendr´ee par les demi-plans ouverts.

Exercice 8

1) On considère des espaces mesurables (Ω1,A₁) et (Ω2,A₂), une suite (An)n≥1 d’éléments deA₁ telle que Ω₁ = ∪_n≥1A_n, et une application f : Ω₁ → Ω₂. Montrer que f est mesurable ssi pour tout n ≥ 1 la restriction f|_A_n de f à An est mesurable pour la tribu F_n induite par A₁ sur An. Cette tribu F_n, aussi appelée tribu trace, est définie par F_n={B∩An|B ∈ A₁}.

2) Soit f une fonction d´erivable surR. Montrer quef⁰ est bor´elienne.

Exercice 9

D´eterminer les tribus engendr´ees par les fonctions de Rdans (R,B(R)) suivantes :

a) f(x) =x²; b) g(x) =x⁴−2x²+ 1 ; c) la fonction partie enti`ere ; d) h(x) =x1]−∞,0[(x) + (x−1)1]1,+∞[(x).

Exercice 10

Soit A={A∈ P(Z)| ∀n >0,(2n∈A ⇐⇒ 2n+ 1∈A)}.

1) Montrer que Aest une tribu sur Z.

2) On consid`ere l’applicationf deZ dansZd´efinie parf(z) =z+ 2.

a) Montrer que f estA-mesurable et bijective.

b) f⁻¹ est elleA-mesurable?

Exercice 11

Soient (X,A), (Y,B) deux espaces mesurables. On rappelle que la tribu produit sur X×Y est la tribu engendrée par les ensemblesA×B où A ∈ Aet B ∈ B. Cette tribu est notée A ⊗ B. En remarquant que A×B = (A×Y)∩(X×B), on voit que A ⊗ B est aussi engendrée par les ensembles de type A×Y ou X×B avec A∈ AetB ∈ B.

1) Supposons queA=σ(E) etB=σ(F) (i.e., ces tribus sont engendrées par deux classesEetF d’ensembles de X etY). Montrer queA ⊗ B est la tribu engendrée par les ensembles A×B où A∈ E etB∈ F. Indication : montrer d’abord que C={ A∈ A | ∀B ∈ F, A×B ∈σ(E×F, E ∈ E, F ∈ F)} est une tribu sur X.

2) En d´eduire qu’en particulier si X etY sont des espaces topologiques alors B(X)⊗ B(Y) ⊂ B(X×Y).

En d´eduire que B(R²) =B(R)⊗ B(R).

(3)

3) Montrer que si X, Y sont des espaces m´etriques s´eparables, alors Y) = ).

Application du lemme de classe monotone

Exercice 12

Soit n∈N^∗. On admet l’existence d’une mesure not´eeλn surRⁿ qui v´erifie :

∀(a₁, ..., a_n)∈Rⁿ, ∀(b₁, ..., b_n)∈Rⁿ t.q. a_i ≤b_i, λ_n([a₁, b₁]×...×[a_n, b_n]) =

n

Y

i=1

(b_i−a_i).

On l’appelle la mesure de Lebesgue sur Rⁿ (on a déjà rencontré λ1). La construction de λn à partir de λ1

sera vue plus tard en cours.

1) Montrer que λn est invariante par translation, et vérifie la propriété suivante :

∀A∈ B(Rⁿ), ∀α∈R⁺, λn(αA) =αⁿλn(A), o`u on a not´e αA={αx|x∈A}.

2) DansR², montrer que la mesure de Lebesgue de tout segment, puis de toute droite, est nulle. En d´eduire que les ensembles suivants sont de mesure de Lebesgue nulle :

(i) {x= (x1, x2)∈R²:x1 ∈Q};

(ii) {x= (x1, x2)∈R²:x1 =x2};

(iii) {x= (x1, x2)∈R²:x1+x2 ∈Q};

(iv){x= (x₁, x₂)∈R² :|x₁|+|x₂| ∈Q}.

Exercice 13

SoitHun espace vectoriel de fonctions r´eelles surE, contenant les constantes et stable par limite croissante.

Soit C une classe de sous-ensembles de E stable par intersections finies.

1) Montrer que M={A⊂E |1A∈ H}est unλ-syst`eme.

2) On suppose que Hcontient les indicatrices des parties deC. Montrer que Hcontient toutes les fonctions σ(C)-mesurables.

Exercice 14

Remarque : dans cet exercice on utilisera le th´eor`eme de Stone-Weierstrass : si vous ne le connaissez, passez

`

a l’exercice suivant.

Soit Hun espace vectoriel de fonctions réelles bornées surE, contenant les constantes et tel que, si (fn) est une suite croissante d’éléments de H dont la limitef est bornée, alors f est dans H.

1) Montrer que H est stable par limite uniforme. Pour cela, on considère une suite (fn) qui converge uniformément vers f et on posea_n= sup|f_n+1−f_n|. On peut supposer (au moyen d’une suite extraite) que Pan<∞. On notebn le reste d’ordrende cette série. Considérer maintenant la suite (gn) = (fn−bn).

2) Soit G un sous-ensemble de H stable par produit. Montrer que, si f₁. . . f_n sont des éléments de G et Φ une fonction continue de Rⁿ dansR, alors Φ(f1, . . . , fn) est élément de H.

Indication : utiliser le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.

3) En consid´erant la fonction Φr(x1, . . . , xn) = Π^d_i=1inf(1, r(xi−ai)⁺) avec r >0, montrer que l’indicatrice de {f₁ > a₁, . . . , f_n> a_n} est dansH sif₁. . . f_n sont dansG.

(4)

4) Déduire de ce qui précède et de l’exercice 13 queHcontient toutes les fonctions σ(g |g∈ G)-mesurables bornées.

En résumé: si H un espace vectoriel de fonctions réelles bornées sur E, contenant les constantes et stable par limite croissante bornée et si G un sous-ensemble de H stable par produit, alors H contient toutes les fonctions σ(g|g∈ G)-mesurables bornées. C’est une version fonctionnelle du théorème de classe monotone.

Mesure image, changement de variable dans R

Exercice 15

Soient (X,T, µ) un espace mesur´e,Y un ensemble etf :X→Y une application.

1) Rappels de cours :

a) Montrer que la famille T⁰ ={A ∈ P(Y) :f⁻¹(A)∈ T } est une tribu sur Y (appel´ee tribu image par f de T).

b) Montrerν:T⁰→R+d´efinie parν(A) =µ f⁻¹(A)

est une mesure (appel´ee image de µparf et souvent not´eef(µ)).

Remarque : ν est bien d´efinie sur toute sous-tribu de T⁰. En particulier, si f : (X,T) → (Y,F) est mesurable,F ⊂ T⁰ et donc ν est bien d´efinie surF.

2) Si f : (R,B(R))→ (Z,P(Z)) est la fonction partie enti`ere et µest la mesure de Lebesgue sur R, quelle est la mesure f(m) ?

3) a) Si µest finie, la mesureν est-elle finie ? b) Siµ estσ–finie, la mesureν est-elleσ–finie ? c) Si µest diffuse, la mesureν est-elle diffuse ? Exercice 16

Soit φ: (X,A, µ)→(Y,B) une application mesurable. On note φ(µ) la mesure image de µparφ.

1) Rappels de cours :

a) Donner la d´efinition deφ(µ).

b)Soit f :Y →[0,+∞] mesurable. Montrer que Z

Y

f d(φ(µ)) = Z

X

(f◦φ)dµ.

c) Soitf :Y →Rmesurable. Montrer quef estφ(µ)-int´egrable surY si et seulement sif◦φestµ-int´egrable sur X, et que dans ce cas on a:

Z

Y

f d(φ(µ)) = Z

X

(f◦φ)dµ.

2) Application: Soit gune fonction intégrable sur ([0,1],B([0,1]), λ) oùλdésigne la mesure de Lebesgue sur [0,1]. Soit φ: [0,1]→[0,1], définie par φ(x) = 1−x.

a) Montrer que φ(λ) =λ.

b) En d´eduire que Z

[0,1]

g(t)dλ(t) = Z

[0,1]

g(1−u)dλ(u). Retrouver ce résultat en appliquant directement un changement de variable (qu’on prouve justement grâce à un calcul de mesure image !).

Exercice 17

1) Soit λn la mesure de Lebesgue sur Rⁿ, d´efinie dans l’exercice 12. Montrer que la mesure image de λn

par l’application φ:Rⁿ →R+, x7→ kxk est la mesure de densité t7→antⁿ⁻¹ (où an est une constante) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R+.

(5)

Z

{x∈Rⁿ | kxk≤1}

dλ_n(x)

kxk^α <∞ si et seulement siα < n Z

{x∈Rⁿ | kxk≥1}

dλn(x)

kxk^α <∞ si et seulement si α > n, o`ukxkd´esigne la norme euclidienne de x.

Exercice 18 Soit t∈R.

1) Soit f :]0,+∞[→Cune application bor´elienne,λ-int´egrable.

a) Etudier la limite : lim

t→+∞

R

]0,+∞[e^−txf(x)dλ(x).

b) On suppose que f est born´ee et que lim

x→0⁺f(x) =γ0 ∈C. Etudier les limites suivantes :

t→+∞lim t Z

]0,+∞[

e^−txf(x)dλ(x); lim

t→+∞

Z

]0,+∞[

tf(x)

1 +t²x²dλ(x).

Indication : on pensera `a faire un changement de variable.

2) Soit f :]0,1[→Cune application bor´elienne, λ-int´egrable.

a) Etudier la limite : lim

n→+∞

R

]0,1[nxⁿf(xⁿ)dλ(x).

b) On suppose que lim

x→1⁻f(x) =γ₁ ∈C. Montrer que

n→+∞lim Z

]0,1[

nxⁿf(x)dλ(x) =γ₁ lim

n→+∞

Z

]0,1[

nxⁿdλ(x) =γ₁.

3) Soit f :]1, e[→Cune application bor´elienne,λ-int´egrable. Etudier la limite :

n→+∞lim n Z

]1,1+_n¹[

f(xⁿ)dλ(x).

4) Soit f :]a, b[→Cune application bor´elienne, born´ee et telle que: lim

x→a⁺f(x) =γ ∈C. Etudier la limite:

t→alim⁺ Z

]a,t[

f(x)

p(x−a)(t−x)dλ(x).

Exercice 19

1) Soit y inR. Comment choisirp∈Rpour que la fonctionf_y :R→R¯ d´efinie parf_y(x) = _|x−y|¹ p −_|x|¹_psoit λ-int´egrable sur R?

2) Si cette condition est remplie, montrer qu’il existe une constante C_p (´eventuellement infinie) telle que, pour tous y, y⁰ ∈R, on aitR

fyf_y⁰ds=Cp(|y|â+|y⁰|â− |y−y⁰|â) oùa= 1−2p.

Indication : consid´erer R f_y²dλ.