et le dénominateur par 4

méthodes de calcul sur les limites de fonctions

Indétermination du type 0

0 en x0 réel

1) Si P et Q sont deux polynômes tels que P(x0) = Q(x0) alors pour calculer lim

x→x0

P(x)

Q(x) , on factorise P et Q par x − x0 et on simplifie P Q puis on recalcule la limite

2) On écrit la fractions sous la forme F(x) − F(x0) x − x0

et on utilise lim

x→x0

F(x) − F(x0) x − x0

= F'(x0)

1) lim

x→2

x² − 5x + 6

2x² − 5x + 2 = lim

x→2

(x − 2)(x − 3) (x − 2)(2x + 1) = lim

x→2

x − 3

2x + 1 = 2 − 3

2×2 + 1 = − 1 5 2) lim

x→0

cos x − 1 x = lim

x→0

cos x − cos 0

x − 0 = cos'(0) = − sin(0) = 0 Les 2 méthodes sont parfois possibles

x→4lim

x − 2 x − 4 ? x − 2

x − 4 = ( x − 2)( x + 2)

(x − 4)( x + 2) = x − 4

(x − 4)( x + 2) = 1

x + 2 donc lim

x→4

x − 2

x − 4 = 1 4 + 2 = 1

4 x − 2

x − 4 = x − 4

x − 4 donc lim

x→4

x − 4

x − 4 =

( )

'

2 x = 1 2 4 = 1

4 Indétermination +∞∞∞∞ + −−−−∞∞∞∞

On factorise l'expression par le terme qui semble imposer sa limite

x → 0+lim 3 x − 5

x² = lim

x → 0+

1

x² (3x − 5) = −∞ car lim

x → 0+

1

x² = +∞ et lim

x → 0+3x − 5 = − 5

x → +∞lim 2x³ − 3x² + 5 = lim

x → +∞x³(2 − 3 x + 5

x²) = +∞ car lim

x → +∞x³ = +∞ et lim

x → +∞2 − 3 x + 5

x² = 2

Indétermination ∞∞∞∞

∞

∞

∞

∞

On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme qui semble imposer sa limite

x→+∞lim

x² − 5x + 6

2x² − 5x + 2 = lim

x→+∞

x²(1 − 5 x + 6

x²) x²(2 − 5

x + 2 x²)

= lim

x→+∞

1 − 5 x + 6

x² 2 − 5

x + 2 x²

= 1 2

Appliquer le théorème sur les composées de fonctions

x→+∞lim x² − x + 1 x² − x + 1 = x²(1 − 1

x + 1

x²) , lim

x→+∞x² = +∞ et lim

x→+∞1 − 1 x + 1

x² = 1 donc lim

x→+∞ x² − x + 1 = +∞

et lim

X→+∞ X = +∞ , donc par composée lim

x→+∞ x² − x + 1 = +∞

Autres exemples 1. lim

x→+∞ 4 + 1

x = 2 2. lim

x→+∞ cos 1 x = 1

limite des suites géométriques si −−−− 1 < q < 1 alors lim

n →→→ +∞→ ∞∞∞qⁿ = 0 si q > 1 alors lim

n →→→→ +∞∞∞∞qⁿ = +∞∞∞∞

n → +∞lim 



 2 3

n

= 0 et lim

n → +∞



 3 2

n = +∞



u₀ = − 2 un+1 = − 1

3un suite géométrique de raison − 1

3 , donc de limite nulle

Exemple 1 Calculer lim

n → +∞

3ⁿ + 5ⁿ 4ⁿ − 2ⁿ Indications

-

factoriser le numérateur par 5

et le dénominateur par 4

faire apparaître des termes du type q

-

En déduire la limite de la suite

Exemple 2

On considère la suite (un) définie par



u0 = 0

un+1 = 2u_n + 3 un + 4 a. On pose pour tout entier n , vn = un − 1

u_n + 3 . Montrer que (vn) est une suite géométrique b. Déterminer la limite de (un)

Indications

-

Exprimer v

en fonction de u

, puis en fonction de u

, puis en fonction de v

et en déduire que (v

) est géométrique

-

Déterminer la limite de la suite (v

)

-

Exprimer u

en fonction de v

(produit en croix)

En déduire la limite de la suite (u

)