Equations et inéquations avec inconnue au dénominateur

Seconde

Equations et inéquations avec inconnue au dénominateur

Année scolaire 2020/2021

Rappels :

Soient A et B, deux nombres réels,

𝐴

𝐵 est défini si et seulement si B ≠ 0

Soit B≠0, ^𝐴

𝐵 = 0 si et seulement si A = 0

Remarque : On pourra remplacer dans les calculs « si et seulement si » par «  » Exemples de résolution :

Remarque importante : Avant de se lancer dans la technique de résolution d'une équation ou d’une inéquation avec inconnue au dénominateur, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs interdites. (Ces valeurs sont celles qui annulent le dénominateur de l'écriture fractionnaire concernée)

I) Equations du type : ^𝐴

𝐵 = 0 :

a) Résoudre l'équation suivante : ^3𝑥+2

𝑥–4 = 0 Il y a une seule valeur interdite : la solution de x – 4 = 0 D'où la valeur interdite est 4

On va donc résoudre dans ℝ \{4} :

3𝑥+2

𝑥–4= 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x = - ²

3 , or, - ²

3 ≠ 4, Donc S = {- ^𝟐

𝟑} Remarque :

Si on pose f(x) = ^3𝑥+2

𝑥–4

L'équation précédente est équivalente à f(x) = 0

C'est-à-dire : la solution est l'antécédent de 0 par f. Autrement dit, l'abscisse du point de la courbe de f d'ordonnée nulle.

A la calculatrice, en utilisant les touches F5 puis F1, la courbe étant préalablement tracée :

On obtient bien : - ^𝟐

𝟑 comme unique antécédent de 0 par f b) Résoudre l’équation suivante : ^3𝑥−6

𝑥−2 = 0 Valeur interdite :

x – 2 = 0  x = 2 . On va donc résoudre cette équation sur ℝ\{2}

3𝑥−6

𝑥−2 = 0  3x – 6 = 0  3x = 6  x = 6/3 = 2. Or, 2 est la valeur interdite. Donc : S = 

Remarque : ^3𝑥−6

𝑥−2 = ^3(𝑥−2)

𝑥−2 = 3. Il n’y a donc aucune valeur de x qui annule ce quotient.

II) Equations du type : ^𝐴

𝐵 = k, où k est un nombre réel

On va se ramener au cas du I) Exemple : Résoudre l'équation suivante : ^5𝑥–1

2𝑥+7 = 1 Valeur interdite :

2x + 7 =0 ⇔ x = - ⁷

2

^5𝑥–1

2𝑥+7 = 1 ⇔ ^5𝑥–1

2𝑥+7 - 1 = 0 ⇔ ^5𝑥–1

2𝑥+7 - ^2𝑥+7

2𝑥+7 = 0

⇔ ^{5𝑥–1–2𝑥–7}

2𝑥+7 = 0 ⇔ ^3𝑥–8

2𝑥+7 = 0 ⇔ 3x – 8 = 0

⇔ x = ⁸

3 ≠ - ⁷

2 Donc : S = {⁸

3} Remarques :

- Pour la résolution de cette équation, on aurait pu procéder d’une autre manière : Un quotient = 1 signifie que son numérateur est égal à son dénominateur.

C’est-à-dire : 5x – 1 = 2x + 7 ⇔ 3x = 8

⇔ x = ⁸

3

Donc : S = {⁸

3}

- Pour la résolution de cette équation, on aurait pu utiliser les produits en croix.

En effet : ^5𝑥–1

2𝑥+7 = 1 ⇔ (5x – 1)×1 = (2x + 7)×1 ⇔ 5x – 1 = 2x + 7 ⇔ 3x = 8

⇔ x = ⁸

3

- Graphiquement, on peut interpréter la résolution de cette équation comme la recherche de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f si f est définie par f(x) = ^5𝑥–1

2𝑥+7 avec la droite horizontale à l'ordonnée 1.

III) Equations du type : ^𝐴

𝐵= ^𝐶

𝐷, où A,B,C et D sont des fonctions affines Exemple :

Résoudre l'équation suivante : ^2𝑥+5

3𝑥–9 = ^4𝑥+7

6𝑥–1

Valeurs interdites :

3x – 9 = 0 et 6x – 1 = 0 x = 3 et x = ¹

6

On va donc résoudre sur ℝ\{3 ; ¹

6} : Méthode 1 :

^2𝑥+5

3𝑥–9 = ^4𝑥+7

6𝑥–1 ⇔ (2x + 5)(6x – 1) = (3x – 9)(4x + 7) (produits en croix) ⇔ 12x² – 2x + 30x – 5 = 12x² + 21x – 36x – 63 ⇔ 28x – 5 = - 15x – 63

⇔ 43x = - 58 ⇔ x = - ⁵⁸

43 avec - ⁵⁸

43 ≠ 3 et - ⁵⁸

43 ≠ ¹

6

Donc : S = {- ⁵⁸

43}

Méthode 2 :

^2𝑥+5

3𝑥–9 = ^4𝑥+7

6𝑥–1  ^2𝑥+5

3𝑥–9 - ^4𝑥+7

6𝑥–1 = 0

 (2𝑥+5)(6𝑥−1)−(4𝑥+7)(3𝑥−9) (3𝑥−9)(6𝑥−1) = 0

 (2𝑥 + 5)(6𝑥 − 1) − (4𝑥 + 7)(3𝑥 − 9) = 0 (car si B ≠ 0, ^𝐴

𝐵= 0 ⇔ 𝐴 = 0)

 12x² – 2x + 30x – 5 – (12x² – 36x + 21x – 63) = 0

 12x² – 2x + 30x – 5 – 12x² + 36x – 21x + 63 = 0  43x = - 58

 x = - ⁵⁸

43, donc S = {- ⁵⁸

43}

Graphiquement, on a déterminé l'abscisse du point d'intersection de deux courbes : celle représentant une fonction f définie par : f(x) = ^2𝑥+5

3𝑥–9 et celle représentant une autre fonction g définie par : g(x) = ^4𝑥+7

6𝑥–1

Or, - ⁵⁸

43 ⋍ -1,3488

IV) Inéquations-quotients :

Comme pour la résolution des équations, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs interdites.

On va procéder comme pour la résolution des inéquations-produits.

La seule différence est qu'aux éventuelles valeurs interdites dans le tableau de signes, à la dernière ligne, on trouvera des double-barres.

Exemple :

Résoudre à l'aide d'un tableau de signes l'inéquation suivante :

3𝑥+5 2𝑥–3 > 0 Valeur interdite :

2x – 3 = 0 ⇔ x = ³

2

On va donc résoudre sur ℝ \ {³

2} 3x + 5 > 0 2x – 3 > 0

x > - ⁵

3 x > ³

2

On en déduit le tableau de signes du quotient :

x -∞ - ⁵

3 ³

2 +∞

Signe de 3x + 5 - + +

Signe de 2x - 3 - - +

Signe du quotient + - +

Donc S = ]-∞ ;- ⁵

3[ ∪ ]³

2;+∞[

Interprétation graphique : Résoudre l’inéquation :^3𝑥+5

2𝑥–3 > 0 consiste à déterminer les abscisses des points de la courbe de f si on pose f(x) = ^3𝑥+5

2𝑥–3 situés strictement au-dessus de l’axe des abscisses