Première S2 Exercices sur le chapitre 9 : E4. 2007 2008
E4 Recherche d'extremums.
P 83 n ° 50.
f ( x ) = 2 x
2 x
² x+++ f ' ( x ) =
)² 2 x (
) 2 x
² x ( 1 ) 2 x )(
1 x 2 (
+− + + +
+
Le numérateur de f ' ( x ) est égal à 2x² + 4x + 1x + 2 − x² − x − 2 = x² + 4x = x ( x + 4 )
x −1 0 1
signe de f ′ − 0 +
2 4
3 f
1
f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 ; 0 ] donc f ( x ) ≤ f ( - 1 ) pour tout x de l'intervalle [ - 1 ; 0 ].
f est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] donc f ( x ) ≤ f ( 1 ) pour tout x de l'intervalle [ 0 ; 1 ].
Or f ( - 1 ) = 2 et f ( 1 ) = 4
3 donc pour tout x de l'intervalle [ - 1 ; 1 ] f ( x ) ≤ 2.
Donc f admet en - 1 un maximum égal à 2.
f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 ; 0 ] donc f ( 0 ) ≤ f ( x ) pour tout x de l'intervalle [ - 1 ; 0 ].
f est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] donc f ( 0 ) ≤ f ( x ) pour tout x de l'intervalle [ 0 ; 1 ].
Or f ( 0 ) = 1.
Donc f admet en 0 un minimum égal à 1.
P 80 n ° 17.
f ( x ) = - x3 + 3x − 4
f ' ( x ) = -3x² + 3 = 3 ( 1 − x² ) = 3 ( 1 − x ) ( 1 + x )
x 0 1 2
signe de f ′ + 0 −
-2 f
-4 -6
Pour tout x ∈ [ 0 ; 1 ] la fonction f est strictement croissante donc f ( x ) ≤ f ( 1 ).
Pour tout x ∈ [ 1 ; 2 ] la fonction f est strictement décroissante donc f ( x ) ≤ f ( 1 ).
Pour tout x ∈ [ 0 ; 2 ], f ( x ) ≤ f ( 1 ) .
Donc f admet un maximum sur l'intervalle [ 0 ; 2 ] qui vaut - 2.
P 80 n ° 18.
f ( x ) = 2 x
3 x 2−+
− f ' ( x ) =
)² 2 x (
) 3 x 2 ( 1 ) 2 x ( 2
− − +
−
−
− le numérateur vaut -2x+4+2x-3 = 1.
Donc pour tout x ∈ [ - 1 ; 1 ] f ' ( x ) > 0.
D'où f est strictement croissante sur [ - 1 ; 1 ].
Donc pour tout x ∈ [ - 1 ; 1 ] on a f ( x ) ≤ f ( 1 ).
f ( 1 ) = -1.
Ainsi f admet un maximum sur qui vaut - 1.
f est strictement croissante sur [ 3 ; 4 ].
Donc pour tout x ∈ [ 3 ; 4 ] f ( x ) ≤ f ( 4 ).
f ( 4 ) = - 2,5.
f admet un maximum sur [ 3 ; 4 ] qui est -2,5.
