Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚3
Pour le lundi 10 f´evrier.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Pr´esentation du sujet
Une´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1(EDL1) est une ´equation du type : (E) : y′+a(x)y=b(x)
o`uaetbsont deux fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies et continues surI, un intervalle r´eel prescrit.
Une telle ´equation est ditehomog`ene(EDLH1) si son second membre est nul, i.e. si la fonction best identique- ment nulle surI.
Une solution de (E) est une fonctiony d´efinie et d´erivable surI telle que :
∀x∈I, y′(x) +a(x)y(x) =b(x).
On appellecourbe int´egrale de(E) toute courbe repr´esentative de solution de (E) (un rep`ere du plan ´etant fix´e).
L’ensemble solution de (E), not´eSol(E), est l’ensemble form´e par les solutions de (E). On a donc : Sol(E) = {y:I→R|y est solution de (E)}
=
y:I→R
y est d´erivable surI et
∀x∈I, y′(x) +a(x)y(x) =b(x)
.
Dans ce sujet, on se propose :
(A) de d´ecrire l’ensemble solution d’une EDLH1 quelconque ; (B) de r´esoudre explicitement l’EDLH1 y′+ 1
x2+xy= 0 surR>0; (C) de d´ecrire la structure de l’ensemble solution d’une EDL1 quelconque ; (D) de r´esoudre explicitement l’EDL1y′+ 1
x2+xy= (x+1) sin(x) surR>0, en mettant en œuvre la m´ethode de la variation de la constante ;
(E) de conjecturer et d´emontrer une propri´et´e des courbes int´egrales de l’EDL1 pr´ec´edente.
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Partie A : ´Etude g´en´erale d’une EDLH1
SoitI un intervalle et soita:I→Rune fonction continue surI. On note consid`ere l’ELDH1 (EH) : y′+a(x)y= 0
d’inconnue une fonctiony d´efinie et d´erivable surI.
1. Justifier queaposs`ede une primitive surI.
2. SoitA: I→Rune primitive deasurI fix´ee. Montrer que la fonction yH:I→R; x7→e−A(x) est solution de l’´equation (EH).
3. En d´eduire :
K yH : I → R x 7→ K e−A(x)
K∈R
⊂Sol(EH).
4. Soity:I→Rune fonction solution de (EH). On introduit la fonction κ:I →R; x7→y(x)eA(x).
(a) Justifier queκest d´erivable surI, puis calculerκ′(x) pour toutx∈I.
(b) En d´eduire qu’il existe une constante r´eelleK telle que pour toutx∈I,y(x) =K e−A(x). 5. Justifier queSol(EH)=
K yH : I → R x 7→ K e−A(x)
K∈R
.
Partie B : R´esolution de l’EDLH1 y′+ 1
x2+xy= 0 sur R>0
On consid`ere l’EDLH1
(EH) : y′+ 1
x2+xy= 0
d’inconnue une fonctiony d´efinie et d´erivable surR>0. En appliquant les r´esultats de la partie A, d´eterminer l’ensemble solutionSol(EH) de (EH).
Partie C : ´Etude g´en´erale de la structure de l’ensemble solution d’une EDL1
SoitI un intervalle. Soienta:I→Retb:I→Rdeux fonctions continues sur I. On consid`ere l’EDL1 (E) : y′+a(x)y=b(x)
et l’EDLH1
(EH) : y′+a(x)y= 0 associ´ee, toutes deux d’inconnue une fonctionyd´efinie et d´erivable sur I.
On peut d´emontrer (mais on admetici) que l’´equation (E) poss`ede toujours une solution. Soity0:I→Rl’une d’elle (on dit quey0 est une solution particuli`ere de (E)).
1. SoityH:I→Rsolution de (EH). Montrer que la fonction
yH+y0 :I→R; x7→yH(x) +y0(x) est solution de (E).
2. Soity: I→R une solution de (E). Montrer qu’il existe une fonctionyH:I →Rsolution de (EH) telle quey=yH+y0.
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3. Justifier queSol(E)=
yH+y0 : I → R
x 7→ yH(x) +y0(x)
yH ∈Sol(EH)
. 4. En d´eduire que
Sol(E)=
I → R
x 7→ K e−A(x)+y0(x)
K∈R
o`uA: I→Rest une primitive de asurI fix´ee.
Partie D : R´esolution de l’EDL1 y′+ 1
x2+xy= (x+ 1) sin(x) sur R>0
On consid`ere ici l’EDL1
(E) : y′+ 1
x2+xy= (x+ 1) sin(x) d’inconnue une fonctiony d´efinie et d´erivable surR>0. Son EDLH1 associ´ee est
(EH) : y′+ 1
x2+xy= 0 d’inconnue une fonctiony d´efinie et d´erivable surR>0.
D’apr`es la partie C, l’ensemble solution Sol(E) de (E) poss`ede une description `a l’aide de l’ensemble solution Sol(EH)de (EH) et d’une solution particuli`erey0 de (E).
Or l’EDLH1 (EH) a d´ej`a ´et´e ´etudi´ee dans la partie B. On a alors montr´e que son ensemble solution est
Sol(EH)=
R>0 → R x 7→ K
1 + 1
x
K∈R
.
Il reste `a d´eterminer une solution particuli`ere. Pour ce faire, on va utiliser la m´ethode de la variation de la constante, dont on explique le principe ci-dessous, avant de la mettre en œuvre (cf. questions 1. et 2.).
Le principe de la m´ethode de la variation de la constante
Pour rechercher une solution particuli`ere y0 de (E), on va consid´erer que la constante K qui apparaˆıt dans la description d’une solution quelconque de (EH) n’est plus une constante, mais une fonction (d´erivable).
Grossi`erement, on va consid´erer que ≪K n’est plus constant relativement `a la variable x, mais varie avec x≫ (d’o`u la terminologie).
1. SoitK:R>0→Rune fonction d´erivable surR>0. On consid`ere la fonction y0:R>0→R; x7→K
1 + 1
x
. (a) Justifier quey0 est d´erivable surR>0.
(b) Montrer quey0est solution de (E) si et seulement siK′(x) =xsin(x), pour toutx∈R>0. (c) Donner l’unique primitive de la fonctionf:x7→xsin(x) surRqui s’annule en 0.
2. D´eduire de 1. une solution particuli`ere de (E) surR>0. 3. Expliciter l’ensemble solution de (E).
Partie E : Une propri´et´e des courbes int´egrales de l’EDL1 y′+ 1
x2+xy= (x+ 1) sin(x)sur R>0
On consid`ere `a nouveau l’EDL1
(E) : y′+ 1
x2+xy= (x+ 1) sin(x)
d’inconnue une fonction y d´efinie et d´erivable sur R>0. On a donn´e, dans la partie D, une description pa- ram´etrique de l’ensemble solution Sol(E) de E (le param`etre, disons K, ´etant un nombre r´eel). On dispose
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donc pour chaque valeur deKd’une fonction solution de (E) et donc d’une courbe int´egrale de (E) (la courbe repr´esentative de ladite fonction solution).
Ci-dessous sont trac´ees quelques portions de courbes int´egrales de (E).
1. Conjecturer une propri´et´e relative `a l’incidence de deux courbes int´egrales quelconques de (E).
2. D´emontrer la conjecture ´emise en 1.
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