On va utiliser la bibliothèque

On va utiliser la bibliothèque numpy afin de traiter l’équation aux dérivées partielles. Cet exercice va aborder deux parties : la manipulation de tableaux puis l’application au calcul numérique pour résoudre l’équation de la chaleur.

Manipulation de listes Sans l’utilisation de numpy

1 tab_a = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]

2 tab_b = [ 5 , 6 , 7 , 8 ]

3 tab_1=tab_a+tab_b

4 p r i n t( tab_1 )

Exécution : tab_ 1=...

Sans l’utilisation de numpy

1 tab_c=np . a r r a y ( [ 1 , 2 , 3 , 4 ] )

2 tab_d=np . a r r a y ( [ 5 , 6 , 7 , 8 ] )

3 tab_2=tab_c+tab_d

4 p r i n t( tab_2 )

Exécution :tab_ 2=...

On nommeil’indice d’un élément d’une listetab_coutab_d(de tailleN). On souhaite créer une listeLcontenant les valeurs tab_c[i−1] +tab_d[i] pour 0<i<N. La taille de la liste ainsi obtenue sera donc de N−1. Effectuer cette opération.

b. . . . . . . . . . . .

Discrétisation de l’équation de la chaleur

On va découper en éléments finis les grandeurs espace et temps afin de traiter numériquement les dérivées partielles deT(x, t) apparaissant dans l’équation de la chaleur

∂T

∂t −D.∂²T

∂x² =0

● pour l’espacex0, x1, ..., xi, ..., x_{N X−}1 avec un échantillonnage dx= L N X +1

● pour le tempst0, t1, ..., tn, ..., t_{N T−}1 avec un échantillonnage dt= τ N T +1

Ainsi la température à l’abscisse xi et au tempstn sera notéeT_iⁿ et correspondra à un tableau : T =[[T0⁰, T1⁰, ..., T_i⁰, ..., T_{N X}⁰ ],[T0¹, T1¹, ..., T_i¹, ..., T_{N X}¹ ], ...,[T0^{N T}, T1^{N T}, ..., T_i^{N T}, ..., T_{N X}^{N T}]]

1. Exprimer les grandeurs suivantes en fonction deT_iⁿ,T_iⁿ⁺¹,T_i−ⁿ1,T_i+ⁿ1,dxetdt

● (∂T

∂t)

(xi,tn)=. . . .

● (∂T

∂x)

(xi,tn)=. . . .

● (∂²T

∂t )

(xi,tn)

=. . . . 2. En déduire une expression de l’équation de la chaleur

b. . . .

Résolution numérique de l’équation

● A partir du fichier equation−chaleur.py, compléter l’expression RSH[1 :-1]=...permettant de calculer les valeurs de températures aux différentes abscisses xi à un instant donné. Compiler.

b. . . .

● Modifier alors l’expression afin de résoudre l’équation de la chaleur pour un système comportant un terme source.

Compiler

∂T

∂t −D.∂²T

∂x² =Pv

b. . . .