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Pour la solution on va utiliser le logiciel FreeFem++.

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Academic year: 2022

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(1)

Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Sujets DM

M1 Maths Rech 2014–2015 Université Blaise Pascal

5 La méthode des éléments finis Une EDP en dimension 2

Pour la solution on va utiliser le logiciel FreeFem++.

Soit Γ

1

et Γ

2

deux conducteurs dans une enceinte Ω. Chacun est a un potentiel électrosta- tique : ϕ

1

et respectivement ϕ

2

. On suppose que l’enceinte Ω est au potentiel 0. Pour connaitre le potentiel ϕ(x, y) en tout point du domaine Ω il faut résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :

 

 

 

 

∆ϕ(x, y) = 0, (x, y) ∈ Ω ϕ(x, y) = ϕ

1

= 1, (x, y) ∈ Γ

1

ϕ(x, y) = ϕ

2

= −1, (x, y) ∈ Γ

2

ϕ(x, y) = 0, (x, y) ∈ Γ

0

.

(?)

On considère Ω le domaine de frontière extérieure Γ

0

d’équations paramétriques

( x(t) = sin

3

(t)

y(t) =

161

(13 cos(t) − 5 cos(2t) − 2 cos(3t) − cos(4t)), (t ∈ [0, 2π]).

Les deux conducteurs sont vus comme de trous rectangulaires de frontières Γ

1

et Γ

2

respective- ment. Plus précisément, Γ

1

est le rectangle de sommet bas gauche (−0.3, −0.3) et de sommet haut droit (−0.2, 0.3), et Γ

2

est le symétrique de Γ

1

par rapport à l’axe Oy.

1. Définir les frontières Γ

i

sous FreeFem++ (i ∈ {0, 1, 2}). A l’aide de la commande plot affi- cher les frontière Γ

i

(l’argument de la commande plot est le même que pour la commande buildmesh).

2. Construire un maillage de Ω.

3. Résoudre le problème (?) sur ce maillage.

4. Afficher la solution du problème. Commenter le résultat. Comparer à la solution obtenue en remplaçant la condition Dirichlet sur Γ

0

par une condition Neumann homogène.

Une solution du problème (?) avec des conditions de type Neumann doit rassembler à celle

affichée dans la figure suivante :

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