Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

(1)

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Jean-Eric.Pin@liafa.jussieu.fr

11 octobre 2005

(2)

(1) r(ϕ) = 0 si ϕ est atomique, (2) r(¬ϕ) = r(ϕ),

(3) r(ϕ∨ψ) = max{r(ϕ), r(ψ)}, (4) r(∃x ϕ) = r(∀x ϕ) = r(ϕ) + 1.

On dit que deux mots sont (élémentairement) n-équivalents (notation u ∼n v) s’ils satisfont les mêmes énoncés de rang 6 n.

(3)

symboles de relations et de constantes. (par exemple, L= {S} ∪ {a | a ∈ A})

Proposition

Etant donn´e un nombre fini de variables, il n’y a, `a

´equivalence logique pr`es, qu’un nombre fini de formules de rang 6 r utilisant ces variables.

(4)

ou R(x1, . . . , x_n) (o`u R est un symbole de relation).

Elles sont en nombre fini. Il y a donc aussi un

nombre fini de combinaisons bool´eennes de formules atomiques.

De r −1 `a r. Les formules de rang r sont

combinaisons booléennes de formules ϕ ou ∃x ϕ, où ϕ est de rang < r, qui sont, par hypothèse de

r´ecurrence, en nombre fini. Les formules de rang r sont donc en nombre fini.

(5)

τ_K = ^

i∈K

ϕ_i ∧ ^

i /∈K

¬ϕi (τK est un type)

Proposition

(1) Les types sont mutuellement exclusifs.

(2) Toute formule de rang 6 k en n variables est une disjonction de types.

(6)

τ =

U|=ϕ(p)

ϕ ∧

U6|=ϕ(p)

¬ϕ Alors U satisfait τ(p) et r(τ) 6n.

(7)

(séparateur, spoiler) et II (duplicateur). Les joueurs jouent n coups en suivant à chaque tour les règles suivantes :

(1) Le joueur I choisit l’une des deux structures et choisit un ´el´ement dans cette structure.

(2) Le joueur II choisit un ´el´ement dans l’autre structure.

(8)

U

V

(9)

U

V

p₁

(10)

U

V

p₁

q₁

(11)

U

V

p₁

q₁

p₂

(12)

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂

(13)

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

(14)

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃

(15)

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃

(16)

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃

q₄

(17)

isomorphisme partiel entre U et V si : (1) pour tout i, j 6 n,

p_i = p_j ssi q_i = q_j, (2) pour tout i 6 n, pour tout symbole de

constante c

p_i = c ssi q_i = c,

(3) Pour tout symbole de relation k-aire R de L, et pour toute suite i₁, . . . , i_k d’indices,

(pi1, . . . , p_ik) ∈ R ssi (qi1, . . . , q_ik) ∈ R.

(18)

correspondants.

Cas sans constantes. Le duplicateur gagne le jeu G_n(U,V), si (p,q) d´efinit un isomorphisme partiel entre U et V.

Cas avec constantes. Soient c₁, . . . , c_ℓ les

symboles de constantes. Le duplicateur gagne le jeu G_n(U,V), si ((p,c),(q,c)) d´efinit un isomorphisme partiel entre U et V.

(19)

i, j 6 n,

(1) p_i = p_j ssi q_i = q_j (2) p_i < p_j ssi q_i < q_j

U

V

(20)

i, j 6 n,

U

V

p₁

(21)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

(22)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

(23)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂

(24)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

(25)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃

(26)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃ p₄

(27)

i, j 6 n,

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

p₃ p₄

q₄

(28)

pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueur II pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres de l’autre mot.

Soient p= (p₁, . . . , p_n) (resp. q = (q₁, . . . , q_n)) la suite des positions marqu´ees sur u (resp. v). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j 6n,

(1) p_i = p_j ssi q_i = q_j (2) S(pi, p_j) ssi S(qi, q_j) (3) ap_i ssi aq_i

(29)

pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueur II pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres de l’autre mot.

Soient p= (p₁, . . . , p_n) (resp. q = (q₁, . . . , q_n)) la suite des positions marqu´ees sur u (resp. v). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j 6n,

(1) p_i = p_j ssi q_i = q_j (2) p_i < p_j ssi q_i < q_j (3) ap_i ssi aq_i

(30)

Th´eor`eme

Soient U et V deux ordres lin´eaires de taille > 2^k. Alors U ≡k V.

◮ Exercice `a r´ediger.

(31)

• U ≃0 V si U et V v´erifient les mˆemes formules atomiques.

• U ≃n+1 V si

(1) Va. Pour tout p ∈ U, il existe q ∈ V tel que (U, p) ≃_n (V, q).

(2) Vient. Pour tout q ∈ V, il existe p∈ U tel que (U, p) ≃n (V, q).

(32)

Deux structures relationnelles U et V sont n-´equivalentes ssi le duplicateur a une strat´egie gagnante pour le jeu G_n(U,V).

(33)

Soient U et V deux structures relationnelles. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(1) U ∼n V (mêmes énoncés de rang 6n),

(2) U ≡n V (Duplicateur gagne le jeu G_n(U,V)), (3) U ≃n V (´equivalence de va-et-vient)

(34)

le prouve pour n+ 1.

(3) ⇒ (2). Supposons que I joue p∈ U au premier coup. D’apr`es (3), il existe q ∈ V tel que

(U, p)≃n (V, q) et donc, d’après l’hypothèse de récurrence, (U, p) ≡n (V, q), i.e. II gagne le jeu G_n((U, p),(V, q)).

Mˆeme raisonnement si I joue sur V au premier coup. Donc II gagne G_n(U,V).

(2) ⇒ (3). Mˆeme preuve.

(35)

Va (le cas Vient est similaire).

Soit p ∈ U et soit τ son type de rang n dans U. Alors U satisfait τ(p) et donc aussi σ = ∃x τ(x). Or r(σ) = r(τ) + 1 6 n+ 1. D’apr`es (1), V satisfait σ. Il existe donc q ∈ V tel que V satisfasse τ(q).

Comme les types sont mutuellement exclusifs, τ est le type de q de rang n dans V. Donc, pour tout

énoncé ϕ de rang 6 n, (U, p) satisfait ϕ ssi (V, q) satisfait ϕ. Donc, par récurrence, (U, p) ≃_n (V, q).

(36)

combinaison bool´eenne de formules de la forme

∃x ϕ(x), o`u ϕ est de rang 6n.

Si U satisfait ∃x ϕ(x), il existe p∈ U tel que U satisfasse ϕ(p). D’apr`es Va, il existe q ∈ V tel que (U, p)≃n (V, q). Donc (U, p) ∼n (V, q) et en particulier, V satisfait ϕ(p). Donc V satisfait

∃x ϕ(x).

La r´eciproque d´ecoule de Vient.

(37)

Th´eor`eme

PARIT ´E n’est pas expressible au premier ordre pour les ordres lin´eaires finis.

Preuve. Supposons que PARITÉ s’exprime par une formule ϕ de rang de quantification k. Alors un ordre linéaire de taille 2^k satisfait ϕ mais un ordre linéaire de taille 1 + 2^k ne satisfait pas ϕ.

Contradiction.

(38)

La connectivit´e d’un graphe fini n’est pas expressible au premier ordre.

Prenons un ordre linéaire fini. La relation < permet de définir les relations S, min et max. Soit R la relation définie par R(x, y) ssi y = x+ 2 (y est le successeur du successeur de x) ou x = max−1 et y = min, ou x = max et y = min +1.

Soit G le graphe de R. Alors G est connexe ssi l’ordre lin´eaire est de taille impaire.