>0: (b) Sachant queIn;0= n+11 ;montrer que In;p

MVA005 Révison Feuille F1 J.SAAB

1. Le tableau suivant représente le salaire en100 $de450fonctionnaires d’un même travail dans plusieurs sociétés:

xi 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13

n_i 240 100 60 40 10 n= 450

(a) Tracer le plolygône cumulé croissant

(b) Estimer le nombre des fonctionnaires dont le salaire est entre 400$et800$

(c) Calculer la moyenne, l’écart type, le mode et la médiane de cette série (d) Expliquer d’après b)ce que vous en penser au sujet de cette série?

2. Soienta; bdeux réels strictement positifs. On poseu0=a; v0=bet pour toutn, 8>

<

>: 2 un+1

= 1

un

+ 1 vn

v_n+1 = u_n+v_n 2 Montrer que les suites(u_n)et(v_n)sont adjacentes.

3. Pour toutn2N et pour toutp2N;on pose In;p=

Z 1 0

xⁿ(lnx)^pdx

(a) Intégrer par partiesI_n;ppour établir la relation I_n;p= p

n+ 1I_{n;p 1}: sachant que[x (lnx) ]₍₀₎= 0 pour tous ; >0:

(b) Sachant queI_n;0= _n+1¹ ;montrer que

In;p= ( 1)^pp!

(n+ 1)^p+1 (c) Déduire,R1

0 x³(lnx)²dx

4. Calculer:

(a) I=

Z x+ 2

x²+ 3x 4dx (b) J =

Z sinx

sinx+ cosxdx

5. L’equation de mouvement d’un oscillateur harmonique avec resistance de l’air est:

x⁰⁰(t) +!²x(t) +rx⁰(t)jx⁰(t)j= 0 (1)

avec!²et rsont deux paramètres positifs. Soitv(x(t)) =x⁰(t)la vitesse au pointx(t):

1

(a) Montrer que l’équation(1)est équivalente à l’équation de Bernouilli v⁰(x) + rv(x) = !²xv ¹ (2) où =jvj

v = 1( désigne le signe dev)

(b) Utiliser un chnagement de variable convenable pour montrer que l’équation (2) est équivalente à une équation linéaire que l’on doit préciser. Résoudre cette dernière équation linéaie en déduire la solution de l’équation(2)sachant quev(0) = 0:

6. SoitF(x) =Rx

0 f(t)dt avecf(t) = ln(1 +t) cost :

(a) Donner le D.L deF(x)au voisinage de0à l’ordre4 (b) Donner une estimation de

Z 0:5 0

ln(1 +t) cost dt

(c) Justi…er queF(x)est dérivable et donner sa dérivée

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