Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2015–2016
Fiche 3b – Martingales
Exercice 1 – Double conditionnement. SoitX, Y, Zdes variables aléatoires bornées.
1.A-t-onE[Z|X, Y] =E
E[Z|X] Y
? (considérerZ =X, par exemple) 2.A-t-onE[Z|X] =E
E[Z|X]
X, Y
? 3.A-t-onE[Z|X] =E
E[Z|X, Y] X
?
Exercice 2. Soit(Mn)n≥0une martingale de carré intégrable.
1.Montrer queE[MmMn] =E[Mm2]pour tousm≤n.
2.On poseXn= ∆Mn(=Mn−Mn−1). Montrer queE[XmXn] = 0sim < n.
Exercice 3 – Temps d’arrêt. Soit (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires réelles. Pour toutn ≥0, on poseFn =σ(X0, . . . , Xn)(c’est la filtration naturelle du processus(Xn)n≥0).
1.Soitτ une variable aléatoire à valeurs dansN∪ {+∞}. Montrer queτ est un temps d’arrêt pour la filtration (Fn)n si, et seulement si, pour toutn∈N,{τ =n} ∈ Fn.
2.Est-ce que les variables suivantes sont des temps d’arrêt (en général) ? :
τA= 5, τB = inf{n≥0|Xn>7}, τC= inf{n≥0|Xn+1= 0}, τD= inf{n≥1|Xn−1= 0}, τE = sup{n≥0|Xn <0}, τF = inf{n≥0|Xn= max
1≤k≤100Xk}.
Exercice 4. Soit X1, X2, . . . une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, telles que pour tout n, E[Xn] = 0et Var(Xn) =σ2. On définit, pour toutn,
Mn= n
X
i=1
Xi
2
−σ2n.
Montrer que(Mn)n est une martingale.
1
Exercice 5 – Somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires. SoitX1, X2, . . .une suite de v.a.
indépendantes, de même loi, d’espérancem. On définit, pour toutn≥0, Sn=X1+· · ·+Xn.
Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante de (Xn)n≥1. On considère la somme des N premières variables de la suite(Xn)n≥1, c’est-à-dire la variable aléatoireSN =X1+· · ·+XN.
1.Montrer rigoureusement que, pour toutn∈N,E[SN|N =n] =E[Sn].
2.En déduireE[SN|N], puisE[SN].
3.Application.SoitZ une variable aléatoire à valeurs dansN, intégrable. On posem=E[Z]. Soit(Zm,n)m,n∈N une famille de v.a. i.i.d. de même loi queZ. On définitX0= 1et, pour tout n≥0,
Xn+1=
Xn
X
m=1
Zm,n+1.
Xn représente le nombre d’individus à la n-ième génération, dans un processus de branchement où chaque individu a un nombre d’enfants de même loi queZ, indépendant du nombre d’enfants des autres individus.
3.a)Justifier queE[Xn+1|Xn, Xn−1, . . . , X1, X0] =E[Xn+1|Xn]et en donner la valeur.
3.b)En déduire que Mn=m−nXn définit une martingale, et déterminer la valeur deE[Xn] pour toutn≥0.
3.c)Montrer que la suite (Mn)n admet presque sûrement une limiteM∞.
Exercice 6 – Identité de Wald. SoitX1, X2, . . . une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, intégrable. On notem=E[X1]. Pour toutn≥0, on note
Sn=X1+· · ·+Xn et Mn =Sn−nm=X1+· · ·+Xn−nm.
Pour toutn≥0, on noteFn=σ(X1, . . . , Xn).
1.Montrer que(Mn)n est une martingale par rapport à la filtration(Fn)n. 2.Soitτ un temps d’arrêt pour la filtration(Fn)n≥0, tel queτ <∞p.s.
2.a)Montrer que, pour toutn≥0,
E[Sn∧τ] =mE[n∧τ]. (1)
2.b)Que peut-on dire de la suite de variables aléatoires(n∧τ)n≥0? (monotonie, convergence...) 2.c)Justifier que le membre de droite de (1) converge versmE[τ]quandn→ ∞.
2.d)On suppose queXk ≥0pour tout k. Comment justifier alors que le membre de gauche de (1) converge ? Donner sa limite et écrire la conclusion.
2.e)On ne suppose plus les Xk positifs. En revanche, on suppose que
E h
0≤k≤τmax |Sk|i
<∞.
Comment justifier alors que le membre de gauche de (1) converge ? Donner sa limite et écrire la conclusion.
2.f )On ne suppose plus les Xk positifs. En revanche, on suppose queE[τ]<∞. Justifier que
E h
max
0≤k≤τ|Sk|i
≤E τ
X
k=1
|Xk|
=E[τ]E[|X1|]<∞
(utiliser 2.d) et conclure.
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