Cours de math´ematiques
Variables al´ eatoires
1 Notion de Variable Al´ eatoire
D´efinition 1. Etant donn´´ e un univers fini Ω, on appelle variable al´eatoire X sur Ω toute fonction de Ω dans R.
Exemple 1. Somme des num´eros lors d’un lancer de deux d´es cubiques.
D´efinition 2. Soit X une variable al´eatoire sur un univers fini Ω = {x1, x2, . . . xn} muni d’une loi de probabilit´e P. On note Ω′ = {y1, y2, . . . ym} l’ensemble des valeurs prise par la variable al´eatoire X et (X=yk) l’´ev´enement de Ωconstitu´e des ´eventualit´es ayant yk pour image par la variable al´eatoire X.
La loi de probabilit´e sur Ω′ d´efinie en associant aux yk les probabilit´es P(X = yk) est appel´ee loi de probabilit´e de la variable al´eatoire X.
Remarque 1. On a m6n.
Exemple 2. Loi de probabilit´e de la somme des num´eros lors d’un lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es.
D´efinition 3. SoitX une variable al´eatoire sur un univers finiΩmuni d’une loi de probabilit´eP et prenant les valeurs{y1, y2, . . . ym}.
On appelle esp´erance de la variable al´eatoire X le r´eel : E(X) =
k=m
X
k=1
ykP(X=yk) =y1P(X=y1) +· · ·+ymP(X=ym)
On appelle variancede la variable al´eatoire X le r´eel : V(X) =
k=m
X
k=1
(yk−E(X))2P(X =yk) = (y1−E(X))2P(X =y1) +· · ·+ (ym−E(X))2P(X =ym)
On appelle ´ecart-typede la variable al´eatoire X le r´eel σ(X) =p V(X).
Remarque 2. Ces d´efinitions sont coh´erentes avec les Statistiques car
k=m
X
k=1
P(X=yk) = 1.
Exemple 3. Calcul de l’esp´erance de la variance et de l’´ecart-type de la somme des num´eros lors d’un lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es.
2 Loi de Bernoulli - Loi Binomiale
2.1 Loi de Bernoulli
D´efinition 4. On appelle ´epreuve de Bernoulli de param`etre p une exp´erience al´eatoire poss´edant deux issues appel´ees ”succ`es” et ”´echec” de probabilit´es p et q= 1−p.
Exemple 4. Lancer d’une pi`ece truqu´ee : Ω ={P ile, F ace} et P(P ile) =p= 2 3.
D´efinition 5. On appelle loi de Bernoulli de param`etre p la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire associ´ee `a une ´epreuve de Bernoulli de param`etre p dont la valeur est1 si l’issue est ”succ`es” et0 si l’issue est ”´echec”.
Propri´et´e 1. Soit X une variable al´eatoire suivant une loi de Bernoulli de param`etre p, alors : E(X) =p et V(X) =pq=p(1−p)
D´emonstration. au programme.
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2.2 Loi Binomiale
D´efinition 6. On appelle factorielle d’un entier natureln le produit des nombres naturels de 1 jusqu’`a n, on pose n! = 1×2×3× · · · ×(n−1)×n et par convention 0! = 1.
Exemple 5. Calcul du nombre de ”mots” form´es un utilisant une fois et une seule chacune des lettres a, b,c et d.
D´efinition 7. Etant donn´´ e un ensemble E contenant n ´el´ements, on note n
k
et on lit ”k parmi n” le nombre de sous-ensembles deE contenant k ´el´ements. On convient de plus que
n 0
= 1.
Exemple 6. Calcul du nombre de mains de trois cartes dans un jeu de 32 cartes.
Propri´et´e 2. Soientn et k deux entiers avec 06k6n, alors : n
k
= n!
k!(n−k)!
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 3. Soientn et k deux entiers avec 06k6n, alors : n
k
= n
n−k
et
n+ 1 k
= n
k−1
+ n
k
D´emonstration. au programme.
Th´eor`eme 1. Formule du binˆome
Pour tous nombres r´eels aet b et tout nombre entier naturel n non nul, on a : (a+b)n =
k=n
X
k=0
n k
an−kbk=an+ n
1
an−1b+ n
2
an−2b2+· · ·+ n
n−2
a2bn−2+ n
n−1
abn−1+bn
D´emonstration. au programme.
Corollaire 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, on a :
k=n
X
k=0
n k
= n
0
+ n
1
+· · ·+ n
k
+· · ·+ n
n−1
+ n
n
= 2n
D´emonstration. au programme.
D´efinition 8. On appelle sch´ema de Bernoulli de param`etres n et p l’exp´erience al´eatoire consistant `a r´ep´eter n fois une ´epreuve de Bernoulli de param`etre p.
D´efinition 9. On appelle loi binomiale de param`etres n et p la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire associ´ee `a un sch´ema de de Bernoulli de param`etres net p dont la valeur est le nombre de succ`es obtenus.
Exemple 7. Calcul de l’esp´erance du nombre total de Pile obtenus lors de trois lancers successifs d’une pi`ece truqu´ee : Ω ={P ile, F ace} et P(P ile) =p= 2
3.
Propri´et´e 4. Soit X une variable al´eatoire suivant une loi binomiale de param`etres net p, alors : P(X=k) =
n k
pkqn−k= n
k
pk(1−p)n−k ; E(X) =np et V(X) =npq=np(1−p) D´emonstration. admis.
Exemple 8. Calcul de la probabilit´e d’obtenir 45 fois Pile lors de 100 lancers successifs d’une pi`ece tru- qu´ee : Ω ={P ile, F ace} et P(P ile) =p= 2
3.
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3 Lois continues
On consid`ere dans cette partie des variables al´eatoires prenant une infinit´e de valeurs, l’univers Ω consi- d´er´e ´etant lui aussi infini.
3.1 Notion de densit´e de probabilit´e
D´efinition 10. Soit f une fonction continue sur Ret aun r´eel, on appelle : Z +∞
a
f(x)dx la limite lorsqu’elle existe de Z M
a
f(x)dx pour M →+∞, Z a
−∞
f(x)dx la limite lorsqu’elle existe de Z a
M
f(x)dx pour M → −∞, Z +∞
−∞
f(x)dx la somme lorsqu’elles existent des int´egrales Z a
−∞
f(x)dx et Z +∞
a
f(x)dx.
Exemple 9. Calcul de Z +∞
1
1 x2dx et
Z +∞
0
e−λxdx (λ >0).
On admet pour la d´efinition suivante que la notion d’int´egrale se g´en´eralise au cas des fonctions continues sauf ´eventuellement en un nombre fini de valeurs.
D´efinition 11. On appelle densit´e de probabilit´e une fonction d´efinie sur R qui est positive, continue sauf
´eventuellement en un nombre fini de valeurs et telle que Z +∞
−∞
f(x)dx= 1.
Exemple 10. f(x) =
1 si 06x61
0 sinon f(x) =
λe−λx si x>0
0 sinon (λ >0)
D´efinition 12. Soitf une densit´e de probabilit´e, on appelle fonction de r´epartition associ´ee `a la densit´e de probabilit´e f la fonction F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt.
Exemple 11. Calcul de la fonction de r´epartition associ´ee aux densit´es de probabilit´e de l’exemple pr´ec´e- dent.
3.2 Loi uniforme sur [0; 1]
D´efinition 13. On dit que la variable al´eatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 1] si pour tous r´eels a etb on a :
P(X `a valeurs dans [a;b]) = Z b
a
f(x)dx avec f(x) =
1 si 06x61 0 sinon
Exemple 12. Probabilit´e de tirer un r´eel au hasard dans l’intervalle [0; 1], probabilit´e de tirer un r´eel au hasard dans l’intervalle [a;b].
3.3 Loi exponentielle
D´efinition 14. On dit que la variable al´eatoire X suit la loi exponentielle de param`etreλ >0si pour tous r´eels a etb on a :
P(X `a valeurs dans [a;b]) = Z b
a
f(x)dx avec f(x) =
λe−λx si x>0 0 sinon
Exemple 13. Probabilit´e de dur´ee de vie sans vieillissement.
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