Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2008/2009
TP n
o1 : ´ etude qualitative des EDO
Commandes Scilab de base pour ce TP :
deff(’y=f(t,x)’,’y=x^2+t’) appelle f la fonction (t, x)7→x2+t
ode(y0,t0,T,f) donne la solution de l’´equa. diff. y0(t) =f(t, y(t)),y(t0) =y0
fchamp(f,t0,x,y) trace le champ de vecteurs (x, y)7→f(t0,(x, y)) plot2d(x,y) relie la liste de points de coordonn´ees (xi, yi)
Exercice 1 : Portraits de phase.
Repr´esenter `a l’aide d’un logiciel les portraits de phase correspondants aux ´equations diff´erentielles suivantes ainsi que quelques trajectoires dans ce plan de phase. Rep´erer les diff´erents points d’´equilibre et les trajectoires p´eriodiques. Discuter de leur stabilit´e. Quel est le comportement des autres trajectoires ?
1) Le pendule x00(t) + sinx(t) = 0.
2) Le pendule amortix00(t) +αx0(t) + sinx(t) = 0.
3) L’oscillateur de Van der Pol x00(t) +α(x2−1)x0+x= 0.
Exercice 2 : A propos de la non-unicit´e d’une solution.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle x0(t) = 3x2/3(t). Rappeler quelles sont les solutions de cette ´equation pour une donn´ee initiale x(0) = x0 6= 0 et pour x(0) = x0 = 0. On simule ce probl`eme `a l’aide d’une m´ethode d’Euler. Quelle est la solution simul´ee pour x(0) =x0 = 0 ? Simuler la suite de solutions correspondant `a xn(0) = 1/n. Qu’observe-t-on ?
Exercice 3 : Un mod`ele biologique.
On consid`ere le mod`ele biologique suivant. Soient h(t) et p(t) des populations respectivement d’herbivores et de pr´edateurs. L’´evolution des populations r´epond aux ´equations suivantes, o`u a est un param`etre positif.
h0(t) =h(t)(1−h(t))−ah(t)p(t) p0(t) =ah(t)p(t)−p(t)
p(0) =p0 ∈[0,1], h(0) =h0 ∈[0,1]
1) On suppose dans cette question que a = 0. Quelle est l’´evolution qualitative de h et p au cours du temps ? Donner une interpr´etation des diff´erents termes de l’´equation par rapport au mod`ele biologique.
2) Repr´esenter `a l’aide d’un logiciel le champ de vecteurs correspondant `a cette ´equation diff´erentielle ainsi que quelques trajectoires. Faire varier le param`etre a. Quels sont les com- portements que l’on observe ?
3) Prouver que h(t) et p(t) sont positifs pour toutt ≥0.
4) Quels sont les points d’´equilibres du syst`eme ? Etudier la lin´earisation de l’´equation diff´erentielle autour de ces points et expliquer le comportement qualitatif observ´e.
5) Programmer la m´ethode d’Euler pour le mod`ele. Afficher les trajectoires en fonction du temps.
Exercice 4 : Un peu de th´eorie
Soit (S(t))t∈R un syst`eme dynamique global sur R2 c’est-`a-dire un ensemble d’applications continues S(t) :R2 →R2 v´erifiant
- pour tout t, s ∈R,S(t)S(s) =S(t+s), - S(0) =Id,
- pour tout U0 ∈R2, t7→U(t) =S(t)U0 est continue.
On appelle ensemble ω−limite de U0 l’ensemble ω(U0) =∩t≥0∪s≥tS(s)U0 =
x∈R2,∃(tn)→+∞, S(tn)U0 →x .
1) Montrer que si la trajectoireU(t) =S(t)U0 est born´ee, alorsω(U0) est un compact non vide connexe et invariant i.e. S(t)ω(U0) =ω(U0).
On dit que Φ∈ C0(R2,R) est une fonctionnelle de Lyapounov pour le syst`eme dynamique S(t) si pour toutU0 ∈R2, t7→Φ(S(t)U0) est d´ecroissante et mˆeme strictement d´ecroissante sauf si U0 est un ´equilibre. SiS(t) admet une fonctionnelle de Lyapounov, on dit queS(t) est gradient.
2) Montrer que si S(t) est gradient, alors S(t) n’a pas d’orbites p´eriodiques ou homoclines.
Montrer que l’ensembleω−limite de tout point est inclus dans l’ensemble des points d’´equilibre.
Application au pendule amorti :
On consid`ere le syst`eme dynamique S(t) sur R2 engendr´e par l’´equation diff´erentielle U0(t) = F(U(t)) o`uF((a, b)) = (b,−γa−sinb), avec γ >0.
3) Montrer que Φ : (a, b)7→1/2|b|2−cos(a) est une fonctionnelle de Lyapounov pour S(t). En d´eduire la stabilit´e des ´equilibres du pendule amorti.
4) En utilisant Φ, montrer que les trajectoires de S(t) sont globalement lipschitzienne sur R+. Montrer que si on pose U(t) = (a(t), b(t)), alors b(t) tend vers 0 quand t tend vers +∞.
5) Montrer que toute trajectoire est born´ee pourt ≥0 et tend vers un unique point d’´equilibre quand t →+∞ (on s´eparera les cas lim Φ(U(t)) = 1 et lim Φ(U(t))<1).
