Activit´e de math´ematiques
M´ethode d’Euler
(Approximation d’une primitive)
Le but de l’activit´e est d’´etudier graphiquement la primitiveF de la fonctionf(x) = 1 x2+ 1 v´erifiant la condition initiale F(0) = 0.
M´ ethode d’Euler de pas δ = 1 .
On rappelle qu’une fonction g d´efinie et d´erivable au voisinage d’un point a peut ˆetre ap- proch´ee localement par la fonction affine x7→g(a) +g′(a)(x−a) au voisinage dea.
1. (a) ´Ecrire une approximation affine de la fonction F au voisinage de 0, montrer que F(1)≃F(0) +f(0).
(b) En d´eduire une valeur approch´ee deF(1).
2. (a) ´Ecrire une approximation affine de la fonction F au voisinage de 1, montrer que F(2)≃F(1) +f(1).
(b) En d´eduire une valeur approch´ee deF(2).
3. (a) ´Ecrire une approximation affine de la fonctionF au voisinage den∈N, montrer que F(n+ 1)≃F(n) +f(n).
(b) En d´eduire `a l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee deF(n) pour 16n610.
4. Tracer sur un graphique l’approximation de la fonction F r´ealis´ee, on prendra comme unit´es 1cm en abscisse et 5cm en ordonn´ee. Faire figurer sur le graphique la tangente `a la courbe au point d’abscisse 0.
M´ ethode d’Euler de pas δ quelconque.
On consid`ere un pas δ > 0 et on note xn = δn , n ∈ N la suite des valeurs associ´ees en abscisse. On note Fn , n ∈ N la suite des valeurs approch´ees par la m´ethode d’Euler des F(xn) , n∈N.
1. Quelle est la valeur deF0?
2. (a) ´Ecrire une approximation affine de la fonction F au voisinage de xn pour n ∈ N, montrer que F(xn+1)≃F(xn) +δf(xn).
(b) En d´eduire queFn+1 =Fn+ δ 1 +δ2n2.
3. Programmer `a l’aide d’un tableur le tableau de valeurs de la suite (Fn)n>0 avec δ= 0,25.
4. Tracer sur le graphique de la partie pr´ec´edente la nouvelle approximation de la fonction F obtenue.
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