Chap. 1

(1)

Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Licence de Mathématiques, 2ème année

Fonctions de plusieurs variables, analyse vectorielle,

int´ egrales multiples

2M216 Automne 2016 et Automne 2017

Patrick Polo

(2)

ii

Ce polycopi´e trouve son origine dans un

«

fascicule de r´esultats

»

(sans démonstrations) pour le cours LM216, écrit par Albert Cohen puis révisé par Laurent Boudin. Ce texte a

été augmenté en 2015-2016 en un polycopié (avec des démonstrations) par Jean-Fran¸cois Babadjian ; certains passages en sont repris ici avec son autorisation, et sur d’autres points la présentation adoptée ici est légèrement différente. Donc, même si le matériau couvert sera essentiellement le même, ce cours 2M216 enseigné ` a l’automne 2016 et celui enseigné au printemps 2017 par Jean-Fran¸cois Babadjian pourront présenter de petites différences dans l’accent mis sur tel ou tel point.

Remerciements.

Parmi les étudiants de mai 2016, je remercie Shana Diallo, Med Salah Mimouna, Tom Resseguier et Xavier Tinel pour des questions et commentaires qui ont contribué ` a améliorer ce polycopié. Je remercie également Nicolas Lerner de m’avoir suggéré l’approche des intégrales multiples adoptée dans la première section du chapitre 4 (que l’on trouve par exemple dans le livre de Serge Lang, Undergraduate analysis).

Parmi les ´etudiants de l’automne 2017, Yvon Bossut, Nassim Bourarach, Johan Leydet,

Paul Martin et Tran Trung Nghiem m’ont signal´e des coquilles ; je les en remercie.

(3)

TABLE DES MATI ` ERES

1. Fonctions continues sur Rⁿ, compacit´e et cons´equences. . . 1

1. Fonctions continuesRⁿ→R^p : un r´esum´e. . . 1

2. Parties compactes deRⁿ : un r´esum´e. . . 5

2. Normes et topologie surRⁿ. . . 9

3. Distances et normes. . . 9

4. Topologie : ouverts et ferm´es, parties connexes ou convexes. . . 15

5. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz et norme euclidienne. . . 19

6. Compacit´e via Borel-Lebesgue. . . 21

3. Applications diff´erentiables. . . 23

7. Définitions et premières propriétés. . . 23

8. Difféomorphismes. Exemple des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. . . 34

9. In´egalit´e des accroissements finis. . . 39

10. D´eriv´ees partielles d’ordre deux, matrice hessienne, application aux extrema. . . 41

11. Extrema liés : cas d’une sphère euclidienne. Conséquences. . . 48

12. Champs de vecteurs et ´equations diff´erentielles. . . 50

13. Une application : l’´equation de transport en dimension 1. . . 55

14. Formes différentielles de degré 1 et intégrales de chemins. . . 57

4. Int´egrales multiples. . . 59

15. Intégrales dépendant d’un paramètre. . . 59

16. Intégration sur un pavé et théorème de Fubini. . . 61

17. Int´egration sur un compact quarrable. . . 66

18. Formule de changement de variables. . . 73

19. Int´egration de fonctions `a valeurs dansR^p, exemple des centres d’inertie. . . 77

5. Int´egrales de chemins et formule de Green-Riemann. . . 81

20. Int´egrales de chemins. . . 81

21. Formule de Green-Riemann. . . 89

22. Int´egrales de surfaces dansR³ et formules d’Ostrogradsky et de Stokes. . . 93

(4)

(5)

CHAPITRE 1

FONCTIONS CONTINUES SUR R

ⁿ

, COMPACIT ´ E ET CONS´ EQUENCES

1. Fonctions continues Rⁿ→R^p : un r´esum´e

(1) (2)Le but du cours est de définir et étudier les fonctionsf :Rⁿ→R^pqui sont différentiables et dont les dérivées partielles sont continues. Il faut donc commencer par introduire la notion de fonction continueRⁿ→R^p.

Terminologie 1.1 (Applications et fonctions). — SoientX, Y deux ensembles.

(1) Une application f :X→Y est la donnée pour tout x∈X d’un élémentf(x)∈Y.

(2) Une fonction f :X →Y est une application à valeurs dansY qui n’est définie que sur un sous-ensemble de X, appelé ledomaine de définition de f et notéD_f. Ce sous-ensemble n’est en général pas explicité et sa détermination est laissée au lecteur.

Exemple 1.2. — La fonctionf :R² →Rdonnée parf(x, y) = log(x²+y²−3) n’est définie au point (x, y) que six²+y²>3. Son domaine de définition est doncD_f ={(x, y)∈R²|x²+y²>3}; c’est le complémentaire du disque fermé de centre (0,0) et de rayon√

3. D’autre part, anticipant sur la définition qui va suivre, les fonctions P :D_f →R^∗₊, (x, y)7→x²+y²−3 et log :R^∗₊ →R, t7→log(t) sont continues, doncf = log◦P est continue sur son domaine de définitionD_f. (On verra plus loin quef est différentiable surD_f.)

D´efinition 1.3 (Distance surR et surRⁿ). — On note |t| la valeur absolue d’un r´eel t.

(Q)

Comme fonction d’une variable, ce n’est pas une fonction très intéressante, mais la fonction de deux variablesd(x, y) =|x−y|est intéressante, car elle mesure la distance entre les réelsxet y:

✲

✛

x y

|x−y|

Elle vérifie les propriétés suivantes :

(1)Version du 31 aoˆut 2016.

(2)Les symboles(Q)dans la marge signalent des énoncés (définitions ou résultats) qu’il faut absolument assimiler et qui pourront faire l’objet de questions de cours à l’examen.

(6)

2 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES SURRⁿ, COMPACIT´E ET CONS ´EQUENCES

(1) (S´eparation) d(x, y) = 0⇐⇒x=y.

(2) (Sym´etrie) d(x, y) =d(y, x).

(3) (In´egalit´e triangulaire) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) pour toutx, y, z.

En effet, (3) s’écrit|x−z| ≤ |x−y|+|y−z|et découle de l’inégalité|u+v| ≤ |u|+|v|appliquée

`au=x−y etv=y−z.

De fa¸con générale, si E est un ensemble, une applicationd : E×E → R₊ vérifiant ces trois propriétés est appelée unedistance surE. On peut alors définir une distance surRⁿ comme suit : pour toutx= (x1, . . . , xn), on pose

kxk= max

i=1,...,n|xi|. et pourx, y∈Rⁿ on pose

d(x, y) =kx−yk= max

i=1,...,n|xi−yi|.

Il est clair que (1) et (2) sont v´erifi´ees, prouvons (3). Soitx, y, z∈Rⁿ. Pour tout indiceion a :

D´efinition 1.4 (Fonctions continues). — Soitf une fonctionRⁿ→R^p.

(Q)

(i) Soita∈D_f. On dit quef est continue enasi pour toutε >0 il existeδ >0 tel que pour toutx∈D_f on ait :

kx−ak< δ=⇒ kf(x)−f(a)k< ε.

(ii) SiAest un sous-ensemble deD_f, on dit quef est continue surAsi elle est continue en tout point deA.

(Sin= 1 =p, on retrouve la d´efinition connue pour une fonctionf:R→R.)

Terminologie 1.5. — Lorsqu’on dira«f est continue en a»ou«f est continue surA»ou«f est une fonction continue deAdansR^p», ceci sous-entendra toujours quea∈D_f et A⊂D_f. Notation 1.6. — Pour tout sous-ensembleAdeRⁿ, on noteraC(A,R^p) l’ensemble des fonctions continues deAdansR^p.

On peut aussi d´efinir la notion de suite convergente :

Définition 1.7 (Limite d’une suite). — Soit (x^k)k∈N une suite d’éléments de Rⁿ.⁽³⁾ On dit que (x^k)k∈Nconverge vers une limitea∈Rⁿ, et on notex^k→a, si pour toutε >0 il existek0∈N tel que pour toutk≥k0, on aitkx^k−ak< ε.

Proposition 1.8. — Soit (x^k)k∈N une suite dans Rⁿ.

(Q)

(i) (x^k)k∈Nconverge vers une limitea∈Rⁿsi et seulement si, pouri= 1, . . . , n, la suite(x^k_i)k∈N

des i-èmes coordonnées converge vers un réel ai. Dans ce cas, a= (a1, . . . , an).

(ii) Par cons´equent, si elle existe, la limite de(x^k)k∈N est unique.

(3)Les termes de la suite sont not´esx^k, avecken exposant, afin de pouvoir noterx^k₁, . . . , x^k_n les coordonn´ees du vecteurx^k.

(7)

1. FONCTIONS CONTINUES Rⁿ→R^p: UN R ´ESUM ´E 3

D´emonstration. — Supposonsx^k→a. Soitε >0 ; il existek0∈Ntel que pour toutk≥k0, on ait kx^k−ak< ε. Comme|x^k_i −ai| ≤ kx^k−ak pour touti, on obtient|x^k_i −ai|< εpour toutk≥k0, ce qui montre quex^k_i →ai dansR.

R´eciproquement, supposons quex^k_i →ai pour touti. Soitε >0 ; il existe ki ∈Ntel que pour toutk≥ki, on ait|x^k_i −ai|< ε. Posonsk0= max(k1, . . . , kn) eta= (a1, . . . , an). Alors pour tout k≥k0, on a|x^k_i −ai|< εet donckx^k−ak< ε, ce qui montre quex^k →a.

Ceci prouve (i), et (ii) en découle (par l’unicité déjà connue des limites dansR).

On vérifie facilement qu’on a les propriétés suivantes, comme dans le cas des fonctionsR→R. Proposition 1.9. — Considérons deux fonctionsf :Rⁿ→R^p etg:R^p→R^q.

(Q)

(i) Soit a∈D_f. Si f est continue enaetg continue enf(a), alorsg◦f est continue ena.

(ii) Par cons´equent, si f ∈C(A,R^p)etg∈C(f(A),R^q)alors g◦f ∈C(A,R^q).

Proposition 1.10. — Soientf :Rⁿ→R^p eta∈D_f. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(Q)

(i) f est continue ena.

(ii) Pour toute suite(x^k)k∈N deRⁿ convergeant versa, la suitef(x^k)de R^p converge versf(a).

Remarque 1.11. — En général, pour montrer qu’une fonction donnée f est continue, on utilise direc- tement la définition 1.4. Par contre, la caractérisation en termes de suites convergentes est utile pour démontrer des résultats généraux sur les fonctions continues, en se ramenant à des résultats déjà démon- trés pour les suites.

Proposition 1.12. — Soit E un sous-ensemble deRⁿ.

(Q)

(i) Toute combinaison lin´eaire de fonctions continues E → R^p est continue. Autrement dit, C(E,R^p)est unR-espace vectoriel.

(ii) Soient f, g:E→Rdeux fonctions continues. Alors la fonction f g:E →R,x7→f(x)g(x) est continue.

(iii) Si f : E→ Rest continue en a etf(a)6= 0, alors la fonction 1/f est d´efinie et continue en a.

SoitAun sous-ensemble deRⁿ. Remarquons qu’une applicationf :A→R^p est donn´ee par ses papplications coordonn´eesfi:A→R, i.e. pour toutx= (x1, . . . , xn) dansAon a :

f(x) = (f1(x), . . . , fp(x)).

Proposition 1.13. — Soit f = (f1, . . . , fp)une application A→R^p.

(Q)

(i) Soit a∈A. Alors f est continue ena ssi lesfi (i= 1, . . . , p)le sont.

(ii) Par cons´equent, f est continue surA ssi chaquefi l’est.

D´emonstration. — (i) Supposons f1, . . . , fp continues ena. Soitε >0. Commefiest continue en a, il existeδi>0 tel que pour toutx∈Aon ait

kx−ak< δi =⇒ |fi(x)−fi(a)|< ε.

Soit δ= minδi, alors δ >0 et pour toutx ∈A tel que kx−ak < δ, on a|fi(x)−fi(a)| < εet donckf(x)−f(a)k< ε. Ceci montre quef est continue ena. La réciproque est analogue (et plus facile) et laissée au lecteur. Ceci prouve (i), et (ii) en découle.

(8)

On a ainsi ramené l’étude de la continuité des fonctionsRⁿ →R^pà celle des fonctionsRⁿ →R. Attention :on ne peut pas aller plus loin, i.e. se ramener au cas des fonctions d’une variablefaⁱ:R→R définies parfaⁱ(t) =f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , an). Considérons en effet l’exemple suivant :

Exemple 1.14. — Soitf:R²→R, d´efinie par

f(x, y) = ( xy

x²+y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0)

et soit a= (0,0). L’application partiellef_a¹ :t7→f(t,0) = 0 est nulle, donc continue sur R, et il en est de mˆeme defa² :t7→f(0, t) = 0. Par contre,f n’est pas continue en a= (0,0). En effet, la suite d´efinie parx^k= (1/k,1/k) pourk∈N^∗converge versamais l’on af(x^k) = 1/2 doncf(x^k) ne converge pas vers f(a) = 0.

Un cas particulier d’applications continues est le suivant.

D´efinition 1.15 (Applications lipschitziennes). — Soit A ⊂ Rⁿ et soit f une application A→R^p.

(Q)

(i) On dit quef estL-lipschitzienne⁽⁴⁾, o`uLest un r´eel>0, si pour toutx, y∈A on a :

(∗) kf(y)−f(x)k ≤Lky−xk.

(ii) Il est clair qu’alorsf est continue sur A : pour tout ε >0 et x, y ∈ A, on a l’implication ky−xk< ε/L=⇒ kf(y)−f(x)k< ε.

(iii) SiLest le plus petit r´eel>0 v´erifiant (∗), on dit queLest la constante de Lipschitz def.

Exemples 1.16 (d’applications continues Rⁿ→R^p). — (1) Pour tout i, la projection πi : Rⁿ→R, (x1, . . . , xn)7→xi est 1-lipschitzienne, donc continue.

(2) Toute application lin´eaire f : Rⁿ → R^p est continue. En effet, chaque composante

(Q)

f1, . . . , fp de f est une forme linéaire⁽⁵⁾, ce qui nous ramène au cas où p = 1. Dans ce cas, f(x) =a1x1+· · ·+anxn doncf est une combinaison linéaire desπi, donc est continue.

(3) Une fonction polynomiale (ou polynˆome) surRⁿ est une fonctionP :Rⁿ→Rde la forme

P(x) = X

k=(k1,...,kn)∈Nn

akx^k₁¹· · ·x^k_nⁿ

où les ak ∈ R sont nuls sauf pour un nombre fini d’indices. Si les ak ne sont pas tous nuls, on pose deg(P) = max{k1+· · ·+kn |ak 6= 0}. Tout polynôme est continu surRⁿ puisque c’est une combinaison linéaire de produits de fonctions continues.

Exemple 1.17(de polynôme). — Pourn= 2, un polynôme de degré 2 s’écrit sous la forme P(x1, x2) =a0,0+a1,0x1+a0,1x2+a2,0x²₁+a1,1x1x2+a0,2x²₂,

avecai,j∈R.

Pour étudier la dérivabilité enad’une fonctionf :R→R, on a besoin quef soit définie sur un intervalle ouvert contenanta. Ceci nous conduit à introduire les parties ouvertes deRⁿ :

D´efinition 1.18 (Ouverts et ferm´es). — SoitF un sous-ensemble deRⁿ.

(Q)

(4)Rudolf Lipschitz, math´ematicien allemand (1832-1903).

(5)SiEest unR-ev, uneformelinéaire surEest une application linéaire surEà valeurs dansR.

(9)

2. PARTIES COMPACTES DERⁿ: UN R ´ESUM ´E 5

(i) On dit queF est un fermési pour toute suite (x^k)k∈N d’éléments deF qui converge dans Rⁿ vers une limiteℓ, on a ℓ∈F. (Noter que, par définition,∅est fermé, ainsi queRⁿ.)

(ii) Un sous-ensembleU deRⁿ est ditouvertsi son compl´ementaire^cU =Rⁿ−U est ferm´e.

Terminologie 1.19 (Image r´eciproque). — Soitf :X →Y une application.

(Q)

(1) Pour tout sous-ensembleBdeY, on notef⁻¹(B) et l’on appelleimage r´eciproque deBpar f l’ensemble desx∈X tels quef(x)∈B, i.e.

f⁻¹(B) ={x∈X|f(x)∈B}. (2) Alors, pour tout sous-ensembleAdeX, on a l’´equivalence :

A⊂f⁻¹(B)⇐⇒f(A)⊂B.

Proposition 1.20. — Soit f :Rⁿ→R^p une application continue.

(Q)

(i) SiF est un fermé deR^p, son image réciproque f⁻¹(F)est un fermé deRⁿ. (ii) De même, si U est un ouvert deR^p alors f⁻¹(U)est un ouvert de Rⁿ.

Démonstration. — (i) SoitF un fermé de R^p et (x^k)k∈N une suite d’éléments def⁻¹(F) convergeant vers une limiteℓ∈Rⁿ. Commef est continue, la suitef(x^k) converge vers f(ℓ), et comme cette suite est à valeurs dansF qui est fermé, on af(ℓ)∈F et doncℓ∈f⁻¹(F). Ceci prouve que f⁻¹(F) est un fermé deRⁿ.

(ii) SoitU un ouvert deR^p etF =R^p−U le ferm´e compl´ementaire. Alors on a Rⁿ=f⁻¹(F)⊔f⁻¹(U)

où le symbole ⊔ désigne une réunion disjointe (en effet, tout élément de Rⁿ est envoyé par f soit dans U, soit dans F). D’après (i), f⁻¹(F) est fermé donc son complémentaire f⁻¹(U) est ouvert.

La proposition précédente est très utile pour montrer qu’un sous-ensemble deRⁿ est ouvert ou fermé. Donnons-en des exemples.

Exemples 1.21. — (1) L’applicationRⁿ→R, (x1, . . . , xn)7→P

ix²_i est polynomiale donc continue et le singleton{1}est un fermé deR. Par conséquent, la sphère unité (pour la norme euclidienne) :

Sⁿ⁻¹={x∈Rⁿ|x²₁+· · ·+x²_n= 1} est un ferm´e deRⁿ.

(2) Soit U := {(x, y, z) ∈ R³ | x²+y² > z²} la région «à l’extérieur» du cône d’équation x²+y² =z². La fonctionf : (x, y, z)7→x²+y²−z² est continue sur R³ et U =f⁻¹(]0,+∞[).

Comme ]0,+∞[ est ouvert dansR, on en d´eduit queU est ouvert dansR³.

2. Parties compactes de Rⁿ : un r´esum´e

Définition 2.1. — On dit qu’une partie A de Rⁿ est bornée s’il existe un réel R > 0 tel que

(Q)

kak ≤Rpour touta∈A. Dans ce cas, siB⊂Ail est clair queB est aussi born´e.

Exemple 2.2 (important). — Soit (x^k)k∈N une suite convergeant dans Rⁿ vers une limite ℓ.

Alors l’ensemble{xk, k∈N} ∪ {ℓ}est born´e.

En effet, prenant ε= 1 il existek0 tel quekx^k−ℓk <1 pour tout k > k0. D’après l’inégalité triangulaire, on a :

kx^kk ≤ kx^k−ℓk+kℓk<1 +kℓk.

(10)

Par cons´equent, posant R0 = maxk≤k⁰kx^kk et R = max(R0,kℓk+ 1), on obtient kℓk ≤ R et kx^kk ≤Rpour toutk.

Définition 2.3. — Une partieKdeRⁿ est ditecompactesi elle vérifie la propriété de Bolzano-

(Q)

Weierstrass, c.-à-d. : de toute suite (x^k)k∈N d’éléments deK, on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élémentadeK.

Rappel 2.4. — On rappelle que, pour touta≤b dansR, l’intervalle [a, b] est compact.

Théorème 2.5. — (i) Pour j = 1, . . . , n, soient aj ≤bj dansR et Ij = [aj, bj]. Alors le «pavé fermé»

(Q)

P=I1× · · · ×In={x= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ|aj ≤xj ≤bj pourj= 1, . . . , n} est un compact deRⁿ.

(ii) Une partieK de Rⁿ est compacte si et seulement si elle est ferm´ee et born´ee.

Démonstration. — (i) Soit (x^k)k∈N une suite d’éléments de P. Alors, pourj = 1, . . . , n, chaque suite x^k_j est à valeurs dans l’intervalle Ij = [aj, bj]. D’après 2.4, on peut extraire une sous-suite x^ϕ¹^(k) dont la première coordonnée converge vers un réel a1 ∈ I1, i.e. telle que la suite x^ϕ₁¹^(k) converge versa1.

Puis on peut extraire de cette suite une sous-suite x^ϕ²^(k) (i.e.ϕ2(k) = ϕ1(ψ(k)) pour une certaine fonction ψ : N → N strictement croissante) dont la seconde coordonnée converge vers un réela2 ∈I2. Après n extractions, on obtient une suitey^k =x^ϕⁿ^(k) dont laj-ème coordonnée converge vers un réelaj∈Ij, pourj = 1, . . . , n. Alorsy^kconverge versa= (a1, . . . , an)∈P. Ceci prouve queP est compact.

(ii) Supposons K fermé et borné, disons kak ≤ R pour tout a ∈ K. Soit (x^k)k∈N une suite d’éléments de K. Comme K est contenu dans le pavé Iⁿ, où I = [−R, R], il existe une suite extraite x^ϕ(k) d’éléments de K qui converge vers un élément a de Iⁿ, et comme K est supposé fermé on aa∈K. Ceci prouve queK est compact.

Réciproquement, supposons K compact et montrons que K est fermé et borné. Soit (x^k)k∈N

une suite d’éléments deKconvergeant dansRⁿ vers une limiteℓ. CommeK est compact, il existe une suite extraitex^ϕ(k) convergeant vers une limitea∈K et commex^k →ℓon a nécessairement ℓ=adoncℓ∈K. Ceci montre queK est fermé. Montrons qu’il est borné. Dans le cas contraire, il existerait une suite x^k d’éléments deK telle quekx^kk > kpour tout k, et toute suite extraite serait non bornée, donc non convergente (d’après l’exemple 2.2), une contradiction. Ceci montre queKest borné.

Th´eor`eme 2.6. — Soit K un compact deRⁿ etf :K→R^p une application continue.

(Q)

(i) f(K)est un compact deR^p.

(ii) En particulier, si p= 1 alors f est born´ee et atteint ses bornes, i.e. il existe a, b∈K tels quef(a)≤f(x)≤f(b)pour toutx∈K.

Démonstration. — (i) Soit (y^k)k∈Nune suite d’éléments def(K) et, pour toutk, soitx^kun élément de K tel que f(x^k) =y^k. CommeK est compact, on peut extraire de la suite x^k une sous-suite x^ϕ(k)convergeant vers un élémenta∈K. Commef est continue, la suitey^ϕ(k)=f(x^ϕ(k)) converge versf(a)∈f(K). Ceci montre quef(K) est compact (donc fermé et borné).

(11)

2. PARTIES COMPACTES DERⁿ: UN R ´ESUM ´E 7

(ii) D’après ce qui précède,f(K) est une partie fermée et bornée deR: elle possède donc une borne inférieureα(resp. supérieureβ) et comme f(K) est fermé on a α, β∈f(K) donc il existe a, b∈K tels queα=f(a) et β=f(b).

D´efinition 2.7. — Soient A ⊂Rⁿ, f : A → R^p une application continue et B =f(A). On dit quef est unhom´eomorphismedeAsurB si :

(1) f est continue et bijective.

(2) L’application inversef⁻¹:B→A est continue.

Noter que la condition (2) n’estpasconséquence de la condition (1) : par exemple, l’application f : [0,2π[→S¹,t 7→eît est continue et bijective, mais n’est pas un homéomorphisme. (Exercice : le démontrer !) Par contre, une propriété agréable des compacts est la :

Proposition 2.8. — Soit K un compact de Rⁿ et f :K→R^p une application continue et bijec- tive. Alorsf est un hom´eomorphisme de K surf(K).

D´emonstration. — Il suffit de montrer quef⁻¹est continue en tout pointbdef(K). Soit (y^k)k∈N

une suite d’´el´ements de f(K) convergeant vers b = f(a). Montrons que la suite x^k = f⁻¹(yk) converge versa.

Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors il exister >0 et une suite extraiteu^k =x^ϕ(k)telle queku^k−ak ≥rpour tout k. CommeKest compact, on peut extraire de (u^k)k∈N une sous-suite v^k =u^ψ(k) qui converge versℓ ∈K, et l’on akℓ−ak ≥r doncℓ6=a. Commef est continue, la suitef(v^k) converge versf(ℓ). D’autre part,f(v^k) est une suite extraite de (y^k)k∈N, donc converge versb=f(a). Doncf(ℓ) =f(a), contredisant la bijectivit´e def.

Une autre propriété importante des parties compactes, qui sera utile pour la définition des intégrales multiples, est donnée par le théorème ci-dessous.

D´efinition 2.9. — Une fonctionf :Rⁿ→R^p est dite uniform´ement continuesur une partie AdeRⁿ si, pour toutε >0, il existeδ >0 tel que pour toutx, y∈A,

kx−yk< δ=⇒ kf(x)−f(y)k< ε.

Remarque 2.10. — Cette propriété estplus forte que la continuité en tout pointxdeA. En effet, dans la définition de la continuité en un pointx, leδdépend à la fois deεet dex. Par contre,εétant donné, la définition plus haut exige l’existence d’unδqui donne la majorationkf(x)−f(y)k< εde fa¸con«uniforme» enx, i.e. pour toutx∈Aet touty∈Atels quekx−yk< δ.

Par exemple, on pourra v´erifier que la fonctionf:R^∗₊→R^∗₊,x7→1/xest continue maispasuniform´e- ment continue.

Th´eor`eme 2.11 (Heine). — Soit f :Rⁿ→R^p une fonction continue sur un compactK deRⁿ.

(Q)

Alorsf est uniform´ement continue sur K.

Démonstration. — On raisonne par l’absurde. Supposons que f n’est pas uniformément continue sur K. Alors il existe ε0 > 0 tel que pour tout k ∈ N^∗, on peut trouver x^k, y^k ∈ K tels que kx^k−y^kk<1/k etkf(x^k)−f(y^k)k ≥ε0. CommeK est compact, on peut extraire une sous-suite x^ϕ¹^(k) qui converge vers un élément xde K, puis une sous-suite y^ϕ¹^(ϕ²^(k)) qui converge vers un

´el´ementy de K. Posantϕ=ϕ1◦ϕ2 et notantu^k =x^ϕ(k) et v^k=y^ϕ(k), on obtient queu→xet v→y.

(12)

Commef est continue,f(u^k)−f(v^k) converge vers f(x)−f(y) et l’on en déduit quekf(x)− f(y)k ≥ ε0. D’autre part, comme ku^k −v^kk < 1/ϕ(k) ≤ 1/k, on en déduit que x = y, d’où f(x) =f(y) ce qui contredit l’inégalitékf(x)−f(y)k ≥ε0.