Informatique 3A MFIappro Automne 2016
Corrigé de l’examen à mi-parcours du 11 Octobre 2016
Correction de l’exercice 1.
On trouve respectivement en utilisant par exemple la fonction suivante
http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MFI/fichiers_matlab/developpement_limite.m, (1)
f(x) =−1/4x4+ 1/3x3−1/2x2+x+o x4
, (2)
g(x) =−1/2x2+o x2
.
Correction de l’exercice 2.
(1) On a, pour toutx >0,
f(x) = 1
x−1 = 1−x x ,
et doncfest strictement négative sur]1,∞[et strictement positive sur]0,1[. Ainsi,f est strictement décroissante sur [1,∞[ et strictement croissante sur ]0,1]. Les limites def en0+ et +∞ valent−∞. Enfin,f(1) = 0. Tout cela permet de dresser le tableau de variation def.
−1 0 1 2 3 4 5 6
−5.5
−5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
Figure 1. La courbe de f. Voir le graphique 1.
(2) (a)
Voir le graphique 2.
1
2
−4 −2 0 2 4 6 8
−6
−5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4
logarithme tangente
Figure 2. La courbe du logarithme et sa tangente au point x= 1.
(b) On aln(1) = 1et d’après l’équation (1.8) du cours, la tangente a pour équationy=x−1. (c) Le maximum def surR∗+ est nul et doncf est négative surR∗+, ce qui signifie, que pour tout
x >0,ln(x)≤x−1et donc que la courbe representatrice du logarithme est sous la tangente.
Correction de l’exercice 3.
(1) On obtient
I=−2/3 ln (2) + 1/3 ln
3 +e−1 + 1/3.
En effet, on fait le changement de variableu=ex; d’où du=exdxet donc dx=du/uet
1
0
1
3 +e−xdx= e1
1
1 3 + 1/u
du u,
=
e
1
1 3u+ 1du,
=1
3(ln(3e+ 1)−ln(4)),
=ln(3e+ 1)
3 −ln(4) 3 ,
=1
3 +ln(3 +e−1)
3 −ln(4) 3 ,
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3
(2) (a) On écrit que
2
0
x2 x2+ 1dx=
2
0
x2+ 1−1 x2+ 1 dx,
=
2
0
x2+ 1 x2+ 1dx−
2
0
1 x2+ 1dx,
=
2
0 1dx−
2
0
1 x2+ 1dx, et puisque la primitive de la fonction1/(1 +x2)vautarctanx:
= 2−arctan 2.
On a donc bien 2
0
x2
x2+ 1dx= 2−arctan 2. (1)
(b) On posev=xet u= arctanxet par intégration par partie, il vient donc
2
0
xarctanx dx=−1 2
2
0
x2
1 +x2dx+ [xarctanx]x=2x=0, et d’après (1) :
=−1
2(2−arctan 2) + 2 arctan 2,
=−1 +1
2arctan 2 + 2 arctan 2,
=−1 +5
2arctan 2. On obtient donc
I= 5/2 arctan (2)−1.
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