Devoir maison n˚4
MP Clemenceau 2020-2021 Pour le lundi 11 janvier 2021
Exercice 1
Pour tout entier natureln, on d´efinit sur l’intervalleJ = [1,+∞[, la fonctionfn d´efinie par : fn(x) = (−1)n
√1 +nx. 1) D´emontrer que la s´erie de fonctionsX
n>0
fn converge simplement sur J.
On note alors pour toutxdeJ,ϕ(x) sa somme.
2) Montrer que cette s´erie de fonctions ne converge pas normalement surJ.
3) Etudier alors sa convergence uniforme sur´ J. 4) D´eterminer`= lim
x→+∞
+∞
X
n=0
fn(x).
5) Pourn∈IN∗, on noteun= (−1)n
√n .
5.1. Justifier la convergence de la s´erie de terme g´en´eralun. On note a=
+∞
X
n=1
un sa somme.
5.2. Montrer que l’on a au voisinage de l’infini :ϕ(x) =`+ a
√x+O 1
x3/2
.
Exercice 2
Soientaun r´eel strictement positif etf une fonction continue sur IR.
Pour toutλr´eel, on pose I(λ) = Z +∞
a
λ−f(t)
t dt, lorsque cela existe.
1) Dans cette question, et uniquement cette question, f est la fonctiont7→cos t
1 +t2
.
1.1. En utilisant un d´eveloppement asymptotique de f au voisinage de +∞, donner un ´equivalent de λ−f(t) lorsque ttend vers l’infini.
1.2. En d´eduire l’ensemble des valeurs du r´eelλpour lesquellesI(λ) existe.
1.3. Donner alors un ´equivalent de Z x
a
f(t)
t dt lorsquextend vers l’infini.
2) On suppose qu’il existeλetµdeux r´eels pour lesquels I(λ) etI(µ) existent. Prouver que l’on a :λ=µ.
3) Pour toutxr´eel, on poseHλ(x) = Z x
a
(λ−f(t)) dt.
3.1. Justifier queHλ est de classe C1sur IR et pr´eciserHλ0(x).
3.2. D´emontrer que siHλest born´ee sur IR, alors I(λ) existe et queI(λ) = Z +∞
a
Hλ(t) t2 dt.
4) D´esormais on suppose quef est continue sur IR etT-p´eriodique (T >0).
1
4.1. D´emontrer que la fonctionϕqui `a tout r´eel xassocieϕ(x) = Z x+T
x
f(t) dt est constante.
Montrer alors que l’on a, pour tout r´eel x: Hλ(x+T)−Hλ(x) =λT− Z T
0
f(t) dt.
4.2. Montrer qu’il existe une unique valeurλ0 du r´eel λpour laquelle la suite (Hλ(a+nT))n∈IN est born´ee.
4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonctionHλ est p´eriodique et born´ee dans IR.
4.4. D´eterminer alors toutes les valeurs du r´eel λpour lesquellesI(λ) converge.
4.5. Dans le cas o`uλ06= 0, d´eterminer un ´equivalent de Z x
a
f(t)
t dtlorsquextend vers l’infini.
5) Pour tout entier naturelnnon nul, on poseAn= Z π/2
0
|sin(nt)|
sin(t) dt etBn = Z π/2
0
|sin(nt)|
t dt.
5.1. Prouver queAn existe. On admettra qu’il en est de mˆeme pourBn. 5.2. D´eterminer un ´equivalent au voisinage de 0 de la fonctiont7→ 1
t − 1 sin(t). 5.3. D´emontrer que la suite (An−Bn)n∈IN∗ est born´ee.
5.4. On effectue dansBn le changement de variableu=nt.
i. Donner un ´equivalent de Bn lorsque n tend vers l’infini. On pourra utiliser les r´esultats ´etablis `a la question 4.
ii. En d´eduire un ´equivalent deAn lorsquentend vers l’infini.
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