Croissances comparées des fonctions usuelles
II - Fonctions d’une variable réelle
Le résultat de base est lnt t t−→
→+∞0.
On en déduit :
∀α >0 ∀β ∈R (lnx)β
xα −→
x→+∞0 et
∀a >1 ∀β ∈R xβ ax x→−→+
∞0
en écrivant, pour β >0(seul cas litigieux) (lnx)β
xα = 1
(α/β)β · lnt t
β
avec t=xα/β et
xβ
ax = 1
(lna)β ·(lnt)β
t avec t=ax, soit x= lnt lna
Attention ! Se méfier des phrases toutes faites et prendre garde aux fonctions composées. . . Par exemple, ici ce n’est pas “l’exponentielle qui l’emporte” :
x2
elnx =xx−→
→+∞+∞
Moralité : se ramener à l’un des cas ci-dessus au moyen d’un changement de variable si besoin.
Exemples :
•x2(lnx)3 −→
x→0+0 : de la forme−(lnt)3
t2 avect= 1 x −→
x→0++∞
•x2e−√x −→
x→+∞0: de la forme t4
et avect=√ x −→
x→+∞+∞ (on peut aussi écriree−√x+2 lnx =e−
√x 1−2 ln√xx et l’exposant tend vers−∞)
II
II - Suites numériques
Les résultats ci-dessus (en +∞) s’appliquent bien sûr en remplaçantx réel par nentier ! On ajoute, dans le programme officiel :
∀a >1 an
n! n→∞−→ 0 et n!
nn n→∞−→ 0.
Ces résultats s’obtiennent en majorant par une suite géométrique (cf. la règle de d’Alembert).
