Produits scalaires

Produits scalaires

1 Soit a < b ; soit F C

   

a,b,0,

 

; on note  ^

 

a^b b

a f f

f

T 1

. . Trouver le minimum de T sur F.

T est-elle majorée ? Déterminer T

 

F .

2 Soit E un espace euclidien ; soit F et G deux sous-espaces ; montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux si et seulement si : xE, x ² d²



x,F



d²



x,G



.

3 Matrice du projecteur orthogonal sur F = { Xℝ⁴ / x₁x₂x₃x₄ = 0 et x₁x₂ x₃x₄ = 0 } ?

4 Soit E un EVE de dimension n. Montrer qu'il n'existe pas n2 vecteurs x_i tels que x_i,x_j  < 0 si i  j, mais qu'il existe n1 vecteurs unitaires x₁,...,x_n,x_n1 tels que x_i,x_j  =

n

 1 si i  j.

5 Soit E un EVE, p et q deux projecteurs orthogonaux. Montrer que pq = 0 SSI qp = 0.

6 Soit E un EV préhilbertien, u₁,...,u_n unitaires tels que :  x  E, x ² =



 n

k

uk

x

1

)2

/

( .

Montrer que dimEn et que (u₁,...,u_n) est une BON de E.

7 Soit f₁,...,f_n E = C(

 

0,1 ,ℝ) ; y a-t-il existence, unicité, de f  E tel que :  j ≤ n,



0¹ f.f_j = 1 ? 8 Soit n  ℕ* . Montrer que



 n

q

q q

1

 (2 1)/3

2 ) 1

(  

n n

n . Y a-t-il égalité ?

9 Soit E = ℝ[X] muni du PS canonique. Soit F = { P  E / P(0) = 0}, G = { P  E / P(1) = 0 }. Trouver F, G^. Soit G_n = G  ℝn[X]. Trouver d(1, G_n) et le projeté orthogonal de 1 sur G_n.

10 Soit x₁,...,x_p, y₁,...,y_p vecteurs de E EVE. On suppose que :  i, j, (x_i/x_j) = (y_i/y_j). Montrer que rg(x₁,...,x_p) = rg(y₁,...,y_p). ( Montrer que les combinaisons linéaires nulles sont les mêmes).

11 Soit E = M_n(ℝ) muni du PS canonique. S_n^ ? Soit A E. Trouver

Sn

Minf



^

j i

j i j

i m

a

,

2 ,

, )

( .

12 Soit x₁,...,x_n,x_n1 tels que :  i  j, x_i,x_j  < 0. On veut montrer que (x₁,...,x_n) est libre. On suppose que



 n

i i ix

1

 = 0. Soit X = { i / _i > 0}. Si X , soit y =



X i ix

 . Montrer que y,y < 0.

A l'aide de x_n1, montrer que X est vide, puis conclure.

13 Soit E =C²([0, 1], ℝ). On pose (f /g) =



0¹ fg^ f'g'. Montrer que cela définit un produit scalaire sur E. Soit F = { f  E / f(0) = f(1) = 0 } et G = { g  E / g" = g }. Montrer que dans E, F et G sont

supplémentaires orthogonaux. Préciser p_G(f). On fixe deux réels  et  , et on note E_, = { h  E / h(0)= et h(1)= }. Déterminer inf {



0^{1 }

2 2 h'

h / h E_, }.

14 Soit F l'ensemble des polynômes éléments de ℝ4[X] unitaires de degré 4. Montrer qu'il existe un unique élément Q de F qui minimise











¹ P² /PF

1 . Montrer que Q est pair. Calculer Q.