Algèbre bilinéaire

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Table des matières

1 Produit scalaire. 2

1.1 Définition et propriétés d’un produit scalaire . . . 2

1.2 Exemples. . . 2

1.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz. . . 3

1.4 Norme euclidienne. . . 3

1.5 Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux. . . 4

1.6 Familles orthogonales, familles orthonormales ou orthonormées. . . 4

1.7 Théorème de Pythagore. . . 5

2 Espaces euclidiens. 5 2.1 Définition d’un espace euclidien. . . 5

2.2 Bases orthonormées d’un espace euclidien. . . 5

2.3 Existence de bases orthonormées dans un espace euclidien. . . 6

2.4 Complétion d’une famille orthonormée en une base orthonormée . . . 6

2.5 Coordonnées et norme d’un vecteur dans une base orthonormée. . . 6

2.6 Expression matricielle du produit scalaire et de la norme euclidienne en base orthonormée. . . 7

2.7 Changement de bases orthonormées . . . 7

2.8 Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel. . . 8

3 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien. 9 3.1 Définition. . . 9

3.2 Théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. . . 9

Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont desR-espaces vectoriels. On identifieraRetM1(R).

1 Produit scalaire.

1.1 Définition et propriétés d’un produit scalaire

Dans ce paragraphe,Edésigne unR-espace vectoriel de dimension finie ou infinie.

Définition

On dit qu’une applicationϕ:E×E→Rest unproduit scalairesurEsi et seulement siϕest uneforme :

„bilinéaire:

∀(x₁,x₂,y)∈E³,∀(λ1,λ2)∈R², ϕ(λ1x₁+λ2x₂,y) =λ1ϕ(x₁,y) +λ2ϕ(x₂,y)

∀(x,y₁,y₂)∈E³,∀(λ1,λ2)∈R²,ϕ(x,λ1y₁+λ2y₂) =λ1ϕ(x,y₁) +λ2ϕ(x,y₂)

„symétrique:

∀(x,y)∈E²,ϕ(y,x) =ϕ(x,y)

„positive:

∀x∈E, ϕ(x,x)¾0

„définie:

∀x∈E, ϕ(x,x) =0 =⇒ x=0_E Notation

On utilise souvent les notations〈x|y〉ou bien〈x,y〉ou encore(x|y)au lieu deϕ(x,y). Théorème : Cas de bilinéarité

Siϕ:E×E→Rest une forme symétrique et linéaire par rapport à la première (resp. seconde) variable alorsϕest linéaire par rapport à la seconde (resp. première) variable et doncϕest bilinéaire symétrique.

Propriété : Produit scalaire avec le vecteur nul

∀x∈E,〈x, 0_E〉=〈0_E,x〉=0 Propriété : Règles de calcul

Soit(x_i)1¶i¶ret(y_j)1¶j¶sdeux familles de vecteurs deE. Soit(λi)1¶i¶ret(βj)1¶j¶sdeux familles de réels. Alors :

* _r X

i=1

λix_i,

s

X

j=1

βjy_j +

=

r

X

i=1 s

X

j=1

λiβj〈x_i,y_j〉.

1.2 Exemples.

Exemple 1E=Rⁿ. L’ application suivante est un produit scalaire surE: Pour tous vecteursx= x₁, . . . ,x_n

et y= y₁, . . . ,y_n deE:

〈x|y〉=

n

X

i=1

x_iy_i=x₁y₁+· · ·+x_ny_n Ce produit scalaire est appeléproduit scalaire canoniquedeRⁿ.

Exemple 2E=Mn(R). L’application suivante est un produit scalaire surE: Pour tout couple(A,B)∈E²:

〈A|B〉=tr ^tAB où tr est la forme linéaire sur E:M7−→

n

X

i=1

m_i,i.

Exemple 3E=C⁰([a,b])aveca<b. L’application suivante est un produit scalaire surE: Pour tout couple(f,g)∈E²:

〈f,g〉= Z b

a

f(t)g(t)dt

Exemple 4E=R[X]. L’application suivante est un produit scalaire surE: Pour tout couple(P,Q)∈E²:

〈P,Q〉= Z +∞

0

P(t)Q(t)e^−tdt Exemple 5E=R[X]. L’ application suivante est un produit scalaire surE: Pour tout couple(P,Q)∈E²:

〈P,Q〉= Z 1

−1

P(t)Q(t) p1−t²dt

Exemple 6E=Rn[X]. L’application suivante est un produit scalaire surE: Pour tout couple(P,Q)∈E²:

〈P|Q〉=

n

X

k=0

P(k)Q(k)

1.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

∀(x,y)∈E², |〈x,y〉|¶〈x,x〉^1/2× 〈y,y〉^1/2 Cette inégalité est une égalité si et seulement si la famille(x,y)est liée.

Exemples

„∀(x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿ , ∀(y₁, . . . ,y_n)∈Rⁿ

n

X

i=1

x_iy_i

¶

‚ _n X

i=1

x²_i

Œ¹₂‚ _n X

i=1

y_i²

Œ¹₂

En particulier :∀(y₁, . . . ,y_n)∈Rⁿ

n

X

i=1

y_i

¶p n

‚ _n X

i=1

y_i²

Œ¹₂

„Pour toutes fonctions f etgcontinues sur[a,b](aveca<b), on a :

‚Z b a

f(t)g(t)dt

Œ²

¶

‚Z b a

f(t)²dt

Œ ‚Z b a

g(t)²dt

Œ

1.4 Norme euclidienne.

DéfinitionSoitEunR-espace vectoriel. Une norme surEest une applicationN deEdansRvérifiant :

• ∀x∈E , N(x)¾0

• ∀x∈E , N(x) =0⇐⇒x=0

• ∀x∈E , ∀λ∈R N(λx) =|λ|N(x)

• ∀(x,y)∈E² , N(x+y)¶N(x) +N(y)( inégalité triangulaire) Théorème et définition : Norme associée à un produit scalaire Soit〈, 〉un produit scalaire surE. l’application :

k.k : E → R⁺ x 7→ kxk=p

〈x,x〉

définit une norme surE. On l’appellenorme euclidienneassociée au produit scalaire〈, 〉.

DéfinitionOn dit d’un vecteurxdeEqu’il estunitairepour la normek.ksi et seulement sikxk=1.

Remarque Attention à ne pas confondre les deux interprétations possibles de la locution "polynôme unitaire " :

•polynôme de coefficient dominant égal à 1 (c’est presque toujours l’interprétation à faire),

•polynôme de norme 1 pour le produit scalaire défini sur un certain espace vectoriel de polynômes (en général, on précise de norme 1 plutôt que unitaire).

Remarque L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :

∀(x,y)∈E²,|〈x,y〉|¶kxk kyk Propriétés

•Une droite vectorielle dirigée parx6=0 possède exactement 2 vecteurs unitaires : 1

kxkx et −1 kxkx.

• kx+yk=kxk+kyk ⇐⇒x etysont colinéaires de même sens.

• ∀(x,y)∈E² , 〈x,y〉= 1

2 kx+yk²− kxk²− kyk² Exercice 1 Démontrer que :

∀(x,y)∈E²,〈x,y〉=1 4

kx+yk²− kx−yk² Exercice 2 Démontrer que :

∀(x,y)∈E², 2

kxk²+kyk²

=kx+yk²+kx−yk²

1.5 Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux.

Définition : Orthogonalité

Soit〈, 〉un produit scalaire surE. On dit que deux vecteurs deE xet ysontorthogonauxpour〈, 〉 si et seulement si〈x,y〉=0 et on note x⊥ y.

Définition : Orthogonalité de 2 sous-espaces vectoriels de E

Soit〈., .〉un produit scalaire surE. SoitF etGdeux sous-espaces vectoriels deE.F etGsont ditsorthogonaux pour〈., .〉lorsque

∀x∈F , ∀y∈G 〈x,y〉=0 On note alorsF⊥G.

Propriétés

•SiF⊥GalorsF∩G={0}.

•SoitF=Vect(x₁, . . . ,x_n)etG=Vect(y₁, . . . ,y_p)deux sous-espaces deEmuni d’un produit scalaire〈., .〉. Alors : F⊥G ⇐⇒ ∀(i,j)∈¹1,nº×¹1,pº,〈x_i,y_j〉=0

1.6 Familles orthogonales, familles orthonormales ou orthonormées.

Définition : Familles orthogonales et orthonormales Soit〈, 〉un produit scalaire surE.

•On dit qu’une famille(x_i)_i∈[[1,p]]de vecteurs deEest orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. C’est-à-dire lorsque :

∀(i,j)∈[[1,p]]² , i6= j=⇒x_i⊥x_j.

•On dit qu’une famille(x_i)_i∈[[1,p]]de vecteurs deEest orthonormale (ou orthonormée) lorsque ses vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux. C’est-à-dire lorsque :

∀(i,j)∈[[1,p]]² , 〈x_i,x_j〉=δi,j δi,j désignant le symbole de Kronecker Théorème : Propriétés des familles orthogonales et orthonormales

Soit〈., .〉un produit scalaire surEet(x₁, . . . ,x_p)une famille de vecteurs deE.

•Si la famille(x₁, . . . ,x_p)est orthogonale pour〈., .〉et ne contient pas le vecteur nul alors elle est libre.

•Si la famille(x₁, . . . ,x_p)est orthonormale pour〈., .〉alors elle est libre.

Exercice 3 E=C([0,π],R)est muni du produit scalaire défini par :

∀(f,g)∈E² , 〈f,g〉= Zπ

0

f(t)g(t)dt Pour tout i∈N, on définitϕipar∀t∈[0,π] , ϕi(t) =cos(i t).

Soit n∈N. Montrer que la famille(ϕ0, . . . ,ϕn)est une famille orthogonale de E. En déduire qu’elle est libre.

1.7 Théorème de Pythagore.

Théorème

•Deux vecteursxet ydeEsont orthogonaux si et seulement sikx+yk²=kxk²+kyk². Propriété

Si la famille(x₁, . . . ,x_p)est orthogonale alors :

p

X

i=1

x_i

2

=

p

X

i=1

kx_ik²

RemarqueDe manière générale,(x₁, . . . ,x_p)étant une famille de vecteurs deE, on a :

p

X

i=1

x_i

2

=

p

X

i=1

kx_ik²+2 X

1¶i<j¶p

x_i,x_j

2 Espaces euclidiens.

2.1 Définition d’un espace euclidien.

Définition

On appelleespace euclidientout couple(E,〈., .〉)oùEest unR-espace vectoriel de dimension finie et

〈., .〉un produit scalaire surE.

Par abus de langage, on dit souvent queEest un espace euclidien.

Exemple

Rⁿmuni de son produit scalaire canonique est un espace euclidien.

E=C([0, 1],R), muni du produit scalaire〈f,g〉= Z 1

0

f(t)g(t)dtn’est pas un espace euclidien.

2.2 Bases orthonormées d’un espace euclidien.

Définition

SoitEun espace euclidien.Best une base orthogonale deEsi est seulement siBest à la fois une base deE et une famille orthogonale deE.

Théorème : Caractérisation des bases orthogonales

Soitn∈N^?etEun espace euclidien de dimensionn.Best une base orthogonale deEsi et seulement siB est une famille orthogonale denvecteurs non nuls deE.

Définition

SoitEun espace euclidien.Best une base orthonormée deEsi est seulement siBest à la fois une base deE et une famille orthonormée deE.

Théorème : Caractérisation des bases orthonormées

Soitn∈N^?etEun espace euclidien de dimensionn.Best une base orthonormée (B.O.N) deEsi et seulement siBest une famille orthonormée denvecteurs deE.

ExempleDansRⁿmuni de son produit scalaire canonique, la base canonique est une base orthonormée deRⁿ.

2.3 Existence de bases orthonormées dans un espace euclidien.

Notions sur la méthode de l’orthonormalisation de Schmidt

SoitEun espace euclidien. On considère(u₁,u₂, . . . ,u_n)une base quelconque deE. Pour construire une base orthonormée(w₁,w₂, . . . ,w_n)à partir de(u₁,u₂, . . . ,u_n), on procède de la manière suivante :

• Étape 1 : On posev₁=u₁.

• Étape 2 : On posev₂=u₂+αv₁et on chercheαpour quev₂soit orthogonal àv₁.

• Étape 3 : On posev₃=u₃+βv₁+γv₂et on chercheβetγpour quev₃soit orthogonal àv₁etv₂. Et ainsi de suite....

• Étape k (k∈[[2,n]]) : Supposons que l’on ait construit(v₁,v₂, . . . ,v_k−1)famille orthogonale deEtelle que Vect(v₁,v₂, . . . ,v_k−1) =Vect(u₁,v₂, . . . ,u_k−1).

On construit alorsv_k. Pour cela on posev_k=u_k+λ1v₁+λ2v₂+. . .λk−1v_k−1. En écrivant quev_kest orthogonal àv_ipour toutidans[[1,k−1]], on calculeλipour toutidans[[1,k−1]]. On obtient alors :

v_k=u_k−

k−1

X

i=1

〈u_k,v_i〉 kv_ik² v_i.

À la fin de l’étape n, on a construit(v₁, . . . ,v_n)base orthogonale deE. ll ne reste plus qu’à poser (w₁, . . . ,w_n) = v₁

kv₁k, . . . , v_n kv_nk

‹

On dit que(w₁, . . . ,w_n)est la base orthonormée deEdéduite de(u₁,u₂, . . . ,u_n)par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.

Remarque

Par construction,∀k∈¹1,nº, v_k−u_k⊥v_ket par suite∀k∈¹1,nº, 〈v_k,u_k〉=kv_kk². Théorème

Tout espace euclidien admet une base orthonormée.

2.4 Complétion d’une famille orthonormée en une base orthonormée .

Théorème de completion d’une famille orthonormée SoitEun espace euclidien.

Toute famille orthonormée deEpeut être complétée en une base orthonormée deE.

2.5 Coordonnées et norme d’un vecteur dans une base orthonormée.

Théorème : Expression des coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée SoitB= (e₁, . . . ,e_n)une base orthonormée deE. SoitxdeE. On noteX =



 x₁

... x_n



la matrice colonne des coordonnées de xdans la baseB. Alors :

∀i∈¹1,nº , x_i=〈x,e_i〉 Ainsi :

x=

n

X

i=1

〈x,e_i〉e_i=〈x,e₁〉e₁+· · ·+〈x,e_n〉e_n Théorème : Expression de la norme d’un vecteur

SoitB= (e₁, . . . ,e_n)une base orthonormée deE.

Soitx∈E. On noteX=



 x₁

... x_n



la matrice colonne des coordonnées dex dans la baseB.

Alors

kxk= v u t

n

X

i=1

x²_i

2.6 Expression matricielle du produit scalaire et de la norme euclidienne en base ortho- normée.

Théorème : Expression de la norme d’un vecteur et du produit scalaire SoitB= (e₁, . . . ,e_n)une base orthonormée deE.

Soitx∈E. On noteX=



 x₁

... x_n



la matrice colonne des coordonnées dex dans la baseB.

Soit y∈E. On noteY =



 y₁

... y_n



la matrice colonne des coordonnées de ydans la baseB. Alors

〈x,y〉=

n

X

i=1

x_iy_i=^tX Y =^tY X et kxk= v u t

n

X

i=1

x_i²=p_t X X

2.7 Changement de bases orthonormées .

Théorème : Changement de base orthonormée

SoitB= (e₁, . . . ,e_n)etB⁰= (e⁰₁, . . . ,e⁰_n)deux bases orthonormées deE. SoitPla matrice de passage de la base B vers la baseB⁰. Alors,

P⁻¹=^tP Définition

Une matriceP∈ Mn(R)vérifiant :P⁻¹=^tP(⇐⇒P^tP=I_n⇐⇒^tP P=I_n)est diteorthogonale.

NotationOn noteOn(R)l’ensemble des matrices orthogonales deMn(R). Remarque

•Une matrice deMn(R)est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une famille orthonormée deMn,1(R)muni de sa structure euclidienne canonique.

•A∈ On(R) =⇒ ^tA∈ On(R).

•(A,B)∈(On(R))²=⇒ AB∈ On(R).

Exercice 4 Soit A∈ On(R).Mn,1(R)est muni de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que :∀(X,Y)∈ Mn,1(R)2

, 〈AX,AY〉=〈X,Y〉. (On dit alors qu’une matrice orthogonale conserve le produit scalaire)

2. Montrer que :∀X∈ Mn,1(R) , kAXk=kXk. (on dit alors qu’une matrice orthogonale conserve la norme) 3. Montrer que Sp A⊂ {−1, 1}.

4. Montrer que Ker(A−I_n)et Im(A−I_n)sont supplémentaires et orthogonaux

Exercice 5 Soitθ∈R. Soit A=





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1



. Montrer que A est une matrice orthogonale et déterminer son

inverse.

2.8 Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel.

Théorème et définition

SoitEun espace euclidien. SoitF un sous-espace vectoriel deE. L’ensemble des vecteurs deEqui sont orthogonaux à chaque vecteur deF est un sous-espace vectoriel deE. Il est appelél’orthogonaldeF et se note F^⊥. En d’autres termes :

F^⊥={x∈E/∀y∈F , x⊥y}

x∈F^⊥⇐⇒ ∀y∈F , x⊥ y Propriété

SiF=Vect("1, . . . ,"n)alors :

x∈F^⊥ ⇐⇒ ∀i∈¹1,nº, 〈x,"i〉=0 Théorème : Supplémentaire orthogonal

SoitE un espace euclidien. SoitF un sous-espace vectoriel deE. AlorsF etF^⊥sont deux sous-espaces vectoriels deEorthogonaux et supplémentaires. C’est-à-dire

F⊕F^⊥=E et F⊥F^⊥. F^⊥est l’unique supplémentaire deForthogonal àF.

F^⊥est appeléle suplémentaire othogonal deF dansE.

Propriétés

SoitEun espace euclidien.

•La concaténation d’une base orthonormale deF(sous-espace vectoriel de E)et d’une base orthonormale deF^⊥est une base orthonormale deE.

•SoitF un sous-espace vectoriel deE. Alors dim(F) +dim(F^⊥) =dim(E)

•SoitF un sous-espace vectoriel deE. Alors F^⊥⊥

=F

•F etGdeux sous-espaces vectoriels deE. AlorsF etGsont supplémentaires orthogonaux (c’est-à-direG=F^⊥ouF=G^⊥) si et seulement si :

G⊥F et dimF+dimG=dimE.

• {0_E}^⊥=EetE^⊥={0_E}.

Exercice 6 Soit E=R³muni du produit scalaire canonique et F=Vect







 1 1 1







. Déterminer une base orthogonale de

F^⊥.

Exercice 7 Soit E=R³muni du produit scalaire canonique et F={(x,y,z)∈R³/3x−y+4z=0}. Déterminer une base de F^⊥.

3 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien.

3.1 Définition.

Définition d’un endomorphisme symétrique

Un endomorphismef d’un espace vectoriel euclidienEest symétrique si et seulement si pour tout couple (x,y)de vecteurs deE, on a :

〈f(x), y〉 = 〈x, f(y)〉.

3.2 Théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques.

Théorème

Soit(E,〈., .〉)un espace euclidien. Soit f un endomorphismesymétriquedeE.

Alors f est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.

Il existe donc une baseBdeEorthonormée composée de vecteurs propres de f. Exercice 8 E=Rn[X]est muni du produit scalaire défini par :

∀(P,Q)∈E² , 〈P,Q〉= Z1

0

P(t)Q(t)dt On considèreΦdéfini par :

∀P∈E , Φ(P) =P(1−X). 1. Montrer queΦest un endomorphisme symétrique.

2. DéterminerΦ◦Φ. Quelle propriété du spectre deΦpeut-on en déduire ? 3. Écrire la matrice deΦdans la base 1,(X−¹₂), . . . , X−¹₂n

.