Chapitre 4 - Algèbre bilinéaire.

ÉCS2

Chapitre 4 - Algèbre bilinéaire.

Exercice4.1 Exemple de produit scalaire dansR³

DansE =R³, on désigne parxetyles triplets(x1, x2, x3)et(y1, y2, y3)(respectivement).

1. Soitf : E×E−→R, (x, y)7−→2x1y1+ 5x2y2+ 3x3y3−2x1y2−2x2y1. Prouver quef est un produit scalaire sur E.

2. On noteNla norme associée au produit scalairef. Que vautN (1; 2;−1)

? 3. SoitX =





 x1

x2

x3





etY =





 y1

y2

y3





.

Trouver une matrice symétriqueA deM3(R)telle que :

∀x, y∈E, f(x, y) = ^tXAY.

Exercice4.2 Une infinité de produits scalaires sur M3,1(R) SoitAune matrice inversible de M3(R). Montrer que

h., .i:M3,1(R)²→R,(X,Y)7→ ^tX^tAAY définit un produit scalaire surM_3,1(R).

Exercice4.3 Exemple de produit scalaire dans un espace de suites SoitE ={u= (un)_n∈

N^∗,X

n>1

u²_n converge}.

1. Étudier si les suitesx,y etz définies par :

∀n∈N^∗, x_n= 1

n, y_n = 1

√n et z_n=(−1)ⁿ n sont des vecteurs deE.

2. a)Justifier que, pour tous réelsaetb, ab

6 1

2(a²+b²).

b)Montrer que siuetv sont dans E, alors X

n>1

unvn converge.

c) En déduire que E est un espace vectoriel surR. 3. Montrer que ϕ: E×E−→R, (u, v)7−→

+∞

X

n=1

u_nv_n

est un produit scalaire sur E.

Exercice4.4 Trouver le produit à partir de la norme

1. Justifier que pour un produit scalaireh., .isurEet sa norme associée||.||

∀(x, y), hx, yi= 1 2

||x+y||²− ||x||²− ||y||² . 2. DansE =R³, soit N : E−→R, (x1, x2, x3)7−→q

x²₁+x²₂+x²₃+x1x3. Déterminer un produit scalaire dontNsoit la norme associée.

Exercice 4.5 Trois applications (indépendantes) de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

1. Quel est le minimum de

n

X

i=1

1 a_i

! _n X

i=1

ai

!

pour(ai)ⁿ_i=1∈(R^∗+)ⁿ? 2. Quel est le minimum de

Z b a

f(t)dt× Z b

a

1 f(t)dt pourf continue strictement positive sur[a;b]? 3. Montrer que, pour toute fonctionf continue sur[ 0 ; 1 ],

Z 1 0

f(t)dt ²

6 Z 1

0

f(t)2

dt.

Exercice 4.6 Un produit scalaire presque canonique dansR2[X]

DansE =R2[X], on considère l’application

ϕ: E²−→R, (P,Q)7−→P(0)Q(0) + P⁰(0)Q⁰(0) + P⁰⁰(0)Q⁰⁰(0).

1. Montrer queϕest un produit scalaire sur E.

2. La base canonique deEest-elle une base orthonormale pour ce produit scalaire ? 3. Déterminer une base orthonormale deEpour le produit scalaireϕ.

Exercice 4.7 Un autre produit scalaire surR2[X]

Reprendre l’exercice précédent en définissantϕpar :

ϕ(P,Q) = P(−1)Q(−1) + P(0)Q(0) + P(1)Q(1).

Exercice 4.8 Produit scalaire canonique deRn[X].

Soitn∈N^∗. Montrer qu’il existe une unique famille de réels (a0, a1, . . . , an)telle que la base canonique deRn[X]soit orthonormale pour le produit scalaire défini par

hP,Qi=

n

X

k=0

akP^(k)(0)Q^(k)(0).

Exercice 4.9 Produit scalaire canonique deMn(R) Soitn>2 etE =Mn(R).

On pose, pourAet BdansE, hA,Bi=Tr(^tA.B).

1. Vérifier queh., .iest bien un produit scalaire surMn(R).

2. Rappeler la base canonique deM₂(R).

Est-elle une base orthonormale ?

3. Démontrer que la base canonique deMn(R)est une base orthonormale.

4. Soit∆le sous-espace vectoriel deM_n(R)constitué des matrices diagonales.

Déterminer∆^⊥ (on pourra commencer par déterminer une base orthonormale de

∆).

Lycée HenriPoincaré 1/2 _lo

ÉCS2

Chapitre 4 - Algèbre bilinéaire.

Exercice4.10 Déterminer un supplémentaire orthogonal

1. DansE =R⁴ muni de son produit scalaire canonique, déterminerF^⊥ pour a)F =Vect((1; 2; 1; 2),(1; 0; 1; 0)); b)F ={(x, y, z, t)∈E, x−2y+ 3z= 0}; 2. DansE = R2[X]muni du produit scalaire de l’exercice 4.6, déterminer F^⊥ oùF

désigne

F =Vect(X,X²−1).

Exercice4.11 Une infinité de bases orthonormales dansR³ Soit E l’espace vectorielR³ muni du produit scalaire canonique.

Soitxun réel,u₁= (1,0,0),u₂= (0,cosx,sinx)et u₃= (0,−sinx,cosx). 1. Montrer que la famille(u1, u2, u3)est une base orthonormale de E.

2. Justifier queA =







1 0 0

0 cosx −sinx 0 sinx cosx





est inversible, calculerA⁻¹.

Exercice4.12 Recherche de bases orthonormales SoitE =R⁴ muni du produit scalaire canonique et

F ={(x, y, z, t)/x−y+t= 0et y+z+t= 0}.

1. Déterminer une base orthonormale deF, puis une base deF^⊥. 2. Reprendre la question précédente avecF =Vect((1; 2;−1; 0)).

Exercice4.13 Orthogonalité des polynômes de Tchebychev de première espèce.

Soit(Tn)_n∈

N la famille de polynômes définie par :

T0= 1,T1= X, et pour toutn∈N,Tn+2= 2XTn+1−Tn. 1. a)CalculerT2 etT3.

b)Pour n∈N, déterminer le degré, le coefficient dominant et la parité deTn. 2. a)Vérifier que :

∀n∈N,∀x∈R, Tn(cos(x)) = cos(nx).

b)En déduire, pourndansN^∗, les racines deT_n.

3. Soit f une fonction continue sur [−1; 1]. À l’aide de l’intégrale Z π

0

f(cos(t))dt, montrer que l’intégrale

Z 1

−1

f(u)

√

1−u²duexiste.

4. Soitn∈N^∗ et E =Rn[X]. Montrer que

h., .i: E×E−→R, (P,Q)7−→

Z 1

−1

P(u)Q(u)

√1−u² du est un produit scalaire surE.

5. Montrer que la famille(Ti)06i6n est une base orthogonale de E.

6. En déduire une base orthonormale deE.

Exercice 4.14 Lorsqu’un endomorphisme conserve l’orthogonalité Soitf un endomorphisme d’un espace euclidienEvérifiant

∀x, y∈E, x⊥y⇒f(x)⊥f(y).

Montrer qu’il existeλ∈R⁺ vérifiant

∀x∈E, ||f(x)||=λ||x||.

On pourra commencer par montrer que sixety sont unitaires,x+y⊥x−y...

Exercice 4.15 Étude d’un endomorphisme

Soitnun entier au moins égal à3. On travaille dans l’espaceE =Rⁿmuni de son produit scalaire canonique.

On considère deux vecteursaetb deRⁿ telle que(a, b)soit une famille orthonormale.

On définit surEl’applicationf par :

∀x∈E, f(x) =ha, xib− hb, xia.

1. Vérifier quef est un endomorphisme deE.

2. a)Déterminer Kerf.

b)Déterminer Imf, en en précisant une base.

c) Justifier que Kerf et Imf sont supplémentaires.

3. Montrer que :

∀(x, y)∈E², hf(x), yi=− hx, f(y)i. On dit que f est antisymétrique.

4. Montrer que :

∀(x, y)∈E², hf◦f(x), yi=hx, f◦f(y)i.

On dit que f◦f est symétrique.

Lycée HenriPoincaré 2/2 _lo