Algèbre Bilinéaire

Algèbre Bilinéaire

Filière

Sciences Mathématiques Appliquées SMA

Prof : MUSTAPHA BOUALLALA Université Cadi Ayyad

Faculté poly-disciplinaire-

Safi

Notations et Symboles

E UnK-espace vectoriel.

M_n(K) L’ensemble des matrice carrée d’ordrenà coefficients dansK.

Ker(u) Le noyau deu,Ker(u) ={x ∈ E, u(x) =₀}_. Im(u) L’image deu, Im(u) ={u(x), x ∈ E}. L(E,F) L’ensemble des applications linéaires de EdansF.

L(E) L’ensemble des applications linéaires deEdansE.

E^∗ =L_K(E,K) L’ensemble des formes linéaire dansE.

Kn[X] L’ensemble les polynômes de degré inférieur ou égal àn à coefficients dansK.

Vect{xi} L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteursx_i. L₂(E) L’ensemble des formes bilinéaire surE.

S₂(E) L’ensemble des formes bilinéaire symétrique sur E.

A₂(E) L’ensemble des formes bilinéaire antisymétrique surE.

`²(R) L’ensemble des suites(xn)_n≥0telles que ∑^∞

n=0

|xi|² <∞. C([a,b],R) L’ensemble des fonctions continues de[a,b]dansR.

χ_u Le polynômes caractéristique de utel queχu(X) = det(u−XI)).

O(E) L’ensemble des endomorphisme orthogonaux.

O⁺(E) L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant égal à 1 surE.

O⁻(E) L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant égal à−_{1 surE.}

GL(E) Le groupe des endomorphismes sur E.

O_n(_R) L’ensemble des matrices orthogonales d’ordrenà coefficients réels.

O⁺_n (_R) L’ensemble des matrices orthogonales d’ordrenà coefficients réels de déterminant égal à 1.

O⁻_n (_R) L’ensemble des matrices orthogonales d’ordrenà coefficients réels de déterminant égal à−1.

GL_n(R) Le groupe des matrices d’ordrenà coefficients réels.

Table des matières

1 Formes linéaires - Dualité 5

1.1 Formes linéaire et hyperplan . . . 5

1.2 Espace vectoriel dual . . . 6

1.3 Base duale . . . 7

1.4 Prolongement des formes linéaires . . . 8

1.5 Orthogonalité ou sens de la dualité . . . 9

1.6 Bidual . . . 11

1.7 Transposition . . . 13

2 Formes bilinéaire symétriques-Formes quadratiques 15 2.1 Forme Bilinéaire symétrique . . . 15

2.2 Matrice d’une forme bilinéaire . . . 16

2.3 Écriture matricielle d’une forme bilinéaire . . . 17

2.4 Changement de base . . . 18

2.5 Rang d’une forme bilinéaire . . . 18

2.6 Forme bilinéaire symétrique . . . 19

2.7 Formes quadratiques . . . 20

2.8 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées . . . 21

2.9 Orthogonalité, Vecteurs isotropes . . . 23

2.10 Base orthogonale . . . 26

2.11 Cas d’unR-espace vectoriel . . . . 28

2.12 Méthode de Gauss pour la résolution des formes quadratiques . . . 30

3 Espaces euclidiens 33 3.1 Produit scalaire . . . 33

3.2 Règles de calcul sur un espace euclidien . . . 34

3.3 Inégalité de Cauchy-Schwartz . . . 35

TABLE DES MATIÈRES

3.7 Produit vectoriel de deux vecteurs . . . 39

4 Endomorphisme d’un espace euclidien 41 4.1 Matrice d’un endomorphisme . . . 41

4.2 Endomorphisme adjoint . . . 41

4.3 Endomorphisme symétrique . . . 43

4.4 Projection orthogonale . . . 45

4.5 Symétrie orthogonale . . . 47

4.6 Endomorphisme orthogonaux ou isométries . . . 48

5 Espaces hermitiens 53 5.1 Formes sesquilinéaires . . . 53

5.2 Représentation matricielle . . . 54

5.3 Changement de base . . . 54

5.4 Formes hermitiennes . . . 55

5.5 Orthogonalité . . . 56

5.6 Isotrope . . . 57

5.7 Base orthogonale . . . 57

5.8 Produit hermitien . . . 58

5.9 Règle de calcul . . . 59

5.10 Intégrale de Cauchy-Sylvester . . . 59

5.11 Endomorphisme adjoint . . . 60

5.12 Endomorphisme autoadjoint . . . 61

5.13 Endomorphisme unitaire . . . 62

5.14 Endomorphisme normaux . . . 63

5.15 Projection orthogonales . . . 64

Bibliographie 66

Chapitre 1

Formes linéaires - Dualité

1.1 Formes linéaire et hyperplan

SoitEunK-espace vectoriel quelconque.

Une forme linéaire surEest application linéaire deEversK.

Théorème 1

Exemple 1.1.1 1)

f1 : R³ → _R

(x,y,z) 7→ f₁(x,y,z) = 2x−y+3z.

2)

f₂ : M_n → _R

A 7→ f2(A) =Tr(A) =

∑

i

aii.

SoitEunK-espace vectoriel quelconque :

– On dit queHest un hyperplan deEsidim(E/H) =1 – Si la dimension deEest fini, alors

Hest un hyperplan deE⇔dim(H) =dim(E)−1 Théorème 2

1.2 Espace vectoriel dual

SoitEunK-espace vectoriel quelconque, alors :

1) Le noyau d’une forme linéaire non nulle surEest un hyperplan deE.

2) Tout hyperplan deEest le noyau d’au moins une forme linéaire non nulle deE.

3) Si f etgdeux formes linéaires non nulles deE, alors ker(f) = ker(g) ⇔ ∃_λ∈_Ktq f =λg.

Proposition 1

Démonstration 1.1.1 1) Soit f une forme linéaire non nulle, alors E/Ker(f) est isomorphe à Im(f)(Théorème d’isomorphisme).

Or f est non nulle, alors Im(f)6={0_K}, donc Im(f) =K. Par suite E/Ker(f)est isomorphe àK.

Ce qui est implique dim(E/Ker(f)) = dim(_K) = 1. D’où dim(Ker(f)) = dim(E)−1.

Conclusion Ker(f)est un hyperplan de E.

2) Soient H est un hyperplan de E et e tels que E= H⊕_Ke.

Donc∀x ∈ E, ∃!(h,λ) ∈ H×_Ktq x = h+λe et l’application f : x ∈ E →λ ∈ _K, x 7→

f(x) = λx est une forme linéaire.

f(x) = 0⇔λ=0⇒x =h⇒ Ker(f) = H.

3) ⇒)Supposons que Ker(f) = Ker(g), et soit x0 ∈ E, tel que x0 6∈ Ker(f), donc on aura E=ker(f)⊕Vect{x0}.

Soit x ∈ E, x = y0+αx0, y0 ∈ Ker(f), alors f(x) = f(y0) +αf(x0) = αf(x0).Puisque g(x₀) 6= ₀ , on aura f(x) = ^f(x₀)

g(x0)^g(x). D’où ∀x ∈ E, f = ^f(x₀)

g(x0)g, Il suffit de prendre λ = ^f(x₀)

g(x0)^.

⇐)Trivial

1.2 Espace vectoriel dual

SoitEunK-espace vectoriel quelconque.

On appelle espace duale de E, noté E^∗, l’espace vectoriel de toutes les formes li- néaires ϕ: E →_K.

On noteE^∗ =L_K(E,K). Théorème 3

1.3 Base duale

On suppose queEest de dimension finie, alorsdim_K(E) = dim_K(E^∗). En effet :

On adim_K(L_K(E,F)) =dim(E)×dim(F).

Alorsdim_K(E^∗) =dim_K(L_K(E,K)) =dim(E)×dim(_K) = dim(E) Remarque 1

Exemple 1.2.1 1) E =_Rⁿ, pour chaque i1 ≤i ≤n.

Soit P_i : Rⁿ → _R la ième projection de Rⁿ sur R, ∀x ∈ _Rⁿ, x = (x₁,x₂, ...,xn), on a P_i(x) = x_i.

Donc ∀i 1 ≤ i ≤ n, P_i est une forme linéaire, les P_i sont très utiles en calcul différentiel ils sont désignés par dx_i.

2) E =C([a,b])leR-espace vectoriel des fonction continues sur l’intervalle[a,b]. L’application ϕ : C([a,b]) → _R

f 7→ ϕ(f) = Z _b

a f(t)dt.

est linéaire surC([a,b]).

1.3 Base duale

SoitEunK-espace de dimension finie est égal àn.

(e₁,e₂, ...,en)est une base quelconque deE, pour chaquei, 1≤n, on définite^∗_i ∈ E^∗ par :

∀j 1≤ jn; e_i^∗(e_j) =<e_j,e^∗_i >=_δij =

( 1 si i =j 0 sii 6= j

Alors(e₁^∗,e₂^∗, ...,e^∗_n)forme une base deE^∗ appelée base duale de(e1,e2, ...,en). Proposition 2

Preuve 1.3.1 On doit vérifier que(e₁^∗,e₂^∗, ...,e^∗_n)forme une base de E^∗.

On sait que dim(E^∗) = dim(E) =n, donc il suffit de vérifier que(e₁^∗,e₂^∗, ...,e^∗_n)est libre.

Soient(α₁,α₂, ...,αn) ∈ _Rⁿ tel que ∑ⁿ

i=1

α_ie^∗_i =0_E^∗, a-t-onα₁=α₂ =... =αn =0?

On a ∑ⁿ e^∗ ⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, <e;∑ⁿ e^∗ >=0.

1.4 Prolongement des formes linéaires

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien.

(e₁,e2, ...,en)est une base quelconque deE, (e₁^∗,e₂^∗, ...,e^∗_n)sa base duale, alors : 1) ∀x ∈ E; x = _∑ⁿ

i=1

<x;e^∗_i >ei. 2) ∀ϕ∈ E^∗; ϕ= _∑ⁿ

i=1

<ei;ϕ>e_i^∗. Proposition 3

Preuve 1.3.2 1) Soit x∈ E, donc x = _∑ⁿ

i=1

x_ie_i.

⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, <x;e^∗_j >=< _∑ⁿ

i=1

x_ie_i;e^∗_j >.

⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, <x;e^∗_j >= _∑ⁿ

i=1

x_i <e_i;e^∗_j >=x_j.

⇒ x= _∑ⁿ

i=1

< x;e^∗_i >e_i. 2) Soit ϕ ∈ E^∗, avecϕ = _∑ⁿ

i=1

y_ie^∗_i.⇒ ∀j, 1 ≤ j ≤n, <e_j;ϕ >=<e_j; ∑ⁿ

i=1

y_ie^∗_i >= _∑ⁿ

i=1

y_i <

ej;e^∗_i >.

⇒ ϕ= _∑ⁿ

i=1

<ei;ϕ>e^∗_i.

Exemple 1.3.1 SoitKun corps commutatif et β = (1,X,X², ...,Xⁿ) la base canonique deKn[X]. Alors la base duale β^∗ = (e^∗₀,e₁^∗,e²_∗, ...,e_n^∗)est définie par :

∀i∈ {0, 1, ...,n}, ∀P∈ _Kn[X], P = _∑ⁿ

k=1

a_kX^k. D’après la proposition on a : P= _∑ⁿ

i=1

< P;e^∗_i >e_i = _∑ⁿ

k=1

< P;e^∗_i >Xⁱ. Donc<P;e^∗_i >=a_i. Pour chaque a∈ _{K, soit} ϕala forme linéaire définie surKn[X]par :∀P∈ _Kn[X]; ϕa(P) = P(a). Alors d’après la proposition précédente, on a :ϕa = _∑ⁿ

i=1

<Xⁱ;ϕa >e^∗_i = _∑ⁿ

i=1

aⁱe^∗_i.

1.4 Prolongement des formes linéaires

Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie n et Fun sous-espace vectoriel deE, alors :

Toute forme linéaireψdeFse prolonge en une forme linéaire ϕsurE.

∀ψ∈ F^∗, ∃ϕ∈ E^∗ telle que ϕ_/F =ψ.

Théorème 1

1.5 Orthogonalité ou sens de la dualité

Preuve 1.4.1 Soitψ∈ F^∗, puisque F est ss-ev de E, donc F possède au moins un supplémentaire G de E c.à.d E= F⊕G.

Soit ϕ∈ E^∗définie par ϕ(x) = _ψ(x₁)ou x= x₁+x₂. D’ouϕ∈ E^∗ etϕ/F =ψ.

Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, alors pour chaque x ∈ E\ {0}, il existe ϕ∈ E^∗ telle que<x,ϕ>=1.

Corollaire 1

Preuve 1.4.2 Soit x∈ E\ {0}.

O pose F =Vect{x}; ∃_α ∈_Ktels que y ∈ F ⇒y=_αx.

Soitψ∈ F^∗définie par∀y ∈ F; ψ(y) =<y;ψ>=_α ∈_Kou bienψ(y) = α.

D’après le théorème précédent, il existe ϕ∈ E^∗ tels queϕ/F =_ψavec<x;ϕ>=1.

1.5 Orthogonalité ou sens de la dualité

SoitEunK-espace vectoriel.

1) Pour toute partie non vide deE, l’orthogonale deA, qu’on noteA^⊥, est la partie deE^∗définie par :

∀_ϕ∈ E^∗; ϕ∈ A^⊥ ⇔ ∀x∈ A,<x;ϕ>=_0.

A^⊥ ={ϕ∈ E^∗; ∀x ∈ A; <x,ϕ>=0}.

2) Pour toute partie non vide BdeE^∗, l’orthogonale de BdansEnotéB^◦, la partie deEdéfinie par :

∀ϕ∈ E; x ∈ B^◦ ⇔ ∀ϕ∈ B,< x;ϕ>=0.

B^◦ ={x∈ E; ∀ϕ∈ B; <x,ϕ>=0} = ^\

ϕ∈B

Ker(ϕ). Théorème 4

1.5 Orthogonalité ou sens de la dualité

SoitEunK-espace vectoriel, alors

1) Pour toute partieAdeEet pour toute partieBdeE, on a A⊆B ⇒B^⊥ ⊆A^⊥.

2) Pour toute partieAdeE, A^⊥est un ss-ev de E^∗. 3) Pour toute partieAdeE, A^⊥ = (Vect(A))^⊥.

4) Pour toute partieBdeE^∗, B^◦ est un sous-espace vectoriel deE.

5) Pour toute partieBdeE^∗, B^◦ = (Vect(B))^◦. 6) E^⊥ ={0E^∗}et E^∗◦ ={0E}.

Proposition 4

Preuve 1.5.1 1) Supposons que A⊆ B et soitϕ∈ E^∗, alors on a : ϕ∈ B^⊥ ⇒ ∀x ∈ B; ϕ(x) = 0. (car A⊆B)

⇒ ∀x∈ A; ϕ(x) = 0⇒ ϕ∈ A^⊥. 2),3),4),5),6) Exercice.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie, alors Pour tout sous-espace vectorielFdeE, on a

dim_K(F) +dim_K(F^⊥) = dim_K(E)_. Théorème 2

Preuve 1.5.2 Soit

Φ : E^∗ → F^∗

ϕ 7→ _Φ(_ϕ) = _ϕ/F. AlorsΦest linéaire. ϕ∈ Ker(_Φ) ⇔_Φ(ϕ) =0F^∗ ⇔ ϕ_/F =0F^∗.

ϕ∈ Ker(_Φ) ⇔ ∀x∈ F; <x;ϕ>=0⇔ ϕ∈ F^⊥. Donc Ker(_Φ) = F^⊥.

On sait Ψ ∈ F^∗, il existe ϕ ∈ E^∗ telle queΦ(ϕ) = _Ψ ⇔ ϕ_/F = _{Ψ, donc Φ}est surjective, alors Im(_Φ) = F^∗.

Or dim_K(E^∗) +dim_K(Ker(_Φ)) =dim_K(Im(_Φ)),

dim_K(E) +dim_K(F^⊥) =dim_K(F^∗). D’où

dim (E) +dim (F^⊥) =dim (F).

1.6 Bidual

SoitEunK-espace vectoriel, alors

1) Pour tout sous-espace vectorielFdeE, on a : (F^⊥)^◦ =F.

2) Si Ede dimension finie, alors pour tout sous-espace vectorielGdeE, on a : (G^◦)^⊥ =G.

Théorème 3

Preuve 1.5.3 1) Il est clair, par définition F ⊆(F^⊥)^◦, donc i suffit de montrer que(F^⊥)^◦ ⊆F.

Supposons par l’absurde, qu’il existe x ∈ E, tel que x∈ (F^⊥)^◦et x 6∈F.

Donc d’après ce qui précède, il existe ϕ∈ E^∗, telle queϕ(x) =₁et∀y ∈ F,ϕ(y) = 0.

Ainsi ϕ∈ F^⊥ et puisque x∈ (F^⊥)^◦, alorsϕ(x) =0, ce qui est absurde car ϕ(x) = 1.

2) On voit facilement que G ⊆(G^◦)^⊥, donc il suffit de montrer que(G^◦)^⊥ ⊆G. Puis que G est de dimension finie il existe ϕ1,ϕ2, ...,ϕm tels que G =Vect{_{ϕ1,ϕ2, ...,ϕm}}.

Soit ϕ∈(G^◦)^⊥et soit x ∈ E tel que ϕ1(x) = _ϕ2(x) =_...ϕm(x) =0.

Puisque G =Vect{_{ϕ1,ϕ2, ...,ϕm}}, alors∀_ψ∈ G, ψ(x) = 0, par suite x ∈ G^◦etϕ∈(G^◦)^⊥, alors∀_ϕ(x) =0.

Or ^Tm

i=1

Ker(_ϕi) ⊆ Ker(_ϕ), donc d’après ce qui précède ϕ ∈ Vect{(_ϕ1,ϕ2, ...,ϕm)}.D’où (G^◦)^⊥ ⊆G.

1.6 Bidual

SoitEunK-espace vectoriel, On appelle bidual deE, qu’on noteE^∗∗, le dual de E.

E^∗∗ = (E^∗)^∗ =L(E^∗,K) .

Théorème 5

Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors E^∗∗ est canoniquement iso-

∗

Théorème 4

1.6 Bidual

Preuve 1.6.1 On considère

J : E → E^∗∗

x 7→ Jx = J(x). avec

Jx : E^∗ → _K ϕ 7→ ϕ(x). telle que< ϕ;J(x) >=<x;ϕ>.

1) Montrons que∀x ∈ E, Jx ∈ E^∗∗. Soient ϕ1,ϕ2 ∈ E^∗, α,β∈ _K.

Jx(_αϕ1+_βϕ2) = (_αϕ1+_βϕ2)(x) = _αϕ1(x) +_βϕ2(x) = _αJx(_ϕ1) +βJx(_ϕ2). 2 J est une application linéaire.

Soient x,y∈ E, α,β∈ _{K, ϕ}∈ E^∗.

(J(αx+βy))(_ϕ) = _ϕ(_α(x) +_β(y)) = (_αJ(x) +_βJ(y))(_ϕ). 3) J est bijective.

Il suffit de montrer que J est injective car dim(E) =dim(E^∗∗). Soient x ∈ E tel que J(x) = 0et(e₁,e₂, ...,en)une base de E.

Donc∀i∈ _N^∗; J(x)(e_i^∗) =0⇒ ∀i ∈_N^∗; e^∗_i(x) =0. D’où x =0.

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et J : E → E^∗∗ l’isomor- phisme canonique entreEetE^∗∗. Alors

1) Pour toute base βdeE, on a j(β) = β^∗∗, oùβ^∗∗ = (β^∗)^∗ est la base duale de β^∗ dansE^∗∗.

2) Siγest une base deE^∗,γ^∗sa base duale dansE^∗∗etβest sa base pré-duale dans E, alorsβ = J⁻¹(γ^∗).

Proposition 5

Preuve 1.6.2 1) Soitβ= (e₁,e₂, ...,en)est une base de E, alors on a J(e_k)(e^∗_l); ∀k∈ {1, 2, ...,n}, ∀l ∈ {1, 2, ...,n}, <e^∗_l;J(e_k)>=<e_k;e^∗_l >=δ_kl.

Donc∀k∈ {1, 2, ...,n}, J(e_k) = (e^∗_l)^∗ ⇒ j(β) = β^∗∗.

2) Puisqueβ^∗ =γ, alors d’après 1) J(β) = γ^∗, donc β=j⁻¹(γ^∗).

1.7 Transposition

1.7 Transposition

SoientEet FdeuxK-espace vectoriel etu : E→ Fune application linéaire.

On appelle transposée de u qu’on note ^tu l’application ^tu : F^∗ → E^∗ telle que

∀ϕ∈ F^∗, ^tu(ϕ) = ϕ◦u.

Théorème 6

SoientE,FetGtroisK-espace vectoriels. Alors 1) ∀u∈ L(E;F), ∀v ∈ L(E;F), ^t(u+v) =^t u+^tv.

2) ∀λ∈ _K,∀u∈ L(E;F), ^t(λu) =λ^tu.

3) ∀u∈ L(E;F), ∀v ∈ L(E;F), ^t(u◦v) =^t u◦^tv.

Proposition 6

Preuve 1.7.1 1) ∀ϕ ∈ F^∗, ^t(u+v)(ϕ) = ϕ◦(u+v) = ϕ◦u+ϕ◦v =^t u(ϕ) +^tv(ϕ) = (^u+^tv)(ϕ). Donc^t(u+v) =^t u+^tv.

2) ∀ϕ∈ F^∗, ^t(λu)(ϕ) = ϕ(λu) =λ(ϕ◦u) = λ^tu(ϕ). Donc^t(λu) = λ^tu.

3) ∀ϕ∈ G^∗, ^t(v◦u)(ϕ) = ϕ(v◦u) = (ϕ◦v)◦u=^t v(ϕ)◦u=^t u(^tv(ϕ)) = (^tu◦^tv)(ϕ). Donc^t(v◦u) =^t u◦^tv.

u : E→ Flinéaire,^tu: F^∗ →E^∗transposée deu.

∀x∈ E; ∀ϕ∈ F^∗, <u(x);ϕ>=<x;^tu(ϕ) >

Remarque 2

En effet :<u(x);ϕ>= _ϕ(u(x)) = _ϕ◦u(x) =^t u(_ϕ)(x) =<x;^tu(_ϕ) >.

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie=n,(e1,e2, ...,en)une base deE.

Alors∀i,j, a_ij =<u(e_j);e^∗_i >avec A= (a_ij)_1≤i,j≤n la matrice de u.

Lemme 1

Preuve 1.7.2 On a A= (a_ij)_1≤i,j≤n la matrice de u, alors∀j, 1≤ j≤n, u(e_j) = _∑ⁿ

k=1

a_kje_k.

∗ ⁿ ∗ ⁿ ∗

1.7 Transposition

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie=n,(e₁,e2, ...,en)une base deE, (e^∗₁,e^∗₂, ...,e^∗_n)sa base duale,u ∈ L(E)et A =Mat(u,(e₁,e2, ...,en)).

Alors la matrice de^tudans la base(e₁^∗,e₂^∗, ...,e^∗_n)est égal à la matrice transposée^tA deA.

Théorème 5

Preuve 1.7.3 On pose B =Mat(^tu,(e^∗₁,e^∗₂, ...,e^∗_n)) = (bij)₁≤i,j≤n.

⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, ^tu(e^∗_j) = _∑ⁿ

k=1

b_kje^∗_k, u(ej) = _∑ⁿ

k=1

a_kje_k.

⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, ∀i, 1≤i≤n, <e_i;^tu(e^∗_j) >= _∑ⁿ

k=₁

b_kj <e_i;e^∗_k >= _∑ⁿ

k=₁

b_kjδ_ik =b_ij.

⇒b_ij =<e_i;^tu(e^∗_j) >=<u(e_i);e^∗_j >= _∑ⁿ

k=1

a_ki <e_k;e^∗_j >=< _∑ⁿ

k=1

a_kiδ_kj >=a_ji. Conclusion B =^t A.

Chapitre 2

Formes bilinéaire symétriques-Formes quadratiques

2.1 Forme Bilinéaire symétrique

SoientEunK-espace vectoriel et f : E×E →_Kune application.

On dit que f est une forme bilinéaire surEsi : 1) Pour chaquey ∈ E, l’application

ϕy : E → _K

x 7→ _ϕy(x) = f(x,y) est linéaire (⇒ _ϕy ∈ E^∗) 2 Pour chaquex∈ E, l’application

ϕx : E → _K

y 7→ ϕx(y) = f(x,y) est linéaire (⇒ ϕx ∈ E^∗) Théorème 7

2.2 Matrice d’une forme bilinéaire

1) Si f : E×E →_Kest bilinéaire, alors i) f(x1+x2,y) = f(x1,y) + f(x2,y). ii) f(x,y1+y2) = f(x,y1) + f(x,y2). iii) f(λx,y) =λf(x,y).

iv) f(x,λy) = λf(x,y).

2) SiEest de dimension finie=n, soient(e1,e2, ...,en)une base deEet f : E×E → Kbilinéaire.

Alorsx= _∑ⁿ

i=1

xieiety = _∑ⁿ

j=1

yjej.

⇒ f(x,y) = f(_∑ⁿ

i=1

x_ie_i;

∑n j=1

y_je_j) = _∑ⁿ

i=1

∑n j=1

x_ix_jf(e_i,e_j)

3) On note L₂(E) l’ensemble de toutes les formes bilinéaire sur E. Alors (L₂(E),+, .)est un espace vectoriel surK.

Remarque 3

2.2 Matrice d’une forme bilinéaire

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, (e₁,e2, ...,en) une base de E et f : E×E →_Kune application bilinéaire. Alorsx = _∑ⁿ

i=1

x_ie_i ety= _∑ⁿ

j=1

y_je_j. On a montrer que f(x,y) = _∑

1≤i,j≤n

x_ix_jf(e_i,e_j)

A = (f(e_i,e_j))_1≤i,j≤n s’appelle la matrice de f dans la base(e1,e2, ...,en). (A =Mat(f,(e1,e2, ...,en))).

Théorème 8

2.3 Écriture matricielle d’une forme bilinéaire

Réciproquent, soit A = (aij)_1≤i,j≤n une matrice carrée quelconque, alors l’applica- tion

f : E×E → _K

(x,y) 7→ f(x,y) =

∑

1≤i,j≤n

aijxiyj.

est une forme bilinéaire surE.

Ainsi, on a une correspondance entre les formes bilinéaires sur E et les matrices carrées.

Ψ : L₂(E) → M_n(_K)

f 7→ Mat(f,(e1,e2, ...,en)). 1) Ψest linéaire.

Ψ(f +g) = Mat(f +g,(e1,e2, ...,en))

= Mat(f,(e₁,e₂, ...,en)) +Mat(g,(e₁,e₂, ...,en)), ψ(λf) = Mat(λf,(e1,e2, ...,en)) = λMat(f,(e1,e2, ...,en)). 2) Ψest bijective. DoncΨest un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Doncdim(L₂(E)) =dim(M_n(_K)) =n². Remarque 4

2.3 Écriture matricielle d’une forme bilinéaire

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n, (e₁,e₂, ...,en) une base de E et f : E×E →_Kune forme bilinéaire.

Pour chaquex∈ E, avecx = _∑ⁿ

i=1

x_ie_i, on pose X =



















 x₁ x2

. . . xn





















et^tX = (x₁,x₂, ...,xn).

Alors f(x,y) =^t XAY, A= Mat(f,(e1,e2, ...,en)).

2.4 Changement de base

2.4 Changement de base

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n, B = (e₁,e2, ...,en), B⁰ = (e⁰₁,e₂⁰, ...,e⁰_n)deux bases deEet f : E×E→_Kune forme bilinéaire.

On pose A= Mat(f,(e₁,e2, ...,en))et B= Mat(f,(e⁰₁,e⁰₂, ...,e⁰_n)).

SoitPla matrice de passage de la baseB= (e₁,e2, ...,en)à la baseB⁰ = (e⁰₁,e⁰₂, ...,e⁰_n). AlorsB=^t PAP.

Proposition 7

Preuve 2.4.1 Soient x= _∑ⁿ

i=1

xiei = _∑ⁿ

i=1

x⁰_ie⁰_iet y = _∑ⁿ

j=1

yiei = _∑ⁿ

i=1

y⁰_je⁰_j.

X=



















 x₁ x2

. . . xn



















 , X⁰ =



















 x₁⁰ x₂⁰ . . . x⁰_n



















 , Y=



















 y₁ y2

. . . yn





















et Y⁰ =



















 y⁰₁ y⁰₂ . . . y⁰_n



















 .

On sait que X =PX⁰et Y =PY⁰,

Or f(x,y) =^t XAY=^t (PX⁰)A(PY⁰) = (^tX^0tP)A(PY⁰) =^t X⁰(^tPAP)Y⁰. D’autre part on f(x,y) =^t X⁰BY⁰. Donc B=^t PAP.

2.5 Rang d’une forme bilinéaire

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et f : E×E → _K une forme bilinéaire. On considère l’application

Φ : E → E^∗

y 7→ _ϕy =_Φ(y)

où∀x ∈ E, <x,ϕy >= f(x,y).

Φest donc une application linéaire deEversE^∗.

Par définition, le rang de f est égal au rang deΦ.

rang(f) = rang(_Φ) = dim(Im(_Φ))_. Théorème 9

2.6 Forme bilinéaire symétrique

Soient(e1,e2, ...,en)une base de E,(e^∗₁,e^∗₂, ...,e^∗_n)sa base duale de E^∗. CalculonsMat(_Φ,(e1,e2, ...,en),(e^∗₁,e^∗₂, ...,e^∗_n)).

∀j, 1 ≤j ≤n, Φ(ej) = _∑ⁿ_i=1 <ei,Φ(ej) >e^∗_i.

<ei,Φ(ej) >=<ei,ϕe_j >= f(ei,ej).

⇒ ∀j, 1 ≤j ≤n, Φ(e_j) = _∑ⁿ

i=₁

f(e_i,e_j).

⇒ Mat(_Φ,β,β^∗) = (f(ei,ej))_1≤i,j≤n = Mat(f,(e1,e2, ...,en)).

Soit Ala matrice de f dans la base(e1,e2, ...,en), alorsrang(f) =rang(A). Remarque 5

2.6 Forme bilinéaire symétrique

SoitEunK-espace vectoriel et f : E×E →_Kune forme bilinéaire 1) On dit que f est symétrique si,∀x∈ E, ∀y ∈ E, f(x,y) = f(y,x). 2) On dit que f est antisymétrique si,∀x ∈ E, ∀y∈ E, f(x,y) =−f(y,x).

Théorème 10

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie=n,(e₁,e₂, ...,en)une base deE, Mat(f,(e₁,e₂, ...,en))et f ∈ L₂(E).

1) f est symétrique⇔^t A= A.

2) f est antisymétrique⇔^t A =−A.

3) Si caractéristique deK=2, alors f symétrique⇔ f est antisymétrique.

4) Si caractéristique deK6=2, si on noteS₂(E) = {f ∈ L₂(E) : f symétrique}et A₂(E) = {f ∈ L₂(E) : f antisymétrique}, alorsL₂(E) =S₂⊕ A₂(E).

Remarque 6

2.7 Formes quadratiques

2.7 Formes quadratiques

SoitEunK-espace vectoriel quelconque.

On dit qu’une application q : E → _Kest une forme quadratique sur E, s’il existe une forme bilinéaire f surEtelle que

∀x∈ E, q(x) = f(x,x). Théorème 11

On suppose que E est de dimension finie, (e₁,e₂, ...,en) une base de E, q : E → K une forme quadratique, f : E×E → _K une forme bilinéaire telle que ∀x ∈ E, q(x) = f(x,x)_et A= (a_ij)_1≤i,j≤n = Mat(f,(e₁,e₂, ...,en))_.

Alors

∀x ∈ E, avec x=

∑

x_ie_i, on aq(x) =

∑

1≤i,j≤n

a_ijx_ix_j.

Réciproquement, soit q : E → _K une application qui s’écrit sous la forme ∀x ∈ E, q(x) = _∑

1≤i,j≤n

b_ijx_ix_j. Remarque 7

Soient E un K-espace vectoriel quelconque, q : E → _K une forme quadratique, alors :

Il existe une forme bilinéaire symétrique unique f appelée forme bilinéaire symé- trique associée àqtelle que∀x ∈ E, q(x) = f(x,x).

Théorème 6

Preuve 2.7.1 Soit q une forme quadratique sur E, donc par définition il existe une forme bilinéaire g: E×E→_Ktelle que∀x∈ E, q(x) = g(x,x).

Soient x∈ E, y ∈ E, alors on a

q(x+y) = g(x+y,x+y) = g(x,x) +g(x,y) +g(y,x) +g(y,y) =q(x) +g(x,y) +g(y,x) +q(y). Donc q(x+y)−q(x)−q(y) = g(x,y) +g(y,x).

Posons f(x,y) = ¹

2[q(x+y)−q(x)−q(y)](Égalité de polarisation).

Alors f est une forme bilinéaire symétrique et on a f(x,x) =q(x).

2.8 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées

Soient E est de dimension finie, (e1,e2, ...,en) une base de E, q : E → _K une forme quadratique, f : E×E → _Kla forme bilinéaire symétrique associée à q et A = (aij)_1≤i,j≤n = Mat(f,(e1,e2, ...,en)).

Alors A s’appelle la matrice de q dans la base (e1,e2, ...,en) et on a

∀x∈ E, x = _∑ⁿ

i=1

xiei, q(x) = _∑

1≤i,j≤n

aijxixj.

Or f est symétrique donc^tA = Aet par suite∀i,∀j, a_ij = a_ji. D’où q(x) =

∑

1≤i,j≤n

a_iix²_ii+2

∑

1≤i<j≤n

a_ijx_ix_j Remarque 8

Exemple 2.7.1 1) Soit q : R² → _R une forme quadratique s’écrit sous la forme ∀(x,y) ∈ R², q(X) = q(x,y) = ax²+by²+2cxy avec X = (x,y).

La matrice de la forme quadratique q dans la base canonique est A = ^{a c} c b

!

2) Soit q : R³ → _R une forme quadratique s’écrit sous la forme ∀(x,y,z) ∈ _R³, q(X) = q(x,y,z) = ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2f yz avec X = (x,y,z).

La matrice de la forme quadratique q dans la base canonique est A =







a d e d b f e f c







2.8 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées

Soient E un K-espace vectoriel quelconque, f : E×E → _Kune forme bilinéaire symétrique.

On dit que f est non dégénérée si l’application Φ : E → E^∗

y 7→ _Φ(y) telle que

∀x∈ E, Φy(x) =<x,Φ(y)>= f(x,y)est injective.

Théorème 12

2.8 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées

f est non dégénérée⇔Ker(_Φ) = {0E^∗}.

⇔ ∀y ∈ E, Φ(y) = 0E^∗ ⇒y=0.

⇔ [∀x ∈ E, <x,Φ(y)>=0] ⇒y =0.

f est non dégénérée⇔[∀x ∈ E, f(x,y) =0] ⇒y=0.

Remarque 9

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, (e₁,e₂, ...,en) une base de E, f : E×E →_Kune forme bilinéaire symétrique et A= Mat(f,(e₁,e₂, ...,en)). Alors f est non dégénérée⇔ det(A) 6=0.

Théorème 7

Preuve 2.8.1 Soit

Φ : E → E^∗ y 7→ _Φ(y) f non dégénérée⇔_Φinjective.

Or dim(E) <_∞et dim(E) = dim(E^∗).

Donc f est non dégénérée si et seulement siΦest bijective.

On sait que A= Mat(_Φ,(e₁,e2, ...,e3);(e^∗₁,e^∗₂, ...,e^∗₃)). DoncΦbijective⇔A inversible⇔det(A)6=0.

Exemple 2.8.1 Soit q : R³ → _Rdéfinie par q(x,y,z) = x²+y²+₂(xcos(_α) +ysin(_α))z. Pour quelle valeur deα, la forme quadratique q est non dégénérée.

On a la matrice de A dans la base canonique est A=







1 0 cos(α) 0 1 sin(α) cos(α) sin(α) 0





. q non dégénérée⇔det(A) 6=₀⇔, or det(A) = −₁6=0.

Donc∀_α ∈R, q est dégénérée.

2.9 Orthogonalité, Vecteurs isotropes

2.9 Orthogonalité, Vecteurs isotropes

Soient EunK-espace vectoriel quelconque et f : E×E → _Kune forme bilinéaire symétrique.

1) Deux vecteurs xet ydeEsont dits orthogonaux, si f(x,y) =0.

2) Si Aest une partie (non vide) de E, l’orthogonal de A, noté A^⊥ est la partie de Edéfinie par

A^⊥ ={y∈ E, ∀x ∈ A, f(x,y) =0} y ∈ _A^⊥ ⇔ ∀_x ∈ _{A, f}(x,y) =0.

Théorème 13

1) A⊆ B⇒ B^⊥ ⊆ A^⊥.

2) Pour toute partieAdeE, on a :

i) A^⊥ est un sous-espace vectoriel deE.

ii) A^⊥ = (Vect(A))^⊥.

iii) A ⊆ A^{⊥ ⊥}, (A^{⊥ ⊥} = (A^⊥)^⊥).

3) {0E}^⊥ =E.

4) E^⊥ ={0E} ⇔ fnon dégénérée.

5) Si Eest de dimension finie, alors pour tout sous-espace vectoriel FdeEon a dim_K(F) +dim_K(F^⊥) ≥dim_K(E).

Proposition 8

Preuve 2.9.1 1),2),3) et 4) Exercice.

5) Soit

Φ : E → F^∗

y 7→ _Φ(_y)_, ∀_x∈ _F, <_x,Φ(_y)>= _f(_x,y)_.

Donc Ker(_Φ) = F^⊥.

On sait que dim_K(E) = dim_K(Im(_Φ)) +dim_K(Ker(_Φ)).

Im(_Φ) ⊆F^∗ ⇒dim_K(Im(_Φ))≤dim_K(F^∗)avec dim_K(F^∗) = dim_K(F).

2.9 Orthogonalité, Vecteurs isotropes

Soient EunK-espace de dimension finie et f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. Alors

1) dim_K(F) +dim_K(F^⊥) =dim_K(E).

2) F^{⊥ ⊥} =F, (Pour tout sous-espace vectorielFdeE).

Corollaire 2

Preuve 2.9.2 1) On considère l’applicationΦ: E →F^∗où∀x ∈ E, <x,Φ(x) >= f(x,y) ⇒ Ker(_Φ) = F^⊥.

Montrons que Im(_Φ) = F^∗?

Soit ϕ∈ F^∗, existe-il y ∈ E tel que ϕ=_Φ(y)?

ϕ ∈ F^∗ donc d’après le théorème de prolongement des formes linéaires, il existe α ∈ E^∗ telle que∀x ∈ F, ϕ(x) =_α(x).

Or f est non dégénérée, donc l’application E → E^∗, y 7→ _ϕytelle que∀x ∈ E, < x,ϕy >=

f(x,y)est bijective.

Donc pourα ∈ E^∗, il existe y∈ E tel queα = _ϕy. α = _ϕy ⇒ ∀x ∈ F, α(x) = _ϕy(x) = f(x,y).

Or∀x∈ F, α(x) = _ϕ(x) ⇒ ∀x ∈ F, ϕ(x) = f(x,y) ⇒ _ϕ=_Φ(y). D’oùΦest bijective.

D’après le théorème du noyau dim_K(F) +dim_K(F^⊥) = dim_K(E). 2) On a toujours F ⊆ F^{⊥ ⊥}.

D’autre part on a dim(F) +dim(F^⊥) = dim(F^⊥) +dim(F^{⊥ ⊥}) = dim(E).

⇒dim(F) = dim(F^{⊥ ⊥})et puisque F sous-espace vectoriel de F^{⊥ ⊥}. D’où F =F^{⊥ ⊥}

f non dégénérée⇔dim(E) = dim(F) +dim(F^⊥),∀Fsous-espace vectoriel de E.

On a pas toujoursE =F⊕F^⊥. Remarque 10

Exemple 2.9.1 Soient E=_R²et f : R²×_R² → _R

(x,y) 7→ f(x,y) = x₁y₁−x2y2 avec x= (x₁,x2) et y= (y₁,y2). Alors f est une forme bilinéaire sur E et A = Mat(f,(e₁,e₂)) = ^{1 0}

0 1

! .

A est symétrique, donc f est symétrique et puisque det(A) =₁ 6=0, alors f est non dégénérée.

Soit F ={(x₁,x₂) ∈_R²_, x₁ =x₂} =Vect{(_{1, 1})}, alors F^⊥ =Vect{(_{1, 1})}^⊥ ={(_{1, 1})}^⊥. Donc(x₁,x₂) ∈ F^⊥ ⇔ f((x₁,x₂)_,(_{1, 1})) =₀⇔ x₁−x₂ =₀⇔ x₁ =x₂. D’où F^⊥ = F.

2.9 Orthogonalité, Vecteurs isotropes

Soient EunK-espace vectoriel quelconque et f : E×E → _Kune forme bilinéaire symétrique.

1) Un vecteurx∈ Eest dit isotrope si f(x,x) =0.

2) Un sous-espaceFdeEest dit isotrope siF∩F^⊥ 6={0E}. 3) Un sous-espaceFdeEest dit totalement isotrope si F⊆ F^⊥.

Théorème 14

Ftotalement isotrope⇒ Fest isotrope, la réciproque n’est pas toujours vraie.

Remarque 11

Soient EunK-espace vectoriel, f : E×E →_Kune forme bilinéaire quelconque et Fun sous-espace vectoriel. Alors

E= F⊕F^⊥ ⇔ Fest non isotrope.

Théorème 8

Preuve 2.9.3 ⇒)_{Si E} =_F⊕_F^⊥_{, alors F}∩_F^⊥ ={_0E}, donc F est non isotrope.

⇐) On suppose que F est non isotrope, donc par définition, F∩_F^⊥ = {_0E}. Reste à montrer que E=_F+_F^⊥_?

Pour cela pour chaque y∈ E, on doit montrer qu’il existe(_y1,y2) ∈ _F×_F^⊥_{tels que y} =_y1+_y2. Considérons l’application

g : F×F → _R

(x,y) 7→ _g(x,y) = f(x,y) c.à.d g = f/F×F. f est bilinéaire⇒g est bilinéaire symétrique.

Vérifions que g et non dégénérée ?

Soit y∈ F tel que∀x∈ F, g(x,y) =0, a-t-on y =0?

∀x ∈ F, g(x,y) =0 ⇒ ∀x ∈ F, f(x,y) =0 ⇒ y∈ F^⊥. Donc y∈ F∩F^⊥. D’où g est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur F.

Ce qui implique Φ : F → F^∗

2.10 Base orthogonale

Donc∀x ∈ F, f(x,y) = g(x,y₁) = f(x,y₁)⇒ ∀x∈ E, f(x,y−y₁) =0⇒y−y₁ ∈ F^⊥.

⇒ ∃y₂ ∈ F^⊥, y−y₁ =y₂⇒ ∃y₂∈ F^⊥, y=y₁+y₂. D’où E =F+F^⊥.

2.10 Base orthogonale

Soient EunK-espace vectoriel de dimension finie= n, f : E×E → _Kune forme bilinéaire et(e1,e2, ...,en)une base deE.

1) On dit que (e1,e2, ...,en) est une base orthogonale (ou f-orthogonale) si

∀i, ∀j, i 6= j⇒ f(e_i,e_j) = 0.

2) On dit que(e1,e2, ...,en)est une base orthogonale si

∀i, ∀j, f(e_i,e_j) = _δij =

( 1 si i = j 0 sii6= j Théorème 15

1) Si(e1,e2, ...,en)est une base orthogonale par rapport à f, alors la matriceAde f dans cette base, s’écrit sous la forme :

















a₁₁ 0 . . . 0 0 a22 . . . 0

. . . .

. . . 0

0 . . . 0 ann

















Si q la forme quadratique associée à la forme bilinéaire f, (∀x ∈ E, q(x) = f(x,x)). Alors∀x ∈ E, q(x) = _∑ⁿ

i=1

aix²_i.

2) Si(e₁,e₂, ...,en)est une base orthonormale par rapport à f.

⇔_{la matrice}Ade f dans cette base s’écrit

















1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . 0 0 . . . 0 1















 Idn.

Dans ce cas on a∀x∈ E, q(x) = _∑ⁿ

i=1

x²_i. Remarque 12

2.10 Base orthogonale

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien≥2. Alors :

Toute forme bilinéaire surEpossède au moins une base orthogonale.

Théorème 9

Preuve 2.10.1

(i) Si f =0, c.a.d,∀_x,∀_{y, f}(x,y) =0. Alors toutes les bases sont orthogonales.

(ii)On suppose que f 6=0( f 6=0⇒ ∃x ∈ E, f(x,x) 6=0?).

On procède par récurrence sur dim_K(E) = n.

Pour n=2, soit E unK-espace vectoriel de dimension=2.

Soit F =Vect(e₁), puisque f(e₁,e₁) 6=0, alors F est non isotrope⇒E =F⊕F^⊥.

Soit e2 ∈ F^⊥ avec e2 6=0 ⇒ (e₁,e2)est une base de E, e2 ∈ F^⊥, donc f(e₁,e2) = 0. D’où (e₁,e2) est une base orthogonale de E.

Donc la propriété est vraie pour n =2.

Hypothèse de récurrence (HR): On suppose que n > 2 et que toute forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de dimension finie<n possède au moins une base orthogonale.

Soient E un espace vectoriel de dimension=n et f une forme bilinéaire symétrique sur E.

Montrons que f possède une base orthogonale ? f 6=0⇒ ∃e₁∈ E, f(e₁,e₁) 6=0.

F=Vect(e₁), f(e₁,e₁)6=0⇒F non isotrope⇒E =F⊕F^⊥.

⇒dim(F^⊥) = dim(E)−dim(F) = n−1<n.

D’après le(HR)F^⊥ possède au moins une base orthogonale.

Soit(e₁,e₁, ...,en)une base orthogonale de F^⊥, E = F⊕F^⊥ ⇒(e₁,e2, ...,en)base de E.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie

Alors toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée, possède au moins une base orthonormale.

Corollaire 3

Preuve 2.10.2 Soit f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E.

f bilinéaire symétrique⇒ f possède une base orthogonale(e1,e2, ...,en). Pour chaque i, 1≤i ≤n, on pose ai = f(ei,ei).

ai ∈C, donc l’équation x²−ai =0possède au moins une racineαi ∈ _C⇒α²_i = ai. Posons, pour chaque i, 1≤i ≤n, e⁰_i = ^ei

αi

.

a11 0 . . . 0 