ÉCS2
Algèbre bilinéaire.
Florilège.Exercice1.
DansE =R3, on désigne parxety les triplets(x1, x2, x3)et(y1, y2, y3).
Soitf : E−→E, (x, y)7−→x1y1+x2y2+ 24x3y3−2x1y3−2x3y1+ 2x2y3+ 2x3y2. 1. Prouver quef est un produit scalaire surE. Que vaut||(1; 2;−1)||?
2. On poseX =
x1
x2
x3
etY =
y1
y2
y3
.
TrouverA∈ M3(R)telle que :∀(x, y)∈E2, hx, yi= tX.A.Y.
3. La base canonique deEest-elle orthogonale pour le produit scalairef? 4. Déterminer une base orthonormale deEpour le produit scalairef.
Exercice2.
DansE =R3, on désigne parxety les triplets(x1, x2, x3)et(y1, y2, y3)(resp.).
1. Soitf : E×E−→R, (x, y)7−→4x1y1+ 2x2y2+ 12x3y3+ 2x1y2+ 2x2y1+ 4x1y3+ 4x3y1.
a)Prouver quef est un produit scalaire sur E.
b)Que vaut||(1; 2;−1)||? c) SoitX =
x1
x2
x3
et Y =
y1
y2
y3
. TrouverA∈ M3(R)telle que :
∀x, y∈E, f(x, y) = tXAY.
2. Déterminer une base orthonormale deEpour ce produit scalaire.
Exercice3.
DansE =R3, on désigne parxle triplet(x1, x2, x3).
1. SoitN : E−→R, x7−→q
x21+ 5x22+ 6x23+ 4x1x2+ 2x1x3. Prouver queNest une norme euclidienne sur E.
2. Déterminer une base orthonormale deEpour le produit scalaire associé àN.
Exercice4.
Montrer que, pour tout entier naturel non nuln:
n
X
k=1
k√
k6n(n+ 1)√ 2n+ 1 2√
3 .
Pour quelle(s) valeur(s) deny a-t-il égalité ? Exercice5.
SoitE =R3[X].
1. Montrer queh., .idéfini surEpar :hP,Qi= Z 1
−1
P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.
2. Déterminer une base orthonormale deE.
Exercice 6.
SoitE =C([0; 1],R)l’espace vectoriel des fonctions continues sur[0; 1]à valeurs dansR. 1. h., .i: E×E→R, (f, g)7→
Z 1 0
f(t)g(t)etdtest-il un produit scalaire surE? 2. Déterminer le minimum, pourf continue strictement positive sur[0; 1], de :
Z 1 0
f(t)dt Z 1
0
e2t f(t)dt
.
Exercice 7.
Soitnun entier naturel non nul,E =Rn[X]eth., .idéfini surEpar : hP,Qi=
n
X
k=0
P(k)(0)Q(k)(0).
1. Montrer queh., .iest bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer Xi,Xj
pour tout(i, j)de[[0 ;n]]2.
3. En déduire une base orthonormale deEpour ce produit scalaire.
Exercice 8.
SoitE =C1([0; 1],R)l’espace des fonctions de classeC1 sur[0; 1]à valeurs dansR. SoitN : E−→R, f7−→
s f(0)2+
Z 1 0
f0(t)2
dt.
Montrer queNest une norme euclidienne sur E.
Exercice 9.
Soitnun entier naturel etE =Rn[X].
1. Justifier rapidement que, pour toutkdeN, Z +∞
0
tke−tdtconverge et rappeler sa valeur.
2. Montrer queh., .idéfini sur E par :hP,Qi= Z +∞
0
P(t)Q(t)e−tdt est un produit scalaire.
3. Pouri∈Net j∈N, que vaut Xi,Xj
?
4. Dans le cas oùn= 3, déterminer une base orthonormale deE.
Exercice 10.
DansE =R4 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère : F =Vect((0,1,0,1),(0,1,1,−1)).
1. DéterminerF⊥ en en donnant une base.
2. Déterminer une base orthonormale deF, puis une base orthonormale deF⊥. 3. En déduire une base orthonormale deEautre que la base canonique.
4. Déterminer les coordonnées de(0,1,2,3)dans cette base.
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ÉCS2
Algèbre bilinéaire.
Florilège.Exercice11.
Soit n > 2 et E = Mn(R). On rappelle qu’on note Tr(A) la somme des coefficients diagonaux de la matriceA, et que Tr vérifie, pour toutesAetBdeMn(R)et toutλréel,
Tr(tA) =Tr(A), Tr(λA + B) =λTr(A) +Tr(B)et Tr(AB) =Tr(BA).
On pose, pourAetBdansE, hA,Bi=Tr(tA.B).
1. Vérifier queh., .iest bien un produit scalaire surMn(R).
2. Rappeler la base canonique deM2(R). Est-elle une base orthonormale ? 3. Démontrer que la base canonique deMn(R)est une base orthonormale.
4. Soit∆ le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices diagonales. Dé- terminer ∆⊥ (on pourra commencer par déterminer une base orthonormale de
∆).
Exercice12.
DansE =R4 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère : F ={(x, y, z, t)∈E, x+y−z= 0et y+z−t= 0).
1. DéterminerF⊥ en en donnant une base.
2. Déterminer une base orthonormale deF, puis une base orthonormale deF⊥. 3. En déduire une base orthonormale deEautre que la base canonique.
4. Déterminer les coordonnées de(0,1,2,3) dans cette base.
Exercice13.
DansE =R4 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère : F =Vect((1; 0; 1;−1); (0; 1; 1;−1)).
1. DéterminerF⊥ en en donnant une base.
2. Déterminer une base orthonormale deF, puis une base orthonormale deF⊥. 3. En déduire une base orthonormale deEautre que la base canonique.
Exercice14.
DansE =R4 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère :
F =Vect((1; 0; 1; 1); (1;−1; 0; 0)) etG ={(x, y, z, t)∈R4, x+z+t= 0etx=y}.
1. Montrer queG = F⊥.
2. Déterminer une base orthonormale deF.
1 - Indications de réponses.
Exercice 1.
1. hx, xi= (x1−2x3)2+ (x2+ 2x3)2+ 16x23,||(1; 2;−1)||= 5.
2. M =
1 0 −2
0 1 2
−2 2 24
convient.
3. (e1, e2) est orthonormale mais (e1, e2, e3) ne l’est pas car he1, e3i = 2. La base canonique n’est pas orthogonale.
4. (e1, e2,14(2;−2; 1)
est une base orthonormale deEobtenue par le procédé d’or- thonormalisation de Schmidt.
Exercice 2.
1. hx, xi = (2x1 +x2 + 2x3)2 + (x2 −2x3)2 + 4x23, ||(1; 2;−1)|| = 2√
6. M =
4 2 4 2 2 0 4 0 12
.
2. (u1, u2, u3) avec u1 = 12(1; 0; 0), u2 = 12(−1; 2; 0) et u3 = 12(−2; 2; 1) est une orthonormale deEobtenue par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.
Exercice 3.
1. Produit scalaire associé :hx, yi= 12 N(x+y)2−N(x)2−N(y)2
= x1y1+ 5x2y2+ 6x3y3+ 2x1y2+ 2x2y1+x1y3+x3y1.
hx, xi= (x1+ 2x2+x3)2+ (x2−2x3)2+x23.
2. (u1, u2, u3)avecu1= (1; 0; 0), u2= (−2; 1; 0)et u3= (−5; 2; 1)est une orthonor- male deEobtenue par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.
Exercice 4.
Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec les produit scalaire canonique de Rn et les vecteursx= (1,2, . . . , n)ety= (1,√
2, . . . ,√ n)...
Il n’y a égalité que sixety sont colinéaires, donc sin= 1...
Exercice 5.
1. OUI ! Ne pas oublier que Z 1
0
f(t)2etdt = 0 entraîne f est la fonction nulle car t7→f(t)2etestcontinue et positive sur [ 0 ; 1 ].
2. Appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à t 7→ p
f(t)/et et t 7→ p
et/f(t). Le minimum est(e−1)2 obtenu par exemple lorsquef(t) =et.
Exercice 6.
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ÉCS2
Algèbre bilinéaire.
Florilège.1. Pour le coté défini positif, ne pas oublier qu’un polynôme de degré au plus n admettant0 comme racine d’ordre de multiplicité au moinsn+ 1 est nul.
2.
Xi,Xj
= 0sii6=j et (i!)2si i=j.
3. (1,X,X2, . . . ,Xn)est orthogonale, et comme
Xi
=i!, 1,X,12X2, . . . ,n!1Xn est une base orthonormale deE.
Exercice7.
Le produit scalaire associé esth., .i: (f, g)7→f(0)g(0) + Z 1
0
f0(t)g0(t)dt.
On ahf, fi= 0 ⇒f(0)2 = 0et Z 1
0
f0(t)2dt = 0, et comme f02 est continue et positive, cela entraînef0 est la fonction nulle sur[ 0 ; 1 ], doncf est contante sur[ 0 ; 1 ], et comme f(0) = 0,f est nulle sur[ 0 ; 1 ]...
Exercice8.
√2
2 ,
√6 2 X,
√10
4 (3X2−1),
√14
4 (5X3−3X)
!
est une base orthonormale deE.
Exercice9.
Z +∞
0
tke−tdt= Γ(k+ 1) =k!et Xi,Xj
= (i+j)!.
1,X−1,1
2X2−2X + 1,1 6X3−3
2X2+ 3X−1
est une base orthonormale deE =R3[X].
Exercice10.
1. F⊥ =Vect((1,0,0,0); (0,1,−2,−1)).
2. Les bases précédentes de F et F⊥ sont déjà orthogonales, il n’y a qu’à divi- ser chaque vecteur par sa norme : (√1
2(0,1,0,1);√1
3(0,1,1,−1)) b.o.n. de F et ((1,0,0,0);√1
6(0,1,−2,−1))b.o.n. de F⊥. 3. (u1, u2, u3, u4) = (√1
2(0,1,0,1);√1
3(0,1,1,−1); (1,0,0,0);√1
6(0,1,−2,−1)) b.o.n.
deEobtenue en juxtaposant une b.o.n. deFet une b.o.n.F⊥, puisqueE = F⊕F⊥ ⊥. 4. (0,1,2,3) =P
h(0,1,2,3), uiiui = 2√
2u1−√ 6u4. Exercice11.
1. hλA + A0,Bi=Tr(t(λA + A0)B) =Tr(λtAB + tA0B) =λTr(tAB) +Tr(tA0B) = λhA,Bi+hA0,Bi;
hA,Bi=Tr(tAB) = Tr(t(tAB)) (car une matrice et sa transposée ont la même trace, puisque la diagonale ne change pas par transposition)
hA,Bi=Tr(tBt(tA))(puisque t(AB) = tBtA...),hA,Bi=Tr(tBA) =hB,Ai.
Posons A = (ai,j). Soit C = tAA. Alors ci,j = P
16k6nak,iak,j et Tr(C) = P
i
P
16k6nak,iak,i
=P
16i6n
P
16k6na2k,i.
Autrement dit,hA,Aiest la somme des carrés des coefficients de A.
On en déduit sans problème queh., .iest définie positive.
2.
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
est la base canonique deM2(R).
On vérifie par le calcul qu’elle est orthonormale.
3. On notant Ei,j la matrice de la base canonique contenant un « 1 » sur sa ième ligne etjème colonne et des « 0 » partout ailleurs, on ahEi,j,Ek,`i= 1sik=iet j=`, et0sinon. Donc la base canonique queMn(R)est orthonormale.
4. On a∆ =Vect((Ei,i)16i6n)où(Ei,i)16i6nest une base orthonormale donc∆⊥ = Vect((Ei,j)i6=j).∆⊥est le sous-espace deMn(R)formé des matrices dont tous les coefficients diagonaux sont nuls :∆⊥={A∈ Mn(R),∀i∈[[1 ;n]], ai,i= 0}.
Exercice 12.
1. F⊥=Vect((1,1,−1,0); (0,1,1,−1)).
2. F = Vect(√1
3(−1,1,0,1);√1
3(1,0,1,1)), F⊥ =
Vect(√13(1,1,−1,0);√13(0,1,1,−1)).
3. On juxtapose les bases précédentes deFet F⊥. 4. (0,1,2,3) =P
h(0,1,2,3), uiiui= √4
3u1+√5
3u2−√1
3u3
Exercice 13.
1. F⊥=Vect((1,1,0,1); (0,0,1,1)).
2. F = Vect(√1
3(1,0,1,−1);√115(−2,3,1,−1)) par le procédé de Schmidt, F⊥ = Vect(√1
3(1,1,0,1);√1
15(−1,−1,3,2)).
3. On juxtapose les bases précédentes deFet F⊥. Exercice 14.
1. G =Vect((1,1,−1,0); (1,1,0,−1)) et on constate quedim F + dim G = dim E et F⊥G(car les générateurs deFsont orthogonaux à ceux deG).
2.
√1
3(1,1,−1,0);√1
15(2,−3,−1,−1)
b.o.n. de F.
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