ES N° 1 Correction Algèbre/Géométrie Math. Sup. 2012-2013 2 h

ES N° 1 Correction Algèbre/Géométrie Math. Sup. 2012-2013 2 h

I)

Soit C la courbe d’équation polaire : ρ = 1

2 cos ,

cos

θ θ

θ

^{− ∈ℝ.}

1°)

^{ρ θ π} (

⁺

)

^{= −}

^{ρ θ} ( )

donc la courbe est entièrement parcourue pour , 2 2 θ∈ −^ π π^ et ρ

paire, donc une étude sur 0, 2 π

 

 

  suffit avec une symétrie par rapport à (OX).

2°)

( )

2

' sin 1 2 0

ρ θ θ cos

θ

 

=  + ≥

  .

3°) T₀ = −V₀ ,

6 6 6

5 3

3 3

T_π = U_π − V_π ,

4 4

T_π =U_π et

3 3 3

3 3

T_π = U_π +V_π .

2

2

2 2 2

1 2 cos

lim ( ) sin lim ( cos ) lim 2 cos 1 1

2 cos

π π π

θ θ θ

π θ

ρ θ θ θ θ

θ

→ → →

−

 

− = − = − = −

 

  donc la droite

d'équation

2 2

1 dans , , Y O U_π V_π

= −  

  est asymptote à la courbe quand

2

θ

→

π

^.

4°) C :

5°) Soit la courbe C’ d’équation cartésienne : ^{x x}

(

^2+y2

)

^{+ −x2 y2 =0… (*).}

a) Paramétrisation de C’ : y=tx dans (*) donne ^x2

(

^{x t x+ 2 + −1 t2}

)

^=0,

donc c' :

2 2 2

2

( ) 1 1 ( ) 1

1 x t t

t y t tt

t

 = −

 +

 −

 =

 +



.

b) Equation polaire de C’ : on plonge cos sin x

y

ρ θ ρ θ

=



=

 dans (*) et on obtient

( )

2 2 2

cos cos sin 0

ρ ρ θ

+

θ

−

θ

= et donc : ρ = 1 2 cos² 1

2 cos

cos cos

θ θ

θ θ

− = −

et donc C = C'.

II)

Soit C la courbe paramétrée d’équation :

2 2

( ) 1 2 ( ) 1

2 x t t

t y t t

t

 = +



 = +



.

1°)

1 ( )

1 ( )

x y t

t

y x t

t

  

 =

  

  

  =

  



donc 1

M t

  

  est le symétrique de ^{M t}

( )

par rapport à la droite d'équation

Y = X et on peut donc réduire le domaine d’étude de C à [-1, 1] \ {0}.

2°)

2 2 4

2

2 0

1 1

( ) 2 ( ) 2 0

2 2 4 ^t

t t

y t x t t t

t t ^→

   

− = +  −  + = − + →

 

  donc C est asymptote à la parabole

P : y² =2xquand x tend vers 0.

3°) Tableau de variation de C :

4°) Tracés de C et P sur un même graphique :

Point singulier M(1) : 1

3 '(1) 0 ''(1) 3

car et

3 '(1) 0 ''(1) 3

x x

T y y

= =

   

 

  = =

   

donc rebroussement de première espèce (car symétrie par rapport à Y = X).