ES N° 1 Algèbre/Géométrie Correction Math. Sup. 2011-2012
I) 1°)
4 3 2
2
2 2
1 1 1
u u u u 1
u u
u u u
+ + + + = + + + + pour u = cosx + i sinx = eix =e2ix+e−2ix+eix+e−ix+ =1 2 cos(2 ) 2 cos( ) 1x + x + =4 cos2x+2 cosx−1, donc : u4 + u3 + u2 + u + 1 = u2((2cosx)2 + 2cosx - 1)
2°) a)
5
4 3 2 1
1 si 1
1
u u u u u u
u
+ + + + = − ≠
− et pour
2
5 on a 5 1
i
u e u
= π = donc
4 3 2 2 2 2
1 0 et 4 cos 2 cos 1 0
5 5
u + + + + =u u u
π
+π
− = .De même on montre que cos(4 π/5) est solution de : 4X2 + 2X - 1 = 0.
b) 2 1 5 1 5
4 2 1 0
4 4
X + X − = ⇔X =− − ∨ =X − +
or 2 4 2 1 5 4 1 5
cos 0 et cos 0 donc cos et cos
5 5 5 4 5 4
π > π < π =− + π =− −
3°) X2 + 1 2X -
1 4 = 0
1 5 1 5 2 4
cos cos
4 4 5 5
X X X
π
Xπ
− − − +
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
Donc C coupe l’axe des abscisses en 2 4
A cos , 0 et B cos , 0
5 5
π π
.
4°) C :
2
2 2 1 1 2 5
2 4 0 4 16
x y x x y
+ + − = ⇔ + + =
et C
( )
0,1 , 0, 12 2
Oy C D
= −
∩
Donc on construit C de centre I 1 4
−
et passant par C et D, puis on trace le cercle C’ de centre O et de rayon 1. On trace alors les droites verticales passant par A et B et on obtient M1(ω), M2(ω2), M3(ω3) et M4(ω4) (ω = e2i π/5) sur C’ :
II) C :
( ) ( )
t 1 3
x t e t
y t t 3t
= − −
= −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
t 1 t 1 t 1 t 1
2
x ' t e 1 x '' t e x ''' t e x '''' t e
y ' t 3t 3 y '' t 6t y ''' t 6 y '''' t 0
− − − −
= − = = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= − = = =
M(1) est point singulier, 1 1
''(1) '''(1) et ''''(1)
6 0
OM OM OM
=
donc c'est un point de rebroussement de seconde espèce.
( ) ( )
lim et lim 0
( ) ( )
t t
y t y t
x t x t
→+∞ = +∞ →−∞ = d'où branches infinies de direction Oy et Ox.
III) T : 3cos 2
2sin 5
x t
y t
= −
= +
2 2
2 2
( 2) ( 5)
3 2 1
x+ y−
⇒ + = : ellipse de centre I(-2, 5)
IV) ρ = -2 + 5cosθ
ρ fonction paire et 2π -périodique donc étude sur
[ ]
0,π + sym/0x[ ]
0,θ∈ π ⇒ρ' = −5sinθ ≤0
