CORRECTION ES N° 1 Analyse Math. Sup. 2011-2012

CORRECTION ES N° 1 Analyse Math. Sup. 2011-2012

I)

EXERCICE

1°) En dérivant ^{x֏aln(x2+ + +x 1) bArctan}

( (

^{2x+1 / 3}

) )

et en identifiant avec

( )

2

3 1 x x

x x

ϕ = ⁻

+ + , on trouve : a = 1

2 et b = 7 3 3 .

−

2°) Les solutions de l’équation homogène sont : ^{y x: ֏C x}

(

^{2+ +x 1}

)

^{où C∈ℝ.}

La méthode de variation de la constante, se ramène à résoudre C’(x) = ^ϕ

( )

^{x .}

Les solutions de (E) sont donc : ^:

(

^{2 1}

)

¹₂^ln

(

^{2 1}

)

^{7 3}₃ ^{Arctan 2 1}

3

y x x x C x x  x+ 

+ +  + + + −  

֏

3°) La solution cherchée est : ^{y x:}

(

^{x2+ +x 1}

)

^₁₈^{7 π 3+1}₂^ln

(

^{x2+ + −x 1}

)

^{7 3}₃ ^Arctan^2x₃^+1^^.

֏

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II)

PROBLEME

Partie 1

1°) ^{f =cte= ⇔ =a a} ₁₊^2a_a^{2 ⇔}

(

^{a=0 où 1+a2 =2}

)

^{⇔ ∈ −a}

^{

^{1, 0,1}

^}

^.

2°)

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ( ) )

²

2 2

1 1

th x th x th x

x , th x

thx thx th x

∀ ∈ = + =

+ +

ℝ .

3°) 2

{ }

2 (0)

(0) (0) 1, 0,1

1 ( (0))

f f f

= f ⇔ ∈ −

+ .

4°)

2

2 2

2 2

(1 ) 0

1 2 1 1 2 1

1 0 (1 )

t t

t t t

t t

− + ≤

− ≤ ≤ ⇔ − − ≤ ≤ + ⇔

+  ≤ − .

On a donc : ^{∀ ∈x ℝ,− ≤1 f}

( )

^{2x ≤1, donc : ∀ ∈x ℝ,− ≤1 f x}

( )

^≤1.

Partie 2

1°) f est continue en 0 et lim ⁰ 0 2ⁿ

n

x

→∞ = donc la suite

( )

un converge vers f(0) = 1.

2°)

( )

0 1

0 0 1

2 2

1

0 1 1

2 2 2 2

2 2 1

1 2

n

n

n n n

n n

f x

x x u

u f f

x u f

+ +

+

+ +

 

 

     

=  =  = =

       +

+  

 

 

.

( )

¹1 ²

2 1

n n

n

u u

u

+ +

= + ^et

( )

1 ²

0 2

1 u_n+

< + implique que la suite

( )

^un garde un signe constant.

( ) ( )

( )

2 1

1 1 2 1 2

1 1

2 1 1

1 1

n

n n n n

n n

u u u u u

u u

+ + + +

+ +

   − 

− =  − =  

 +   + 

   

avec

( ) ( )

2 1

2 1

1 0

1

n n

u u

+ +

 − 

≤

 

 + 

 

car

^{n 0}n

[ ]

^1,1

u = f x 2

 

∈ −

 

  ^.

On a donc :

( ) ( ) ( )

0

0

0

0 croissante

0 constante

0 décroissante

n n n n n n

u u

u u

u u

 < ⇒

 = ⇒



 > ⇒



3°) La suite

( )

un a un signe constant et a pour limite 1 implique u₀≤0 impossible.

( )

un décroissante, ^{un∈ −}

[ ]

^1,1 et a pour limite 1 impossible.

4°) Si on remplace l’hypothèse « f(0) = 1 » par l’hypothèse « f(0) = -1 » on obtient la même contradiction.

5°) Les seules fonctions vérifiant (*), continues en 0, telles que f(0) = 1 ou f(0) = -1 sont donc les fonctions constantes (égales à 1 ou -1).

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