ES N° 2 Correction Analyse Math. Sup. 2011-2012

ES N° 2 Correction Analyse Math. Sup. 2011-2012

I) PROBLEME

Soit f la fonction définie par f(x) = ⌡⌠ x

2x 1+t² t dt ;

1. Ensemble de définition de f : pour x>0 (resp. x<0),

1

2

0 t

x t t

t

< <

⇒ ֏

+

continue, donc

intégrable. Donc Df = ℝ. De plus Df est symétrique par rapport à 0 et

∀ ∈ x

ℝ_:

2 2 2

2

1

2

1 ( )

2

1

( )

^{x x}

( )

^x

( )

x x x

t

t t

f x dt dt dt f x

t t t

−

−

+ −

+ +

− = = − = =

∫ ∫ − ∫

, donc f est paire.

2. Dérivée : ∀ ∈x ℝ^*_,

2 2

1 2

1

1 1

( )

^x

x

t t

f x dt dt

t t

+ +

= ∫ + ∫

^{, donc}

^{'( ) 1}

²

^{2 1 4}

²

2

x x

f x x x

+ +

= − +

Variations sur ℝ* + :

x *

∀ ∈ℝ

2 2

1 4 1

'( ) x x 0

f x x

+ − +

= >

^.

Limite de f ’ en 0 :

( ) ( )

2 2 2

0

0 0

1 1

1 4 1

2 2 3

'( ) 0

2 ^x

x x o x

f x x o x

x ^{→ +}

 

+ − + +

 

= = + → .

3. Etude en 0 :

( )

( )

2 2

2 0

0 0

1 1 1

1 1 2 1

( ) 0 (0)

2

ppc t

t o t

g t t t o t g

t t t

^→

+ − +

= + − = = + → =

^.

4. Etude en +∞ :

a)

( )

2

2 2

2 2

2 2 2

2

1 1 0 0 1 1

1 1

0 1 1 2 2 1 1

2

t t t t t

t

t t t t t t

t t

 + > ⇒ + − > ⇒ ≤ + −



 +

 ≤ + − = + − + ⇒ − ≤



donc pour tout t > 0 : 0 ≤ 1+t²

t - 1 ≤ 1 2t² . b)

2 2

2 1 2 1

( ) ^{x x} 1

x x

t t

f x x dt x dt

t t

 

+ +

− = − =  − 

 

 

∫ ∫

et donc :

2 2

2

1 1

0 ( ) 0

2 2

x x

x x

x

f x x dt

t t x

^→∞

−

 

≤ − ≤ ∫ ≤

 

≤ →

^.

5. Asymptote en l'infini : y = x et la courbe est au dessus (cf. 4-b).

Tangente au point d’abscisse 0 :

^{( ) 1}

²

¹

t ₀

^{0 et}

x^2x

[ ] ^ln

²x^x

^ln(2)

t dt

g t t

t t

^→

t

= + − → ∫ = =

donc y = ln(2) est la tangente en 0 car

0

'( ) 0

x

f x →

→ + ^.

II) EXERCICE

1.

( )

(

^{2 2ln1}

)

^{2 2}

D

I z dx dy dz

x y x y

=

∫∫∫

+ + +

où D = {(x ; y ; z)∈ℝ³ / 1 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y, x² + y² ≤ 3}.

( ) ^{[ ] [ ] ( )}

2 4 3 2 3 2

1 0

1ln( ) 0 0 2 ln( ) Arctan 2 ln 2 1

4 12

1

I z dz d d z z

 π ρ ρ  π π

 

=

∫



∫ ∫

ρ + ρ θ = ρ = −

2. ^J=

^∫∫

_{Ω (x}^{dx dy}_+y)^{3 où Ω =}

{

^{( ; )x y ∈ℝ2/ 1< <x 3 ,y>2 ,x+ <y 5}

}

5 3

3 5 3

3 2

1 2 1

2 1

1 1 1 1 2

J ( ) 2 ( ) 2 2 25 75

x

x dy x

dx dx

x y x y x

−  −  −  − 

=

∫ ∫

+ =

∫

 +  =  + −  =