Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Chapitre 4
Espaces topologiques s´ epar´ es
Abdelaziz Kheldouni
0.0.1 § IV.1.Espaces topologiques s´epar´es
Espaces de Hausdorff
D´efinition 1 : Soit (X, τX) un espace topologique. Deux parties A et B de X sont dites topologiquement disjointes si elles admettent des voisinages disjoints.
Proposition 2 : Deux parties A et B de X sont topologiquement disjointes si et seulement si il existe un espace topologique Y et une application continue f : X → Y telle que f(A) et f(B) soient topologiquement disjoints.
D´emonstration : La condition est n´ecessaire; en effet si Aet B sont topologiquement disjoints, on prend Y =X, etf =idX.
La condition est suffisante; Soit f : X → Y continue telle que f(A) et f(B) soient topologiquement disjoints. Il va donc exster deux voisinages V ∈ v( f(A) ) et V0 ∈ v( f(B)) tels que V ∩V0 =∅. Mais comme ´f est continue, f−1(V)∈ v(A) et f−1(V0) ∈v(B) , de plus f−1(V)∩f−1(V0) =∅.
D´efinition 3 : Un espace topologique X est dit s´epar´e si deux points distincts de X sont topologiquement disjoints. X s´epar´e est aussi appel´e espace de Hausdorff ou bien espace de type T2.
Un espaee topologique X est dit de type T0 si pour tous x et x0 distincts dans X l’un aumoins de ces points poss`ede un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple, l’ensemble
X ={a, b} muni de la topologie de Sieperski ( cf. exemple (6)§ I.2 ) τX ={∅, {a} , X}. Cet espace est ´evidement de type T0, mais il n’est pas de type T2 . Notons qu’un espace de type T2 est `a fortiori de type T0 , mais l’inverse est faux. Pour le voir on peut prendre l’exemple pr´ec´edent , c’est un espace type T0, qui n’est pas de type T2.
Un espaee topologique X est dit de type T1 (ou accessible) si pour tous x et x0 distincts dans X chacun de ces points poss`ede un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple un ensemble X muni de la topologie cofinie ( cf. exemple (7) § I.2 )
On remarquera que X de type T2 ⇒X de typeT1 ⇒ X de typeT0 , mais que les implica- tions dans le sens inverse ne sont pas vraies. Par exemple (X ={a, b}, τX ={∅, {a}, {a, b}}) est un espace topologique de type T0 mais il n’est pas de type T1, et l’espace X∞ muni de la topologie cofinie est de type T1 mais non de type T2.
Remarque : Toute topologie plus fine qu’une topologie s´epar´ee est s´epar´ee.
Proposition 4 : Pour tout espace topologique X les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
1) X est s´epar´e
2) Pour tout x∈X, l’intersection de tous les voisinages ferm´es de x est le singleton {x}
3) La diagonale ∆ de X×X est ferm´ee.
D´emonstration : (1) ⇒ (2) : On a d´eja {x} ⊂ ∩
V∈v(x)V ; montrons l’inclusion inverse. Soit y 6= x, il existe deux voisinages ouverts V ∈ v(x) et V0 ∈ v(y) tels que V ∩ V0 = ∅; donc V ⊂{V0 et alors {V0 est un voisinage ferm´e dex qui ne contient pas y; d’o`u y /∈ ∩
V∈v(x)V.Ainsi {{x} ⊂{V∈v(x)∩ V.
(2) ⇒ (3) : Soit (x, y)∈/ ∆ i.e x6=y, il existe donc V ∈v(x) et V0 ∈v(y) tels que y /∈ V.
ce qui donne un voisinage ´el´ementaireV ×{V. de (x, y) contenu dans {∆ ; ce dernier est donc ouvert, i.e ∆ est ferm´ee.
(3) ⇒ (1) : Soitx ety deux points distincts, (x, y)∈{∆ qui est ouvert, donc il existe deux voisinages θ ∈v(x) et ω∈v(y) tels queθ×ω⊂{∆ qui entraine que θ∩ω =∅.
Remarque :1) Dans un espace s´epar´e, tout singleton est ferm´e. La r´eciproque n’est pas vraie, prendre par exemple un espace muni de la topologie cofinie. Si l’ensemble X est fini, la seule topologie s´epar´ee sur X est la topologie discr`ete. Il d´ecoule de cette remarque que dans un espace s´epar´e, toute partie finie est ferm´ee.
2) Si X est s´epar´e, et A⊂X, alors a∈acc(A)⇔ ∀ V ∈ v(a) , V ∩A est infini. La condition est ´evidement n´ecessaire. Montrons qu’elle est suffisante. Supposons qu’il existe un V ∈ v(a) tel que V ∩A soit fini, alors
◦
V ∩A\{a} est fini dansX qui est s´epar´e, donc c’est un ferm´e 3) L’image continue d’un espace s´epar´e n’est pas toujours s´epar´ee. Pour s’en convaincre il suffit de consid´erer l’identit´e de Rmuni de la topologie euclidienne sur Rmuni de la topologie grossi`ere.
Proposition 6 : Si pour tous points distincts x et x0 ∈ X il existe une application continue f de X dans un espace s´epar´e Y telle que f(x)6=f(x0) , alors X est s´epar´e ( f et Y pouvant d´ependre de xet x0 ).
D´emonstration : Comme x 6= x0 les singletons {x} et {x0} sont topologiquement disjoints, le r´esultat d´ecoule alors de la proposition 1.
On d´eduit imm´ediatement que tout sous-espace d’un espace s´epar´e est s´epar´e, et que la s´eparation est une propri´et´e topologique.
Proposition 7 : L’espace produit X = ΠXi est s´epar´e si et seulement si pour tout i , Xi est s´epar´e.
D´emonstration : chaque Xi est hom´eomorphe `a un sous-espace de X ; donc la s´eparation de X entraine celle des Xi . Inversement si tous les Xi sont s´epar´es, et si x ety sont deux points distincts de X, il va exister un indice i pour lequel pri : X → Xi v´erifie pri(x) 6= pri(y) donc grˆace `a la proposition 6 X est s´epar´e.
Si f et g sont deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace topologique s´epar´e Y alors l’ensemble A = {x ∈ X / f(x) = g(x)} est un ferm´e de X.
Ceci d´ecoule du fait queAn’est rien d’autre que l’image r´eciproque de la diagonale ∆ deY ×Y par l’application continue h:X →Y ×Y qui `a x associe (f(x), g(x)).
Si maintenant les deux apllications f et g coincident sur une partie D dense dans X, alors elles coincident partout. En effet, l’ensemble E = {x ∈ X / f(x) = g(x)} est un ferm´e de X contenant B donc X =B ⊂E d’o`u E =X.
Corollaire 8 : Le graphe d’une application continue d’un espace topologique X dans un espace s´epar´e.Y est ferm´e
D´emonstration : Le graphe de f est Gr(f) = {(x, y) ∈ X ×Y / ϕ(x, y) = ψ(x, y)} o`u ϕ et ψ sont deux applications de X×Y → Y d´efinies par ϕ(x, y) = y et ψ(x, y) = f(x) qui sont continues
0.0.2 § IV.2.Espaces r´eguliers
Proposition 1 : Soit X un espace topologique; les assertions suivantes sont ´equivalentes i) Pour tout ferm´e F et pour tout x /∈F , on a {x} et F sont topologiquement disjoints.
ii) Pour tout ferm´e F et pour tout x /∈F , il existe V ∈v(x)tel que V ∩F =∅.
iii) Pour tout x∈X,l’ensemble des voisinages ferm´es de x est un syst`eme fondamental de voisinages de x.
D´emonstration : (i) ⇒ (ii) {x} et F sont topologiquement disjoints; donc il existe un ouvert O contenant x et un ouvert O0 contenat F tels que O ∩O0 = ∅, et alors x ∈O ⊂{O0 (qui est ferm´e) doncO ⊂{O0 et on a O∩F =∅.
(ii) ⇒ (iii) Soit V ∈v(x) il existe donc θ ∈ τX tel que x∈ θ ⊂ V ; et alors x /∈ F := {θ donc d’apr´es (ii) il existe ω∈v(x) tel que ω∩F =∅ ce qui entraine queω ⊂θ ⊂V.
(iii) ⇒ (i) Soit F un ferm´e, et x /∈ F, i.e x ∈ {F qui est ouvert, donc il existe un voisinage V ∈ v(x) tel que V ⊂ {F ce qui revient `a dire que F ⊂ {V ouvert. Donc {V ∈ v(x) et on a : V ∩{V ⊂V ∩{V =∅.
D´efinition 2 : Un espace topologique s´epar´e qui v´erifie en plus l’une des assertions ´equivalentes de la proposition ci-desuus est appel´e espace r´egulier.
Exemples :
1) un espace discret est r´egulier car tout singleton {x} est un syst`eme fondamental de voisinages ferm´e de x.
2) L’espace R est un espace r´egulier car tout voisinage de x contient des ferm´es du type [x−ε, x+ε].
Notons qu’il y a des espaces s´epar´es qui ne sont pas r´eguliers; par exemple :
L’ensemble R muni de la topologie τ admettant pour base l’ensemble des intervalles ouverts et les traces sur Q de ces intervalles. (R, τ) est s´epar´e car τ est plus fine que la topologie euclidienne, mais (R, τ) n’est pas r´egulier du fait que 0 et {Q ne sont pas topologiquement disjoints. De cet exemple on d´eduit aussi qu’une topologie plus fine qu’une topologie r´eguli`ere n’est pas n´ecessairement r´eguli`ere.
Proposition 3 : - Un sous-espace topologique d’un espace r´egulier est r´egulier.
- La r´egularit´e des espaces est une propri´et´e topologique
- Un espace topologique produit X = ΠXi est r´egulier si et seulement si Xi est r´egulier pour tout i.
D´emonstration : 1) Soient X un espace r´egulier, et A un sous-espace de X, A est s´epar´e car X l’est. Si maintenant a∈A etF un ferm´e de A ne contenant pasa, F est de la forme A∩Φ o`u Φ est un ferm´e de X qui ne contient pas bien sur a.CommeX est r´egulier, il va exister un voisinage V ∈v(a) , et V0 ∈v(Φ) tels que V ∩V0 =∅.
on prend alors ω = V ∩ A qui est un voisinage de a dans A et ω0 = V0 ∩A qui est un voisinage de F dans A; ils v´erifient ω∩ω0 =∅. Donc A est r´egulier.
2) Soit f :X →Y un hom´eomorphisme d’un espace r´egulier X sur un espace topologique Y. L’espace Y est s´epar´e car X l’est. De plus si y∈Y et Fun ferm´e de Y ne contenant pas y, alors f−1(F) est un ferm´e de X qui ne contient pas f−1(y) ; comme X est r´egulier, il existe un voisinage V ∈ v(f−1(y)) , et V0 ∈ v(f−1(F)) tels que V ∩V0 =∅; cependant, f(V) ∈ v(y) et f(V0)∈v(F) sont des voisinages disjoints de y etF respectivement.
3) Si por tout i, Xi est r´egulier alors X = ΠXi est s´epar´e, et pour tout x ∈ X, et pour tout V ∈ v(x), il existe ω = Πθi avec θi = Xi sauf pour i ∈ J, une partie finie de I, tel que x ∈ ω ⊂ V. Pour tout j ∈ J, θj ∈ v(xj) dans Xj qui est r´egulier donc il existe un voisinage Wj ∈ v(xj) tel que Wj ⊂ θj et alors ΠWj ×ΠXi est un voisinage ´el´ementaire ferm´e contenu dans V.
R´eciproquement, ∀ i, Xi est hom´eomorphe `a un sous-espace de X qui est r´egulier, il donc est r´egulier.
0.0.3 § IV.3.Espaces normaus
Soit X un espace topologique, les assertions suivantes sont ´equivalentes:
1) Deux ferm´es disjoints de X sont toplogiquement disjoints.
2) Si F1 et F2 sont deux ferm´es disjoints de X alors il existe un ouvert U de X contenant F1 tel que U ∩F2 =∅
3) tout ferm´e admet un syst`eme fondamental de voisinages ferm´es.
En effet, (1) ⇒ (2) : soient F1 et F2 deux ferm´es disjoints de X , il existe deux ouverts U etV disjoints tels queF1 ⊂U etF2 ⊂V maisU ⊂{V qui est ferm´e, doncU ⊂{V de plus,U∩ F2 =∅.
(2) ⇒ (3) : Soit F un ferm´e de X et U un ouvert contenant F. Les deux ferm´es F et {U sont disjoints, donc il existe un ouvert ϑ contenant F tel que ϑ∩{U =∅ d’o`u ϑ⊂U.
(3) ⇒ (1) : Soient F1 et F2 deux ferm´es disjoints de X , {F2 est un voisinage ouvert de F1 donc il existe U ∈ v(F1) tel que U ⊂ {F2, donc {U est un voisinage de F2 qui v´erifie U∩ {U ⊂U∩{U =∅
D´efinition 1 : Un espace topologique est dit normal ou de type T4 s’il est s´epar´e, et s’il v´erifie l’une des conditions ´equivalentes ci-dessus.
Exemples :
1) Un espace topologique discret est normal 2) R est normal
3) Les espaces metriques sont normaux, en effet si A et B sont deux ferm´e disjoints de l’espace m´etrique (M, ρ), pour tout point x ∈A il zxiste Ox ∈ v(x) tel que Ox∩B = ∅, donc ρ(x, B) = ρx >0, de mˆeme, pour tout point y ∈ B , ρ(y, A) = ρy >0. On consid`ere alors les deux ouverts U = ∪
x∈XB(x,ρ2x) etV = ∪
y∈YB(y,ρ2y) , contiennentA etB respectivement, et sont disjoints car si a ∈ U ∩V, il va exister alors x0 ∈ X et y0 dans Y tels que, ρ(x0, a) < ρ2x et ρ(y0, a)< ρ2y on supposera par exemple que ρx0 ≤ρy0 nous avons
ρ(x0, y0)≤ρ(x0, a) +ρ(a, y0)< ρx0
2 + ρy0
2 ≤ρy0 ce qui signifiera que x0 ∈B(y0, ρy0), ce qui est impossible.
Remarque : - Tout espace normal est r´egulier, la r´eciproque est fausse - La normalit´e est une propri´et´e topologique
- Le produit mˆeme fini d’espaces normaux n’est pas toujours normal.
- Un sous-espace d’un espace normal n’est pas toujours normal, sauf par exemple s’il est ferm´e Soient XetX0 deus espaces toplogiques, etAune partie deX. Une applicationf :A→X0 est prolongeable par continuit´e dans X, s’il existe une application continue fe: X → X0 telle que la restriction fe|A defe`aA vaut f.
Notons que fepeut ne pas exister comme c’est le cas par exemple pour f :]0,+∞[→R qui `a x associe 1x. Et quand elle existe elle n’est pas n´ecessairement unique.
Lemme d’Uryshon : Si A et B sont deux ferm´es disjoints d’un espace topologique normal (X, τX), alors il existe une application continue f :X →[0,1] telle que : f |A= 0 et f |B= 1 D´emonstration : Comme A et ´B sont deux ferm´es dans un espace normal, alors il existe donc un ouvert U contenant A tel que U∩B =∅.
Posons D = {m2−n / (m, n) ∈ N2} l’ensemble des nombres rationels diadiques positifs, et consid´erons l’application F :D →τX d´efinie comme suit:
4 si t∈D , et t >1 on pose : F(t) = X 4 si t= 1 on pose : F(1) ={BX
4 si t= 0 on pose : F(0) =U
4 sit ∈]0,1[∩D on ´ecrit t sous la formet= 2m+12n , et on d´efinit F(t) =F(2m+12n ) :=Vn par r´ecurrence surn de la fa¸con suivante :
• Pourn = 1 : on a bien surF(2n2 ) = F(n)⊂F(n+ 1) =F(2n+22 ) donc les deux ferm´es F(2n2 ) et{F(2n+22 ) sont disjoints, et comme X est normal il va exister un ouvert V1 ⊃F(2n2 ) et tel que V1 ⊂{F(2n+22 ) on pose alors F(2m+12 ) = V1
• Supposons avoir construit F(2m+12p−1 ) := Vp−1 on a alors F(2p−1n ) ⊂ F(2n+1p−1) .Les deux ferm´es F(2p−1n )et {F(2n+1p−1) sont disjoints, il va donc exister un ouvert Vp ⊃ F(2p−1n ) et tel que V1 ⊂ {F(2n+1p−1) .On pose alors F(2m+12p ) =Vp.
Nous avons ainsi construit une application F : D → τX telle que si t > t0 , F(t0) ⊂ F(t).
Consid´erons maitenant l’application f : X → R qui `a x associe f(x) = inf{t ∈ D / x∈ D}.
Nous avons
- f(X)⊂[0,1] car s’il existe x∈X tel quef(x)>1 alors il existerait unt∈D∩]1, f(x)[ et alors x /∈F(t) =X; ce qui est absurde.
- f |A= 0 carA ⊂F(0) =U
- f |B= 1 car∀ t∈D∩[0,1[ , f(t)⊂F(1) ={BX et F(t) =X pour toutt >1.
f est continue, grˆace au lemme suivant :
Lemme : Soit X un espace topologique. Supposons que pour tout ´el´ement t d’un sous-espace dense D de R+, Ft est un ouvert de X qui v´erifie :
(a) si t < s alors Ft⊂Fs (b) ∪{Ft : t∈D}=X
alors la fonctionx7−→inf{t : x∈Ft} est continue
Corollaire 2 :Soit f une fonction contnue d´efinie sur une partie ferm´ee F d’un espace topologique normal X, et telle que | f(x) |≤ c avec c > 0. Alors il existe une application continue g :X →R telle que :
|g(x)|≤ 13c si x∈X
|f(x)−g(x)|≤ 23c si x∈F
D´emonstration : les sous ensembles A = f−1(]− ∞,−13c]) et B = f−1([13c,+∞[) sont deux ferm´es disjoints deX qui est normal, donc d’apr´es le lemme d’Uryshon, il existe une application continue g : X → [−13c,13c] telle que : g(x) = −13c si x ∈ A , et g(x) = 13c si x ∈ B . Nous avons ainsi | g(x) |≤ 13c pour tout x ∈ X , et | f(x) − g(x) |≤ 23c , pour tout x∈F = (A∩F)∪(B∩F)∪(f−1(]− 13c , 13c[)∩F).
Th´eor`eme 3 : Soit X un espace topologique s´epar´e, X est normal si et seulement si
Pour tout ferm´e F de et pour toute application continue f :F →R , f est prolongeable en une fonction continue ef sur X. Si de plus | f(x) |≤ c pour tout x ∈ F , alors | fe(x) |≤ c pour
tout x∈X.
D´emonstration : Soit F1 et F2 deux ferm´es disjoints de X. consid´erons la fonction f qui vaut 0 surF1et 1 surF2 . Cette fonction est continue surF1∪F2 car ses restrictions `aF1 etF2 sont des constantes. D’o`u une fonction continue Φ : X →R, continue telle que Φ |F1∪F2= f ; nous avons alors Φ(F1) = {0} et Φ(F2) = {1} qui sont topologiquement disjoints dans R. Donc F1 et F2 sont topologiquement disjoints.
R´eciproque : Admise.
