Terminale S 2016 – 2017 Exercices
Thème 15
Limites de fonctions
Vérification des acquis
� Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions.
� Déterminer des limites par minoration, majoration et encadrement.
� Interpréter graphiquement des limites.
15.1 Activité 1 – Croissances comparées dexetlnx
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0; +∞[, positive sur [1; +∞[, et vérifie les propriétés suivantes :
• ln 1 = 0.
• Pour tous réels strictement positifs xety, ln(xy) = lnx+ lny.
• Pour tout réel strictement positifx, ln′(x) = 1 x. On considère la fonctionf définie sur ]0; +∞[ par
f(x) =√
x−lnx
1. Étudier les variations de f et en déduire quef admet un minimum sur ]0; +∞[.
2. En déduire le signe de f puis que, pour toutx >1, 0< lnx x <
√x x . 3. En déduire que lim
x→+∞
lnx x = 0.
Exercicefil rouge 1
Déterminer les limites de chacune des fonctions suivantes aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les éventuelles asymptotes.
1. f :x7→ex+x−1 sur ]− ∞; +∞[ ; 2. h:x7→3x2−5x+ 7 sur ]− ∞; +∞[.
15.2 Activité 2 – Sinus et inverse
On rappelle que pour tout réelx,−1�sinx�1.
1. Soit f la fonction définie sur R∗ parf(x) = sinx x .
a. Déterminer les limites de f en −∞et +∞ en utilisant un encadrement.
b. Quelle(s) asymptote(s) peut-on déduire des limites précédentes ? c. Utiliser la calculatrice pour conjecturer la limite éventuelle de f en 0.
2. Soit g la fonction définie surR∗ parg(x) = sin(1x).
a. Déterminer les limites en −∞et +∞ de la fonction g.
b. Quelle(s) asymptote(s) peut-on déduire des limites précédentes ?
Exercicefil rouge 2
1. f :x7→xex−1 sur ]− ∞; +∞[ ; 2. g:x7→ lnxx sur ]0; +∞[ ;
3. h:x7→ 4x2+ 2x−1
3x−9 sur ]3; +∞[.
15.3 Soit f la fonction définie surR parf(x) =x√
x2−x+ 1.
1. Justifier que la fonctionf est bien définie surR. 2. Déterminer la limite de x2−x+ 1 en +∞. 3. En déduire la limite de f en +∞.
4. De manière analogue, déterminer la limite de f en −∞.
15.4 Dans cet exercice, on s’intéresse à la fonctiong, définie sur R parg(x) = 2ex−1 ex+ 1 . 1. Étudier la limite de g en −∞.
2. Prouver que g(x) = 2−e−x
e−x+ 1 et en déduire la limite deg en +∞. Exercicefil rouge 3
1. f :x7→ (lnx)2
x2 sur ]0; +∞[ ; 2. g:x7→xe−x sur ]− ∞; +∞[.
15.5 On considère la fonction f définie sur l’intervalle I =�−1; +∞� par : f(x) = 2x2+ 2x+ 18
x+ 1
Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;~ı, ~).
1. Étude des limites.
a. Déterminer la limite de f en −1.
b. Déterminer la limite de f en +∞.
c. Quelle(s) asymptote(s) peut-on déduire de ces limites ? 2. Étude des variations.
a. Montrer que pour tout xde ]−1; +∞[, f′(x) = 2(x−2)(x+ 4) (x+ 1)2 . b. Dresser le tableau de variations complet def sur ]−1; +∞[.
3. Dans un repère, placer les éléments relatifs à (C) obtenus dans les questions précédentes puis tracer à main levée une allure de cette courbe.
Exercicefil rouge 4
1. f :x7→ln(x2+ 4) sur ]− ∞; +∞[ ; 2. g:x7→ e−x
2−x sur ]2; +∞[ ; 3. h:x7→ 5x+ 3
−x2+ 3x−2 sur ]2; +∞[.
15.6 Soit f la fonction définie surR parf(x) = ex+ 2e−x+x.
1. Démontrer que pour tout réel x,f′(x) = e−x(ex+ 2)(ex−1).
2. Justifier tous les éléments du tableau suivant : x
f′(x) f(x)
−∞ 0 +∞
− 0 +
33
+∞ +∞
3. a. Montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme f(x) = e−x(e2x+ 2 +xex).
b. En déduire la limite de f en −∞. Exercicefil rouge 5
1. f :x7→ 4ex
ex+ 7 sur ]− ∞; +∞[ ; 2. g:x7→x2−2 + lnx sur ]0; +∞[.
15.7 Soit f la fonction définie surR parf(x) = ex+x
ex−x etCf sa courbe représentative.
1. En étudiant les variations de la fonction g : x 7→ ex−x, justifier que la fonction f est définie sur R.
2. Calculer f′(x) et étudier son signe. En déduire les variations def. 3. Déterminer les éventuelles asymptotes deCf.
4. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0.
5. Tracer la tangente en 0, les asymptotes et la courbe Cf en vous aidant de ces droites.
Exercicefil rouge 6
1. f :x7→1 + ln(1 +x) sur ]−1; +∞[ ; 2. g:x7→ln(2x) + 1−x sur ]0; +∞[.
15.8 On considère les fonctionsf etg définies sur [0; +∞[ parf(x) = 8e−x etg(x) = ex+ 2.
1. a. Étudier les variations de f et deg.
b. Préciser les limites en +∞de f etg.
2. a. Visualiser à la calculatrice les représentations graphiques Cf etCg def et de g.
b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection deCf etCg. On pourra pour cela poser X= ex dans une équation bien choisie.
Exercicefil rouge 7
1. f :x7→x+ 2− 4ex
ex+ 3 sur ]− ∞; +∞[ ; 2. g:x7→ln
�2 +x 2−x
�
sur ]−2; 2[.
15.9
Partie A – Étude d’une fonction On considère la fonctionf définie surR parf(x) = (x+ 1)e−x.
On noteC sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O;~ı, ~) du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.
1. Étudier les variations de la fonctionf et déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations complet.
2. Tracer la courbe C. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
Partie B – Étude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatifk, on notefk la fonction définie surR parfk(x) = (x+ 1)ekx. On noteCk la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal.
On remarque que le cask=−1 a été traité dans laPartie A, puisque f−1=f etC−1 =C. 1. a. Quelle est la nature de la fonction f0?
b. Déterminer les points d’intersection des courbes C0 et C1. Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe Ck.
2. Étudier, suivant les valeurs du réelx, le signe de l’expression (x+ 1) (ex−1). En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbesCk etCk+1.
3. Calculerfk′(x) pour tout réelxet pour tout entierknon nul. En déduire le sens de variation de la fonction fk suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas k >0 et k <0.)
4. On a tracé ci-dessous quatre courbes E, F, H, et K, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètrek, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2. Identifier les courbes corres- pondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
E
E
F
F H
H
K
K
1 1
Exercicefil rouge 8
1. f :x7→x−xlnx en +∞; 2. g:x7→ 1
x2e1x sur ]0; +∞[.
15.10 Pour étudier la propagation d’une épidémie, on souhaite modéliser l’évolution du pourcentages de malades par la fonction f définie sur [0; +∞[ par
f(x) = 12e0,8x−12 e0,8x
oùx est le nombre de semaines écoulées depuis le début de l’épidémie.
Selon des critères bien définis, on considère qu’une épidémie est «maîtrisable» si le pourcentage de malades ne dépasse pas 15%.
Un chargé d’études affirme que dans le cas de l’épidémie étudiée, malgré le fait que les premiers temps de la propagation soient rapides, il n’y a pas de quoi s’inquiéter, même si on ne trouve pas de vaccin. Qu’en peut-on en penser ?
Sujets du baccalauréat 15.11 Polynésie, juin 2014
Soientf etg les fonctions définies surRpar
f(x) = ex et g(x) = 2ex2 −1
On noteCf et Cg les courbes représentatives des fonctions f etgdans un repère orthogonal.
1. Démontrer que les courbes Cf etCg ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente Δdont on déterminera une équation.
2. Étude de la position relative de la courbeCg et de la droiteΔ Soit h la fonction définie surR parh(x) = 2ex2 −x−2.
a. Déterminer la limite de la fonction h en −∞. b. Justifier que, pour tout réelx, h(x) =x
�ex2
x 2
−1−2 x
� . En déduire la limite de la fonction h en +∞.
c. On note h′ la fonction dérivée de la fonction h surR.
Pour tout réel x, calculer h′(x) et étudier le signe de h′(x) suivant les valeurs de x.
d. Dresser le tableau de variations de la fonction h surR. e. En déduire que, pour tout réel x, 2ex2 −1�x+ 1.
f. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbeCg et de la droiteΔ? 3. Étude de la position relative des courbes Cf etCg
a. Pour tout réel x, développer l’expression �ex2 −1�2. b. Déterminer la position relative des courbes Cf etCg.
4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbesCf etCg et les droites d’équations respectives x= 0 et x= 1.
Exercicefil rouge 9
1. f :x7→lnx−ln1x sur ]1; +∞[ ;
2. g:x7→3e−2x�32 −e−x�sur ]− ∞; +∞[.
15.12 Amérique du Nord, juin 2015
Partie A
Soitu la fonction définie sur ]0 ; +∞[ paru(x) = ln(x) +x−3.
1. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2. Déduire du tableau de variations que l’équationu(x) = 0 admet une unique solutionα(on demande dans cette question une réponse intuitive).
Justifier queα appartient à l’intervalle [2; 3]
3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.
Partie B Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f(x) =
� 1− 1
x
�
[ln(x)−2] + 2.
On appelleC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal.
1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.
2. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f′(x) = u(x)
x2 où u est la fonction définie dans la partie A.
b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Partie C SoitC′ la courbe d’équation y= ln(x).
1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f(x)−ln(x) = 2−ln(x)
x .
En déduire que les courbes C et C′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par H(x) = 1
2[ln(x)]2
est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par h(x) = ln(x)
x . Calculer I =� e
2
1
2−lnx x dx.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Exercicefil rouge 10
1. f :x7→2x−2 + ln(x2+ 1) sur [0; +∞[ ; 2. g:x7→x(1−e−x) sur ]− ∞; +∞[.
15.13 Métropole, juin 2016
Partie A Soitf la fonction définie sur Rpar
f(x) =x−ln�x2+ 1� 1. Résoudre dans Rl’équation f(x) =x.
2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction f en +∞que l’on admet.
x −∞ 1 +∞
f′(x) + 0 +
−∞
+∞ f(x)
3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].
4. On considère l’algorithme suivant :
Variables N etA des entiers naturels ; Entrée Saisir la valeur de A
Traitement N prend la valeur 0
Tant que N −ln�N2+ 1�< A N prend la valeur N+ 1 Fin tant que
Sortie Afficher N
a. Que fait cet algorithme ?
b. Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pourA est 100.
Partie B
Soit (un) la suite définie paru0 = 1 et, pour tout entier natureln,un+1 =un−ln�u2n+ 1�. 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un appartient à [0 ; 1].
2. Étudier les variations de la suite (un).
3. On admet que la suite (un) est convergente et on note ℓsa limite. On admet queℓvérifie l’égalité f(ℓ) =ℓ.
Déterminer la valeur de ℓ.
15.14 Antilles-Guyane, juin 2014
On considère la fonctionf définie et dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels par f(x) =x+ 1 + x
ex.
On noteC sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;~ı, ~).
Partie A
1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’ensembleR par g(x) = 1−x+ ex Étudier les variations de la fonction g sur R.
En déduire le signe de g(x).
2. Déterminer la limite de f en −∞puis la limite de f en +∞. 3. On note f′ la dérivée de la fonction f sur R.
Démontrer que, pour tout réel x,
f′(x) = e−xg(x) 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f surR.
5. Justifier que l’équationf(x) = 0 admet une unique solution réelleα comprise entre−1 et 0 surR (on demande dans cette question une réponse intuitive).
6. a. Démontrer que la droite T d’équationy= 2x+ 1 est tangente à la courbeC au point d’abscisse 0.
b. Étudier la position relative de la courbe Cet de la droite T. Partie B
1. Soit H la fonction définie et dérivable surR par H(x) = (−x−1)e−x
Démontrer que H est une primitive sur Rde la fonction hdéfinie parh(x) =xe−x. 2. On noteDle domaine délimité par la courbeC, la droiteT et les droites d’équationx= 1
et x= 3.
Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D.
