Réflexions sur le changement de variable

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Réflexions sur le changement de variable, Sur l’intégrale curviligne, Sur les mesures Soit une fonction 𝛾 ∶ ℝ → ℝ, La courbe de cette fonction, c’est à dire l’ensemble des points de coordonnées 𝑥 ; 𝛾 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ est une déformation de l’axe des abscisses par la fonction 𝛾. Une fonction numérique peut donc être vue comme une action sur la droite réelle, cette action étant une transformation de la droite réelle en une courbe ou en un ensemble de points discontinus. Si la fonction numérique est continue, elle déforme la droite réelle en « une courbe continue », elle transforme le segment [𝑎, 𝑏] en un certain « lacet »… Supposons 𝑓 ∶ ℝ → ℝ continue, le changement de variable pratique s’écrit 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 2 = 𝑓 𝑦 3𝑑𝑦 6 71867 6 72867 car 𝑥 = 3𝑦 + 1 ⇔ 𝑦 =1 3𝑥 − 1 3 et 𝑑𝑥 = 3𝑑𝑦 Ce changement de variable s’écrit plus rigoureusement (en posant 𝑐 =6₇𝑎 −6₇ et 𝑑 =6₇𝑏 −6₇) 𝛾 ∶ 𝑐, 𝑑 → [𝑎, 𝑏] 𝑡 ↦1 3𝑡 − 1 3 et 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 @ A,B = 𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} A,B c’est à dire, si 𝛾 est strictement croissante (𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 < 𝑑) : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 2 = B𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} A et, si 𝛾 est strictement décroissante (𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 > 𝑑) ou (𝑎 > 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 < 𝑑) : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 2 = − B𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} A = A𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} B Remarques : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 2 est l’aire algébrique entre la courbe de 𝑓 et l’axe des abscisses 𝑂J, mesurée à l’aide de la mesure de Lebesgue 𝑑𝑥.

La fonction 𝛾 déforme le segment [𝑐, 𝑑] en le segment [𝑎, 𝑏], et 𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡}

A,B n’est autre que « l’aire » algébrique entre la courbe de 𝑓 et l’axe des abscisses 𝛾86_(𝑂 J), mesurée à l’aide de la mesure 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} Si 𝛾 n’est pas affine, « l’axe des abscisses » 𝛾86_(𝑂 J) peut être courbe. (en donner un exemple)

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Cela permet de comprendre la définition de l’intégrale curviligne, c’est à dire l’intégrale suivant un arc paramétré 𝛾 ∶ 𝑐, 𝑑 → 𝑈 ⊂ ℂ continûment dérivable. 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 @ = B𝑓 𝛾 𝑡 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} A Autres remarques :

Soit 𝛾 ∶ 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ → ℝ une fonction 𝐶6_{, sa variation totale est égale à} 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡} 1 2 cela mesure (dans les cas simples) la somme des variations de 𝛾 sur les intervalles où 𝛾 est monotone, c’est à dire 𝛾 𝑥_PQ6 − 𝛾 𝑥_P R86 PST où 𝛾 est monotone sur chaque intervalle 𝑥P, 𝑥PQ6 , avec 𝑎 = 𝑥_T ≤ 𝑥₆ ≤ ⋯ ≤ 𝑥_P ≤ 𝑥_PQ6 ≤ 𝑥_R = 𝑏

c’est à dire que si on mesure le segment [𝑎, 𝑏] à l’aide de la mesure 𝛾C _{𝑡 𝑑𝑡, on trouve la variation totale} de 𝛾. La longueur de la courbe de 𝛾 est égale à 1 + 𝛾C _𝑡 W_𝑑𝑡 1 2

c’est à dire que si on mesure le segment [𝑎, 𝑏] à l’aide de la mesure 1 + 𝛾C _𝑡 W_{𝑑𝑡, on trouve la longueur} de la courbe de 𝛾.