ai re]--

Leçon 19 Signes du trinôme

Activités

Donner la

forme

canonique

puis étudier

les signes de chacun des trinômes suivants.

l. y=x2+2x 2. y:-"2*2x+3 3. y:x2+2x+l 4.y:-r2 *2x-I 5.y:x2 -x+l ^6. y:-*2 +2x-2.

Le

cours

Le signe

de

?"(-r) = ^axz +bx

+c

dépend à la fois du signe du

coefficient 4

et du signe du discriminant A _{= b2}

-4ac.

l. Si

^

^<

0, I(;r)

^a le même signe que le

coefficient c

pour

tout

x ^. 2..

Si

^

⁼

O

, ^T(x)

^s'annule

^pour

^.r

: -*:

son signe est celui'<le

d

pour toutes les autres valeurs

de x

-

3. Si

^>0, ^T(x) s'annulepour x:d, ^et y:B avec a <B

^.

- Le signe

de 7(x)

^est le signe contraire de celui

de a si .r

est compris entre les

racines,

c'est-à-dire

si x .h ;

91.

- Le signe

de Z(x)

est le signe

de a

^pour .x extérieur à

I'intervalle

des racines, c'est-

àdire

re]-- _;af ^ou xelB;+*f

L=bz -4ac a>0 a<0

a<0

.)

ax'+bx+c>0.VxerR ai +bx+c<O,VxeR

Â=0

2

+bx+.c>0,VxeR

o*2

+bx+c< 0,Vx

e R

Ox

Mathématique C4-87

!=ax2 +bx+c !:

^ax2

^+bx+c

a>0

Exemples : Etudier les signes de chacun des trinômes :

1. _f(r)--2x2 -3x+3

a=(-r)i _-4x2x3=-15 i^=-15<o

Ona:

{

la =2>

⁰

la

courbe ne coupe pas(Ox)

"f

(*)r 0,

Vx e R

2. g(x)=1x2 +2x-l

a=22 -+(-:X-l)= -s

[l=-g<o una:

^{

la=-3<0

[,a courbe ne coupe pas (Ox)

g(t).0,Vx

e

R.

3. f(r)=x2 -4x+4

a=(-+)Ê -4xtx4=0

Ona:

{

f^=o

la =l>

⁰

tu

"ourU. est tangente à

l'axe (Ox)

et

f(*)>o,vxenr{z}

a. g(x)=4,5x2 +3x-4,5

A,:32 -+(-o,sX- ^4,5)=9-9

^{= o}

x- -1 ^- _-3 -1

On

a:

La

courle

est tangente

U(rrl et g(x)

<

0,V.re R-{3}

Mathématique C4-88

X=-=

4 Z 2

Io=0 [a={,5<0

5.

f(r)= ^x2 -3x+2

l=(-3)2 -4xlx2=l>0 f ^(x)

^{a deux} racines distinctes :

r, - 3-l :l et x"

₌

3*l

'22 =2

a:l>l

6. g(,r)= -x2 -x+2

 =

(-l)' _-a(-l)x 2=9>0 g(x)

a deux racines distinctes :

t, '-2'-2 :t -3 -, ^{et r.} =l*3 :-2

x -6 | @

^+oo

f\,) ^+0-0-t

a<0

x -æ-2!+æ

s(') 0+0

Mathématique

\

C4-89

Exercices l. Étudier

les signes de chacun des trinômes suivants :

f(')=7x2 -l2x+5- g(t)= _-3xz

+ 5x

-2

h(x)=xz -x+l

E(x)=3x2 +8x-ll

2.

Voici

quatre paraboles

dont

les courbes représentatives sont tracées ci-dessous.

Étudier

le signe de chacune des fonctions associées, selon les valeurs

de x.

Mathématique C4-90